InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए इसका नाभिलम्ब उसके लघु अक्ष का आधा हो | |
| Answer» `(sqrt(3))/(2)` | |
| 2. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र मूलबिंदु है तथा जिसकी नाभियो के बीच की दुरी 2 इकाई हो और उत्केन्द्रता `(1)/(sqrt(2))` हो | |
| Answer» `x^(2) + 2y^(2) = 2` | |
| 3. |
दीर्घ अक्ष x-अक्ष पर और बिंदुओं `(4, 3)` और `(6,2)` से जाता है | |
| Answer» `x^(2) + 4y^(2) = 52` | |
| 4. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र मूलबिंदु है तथा जिसकी नाभियाँ `(pm1,0)` है व उत्केन्द्रता `(1)/(2)` है | |
| Answer» `(x^(2))/(4) + (y^(2))/(3) = 1` | |
| 5. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियो के बीच की दूरी 8 व नियताओं के बीच की दूरी 18 इकाई है | |
| Answer» `5x^(2) + 9y^(2) = 180` | |
| 6. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ `(pm2, 3)` है तथा अर्द्धलघु अक्ष `sqrt(5)` है | |
| Answer» `5x^(2) + 9y^(2) - 54y + 36 = 0` | |
| 7. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ `(pm3, 0)` है तथा जो बिन्दु `(4, 1)` से होकर जाता है | |
| Answer» `x^(2) + 2y^(2) = 18` | |
| 8. |
`b = 3, c = 4` केन्द्र मूल बिन्दु पर, नाभियाँ x-अक्ष पर |
| Answer» `(x^(2))/(25) + (y^(2))/(9) =1` | |
| 9. |
दिखाइये कि `4x^(2) + 9y^(2) - 8x - 36y + 4 = 0` एक दीर्घवृत्त का समीकरण है, इसकी नियता, नाभियाँ तथा नाभिलम्ब ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिया है : `4x^(2) + 9y^(2) - 8x - 36y + 4 = 0` `rArr 4x^(2) - 8x + 4 + 9y^(2) - 36y + 36 = 36` `rArr 4(x^(2) - 2x + 1) + 9(y^(2) - 4y + 4) = 36` `(4(x-1)^(2))/(36) + (9(y-2)^(2))/(36) =1` `rArr ((x-1)^(2))/(9) + ((y-2)^(2))/(4) =1` जो कि एक दीर्घवृत्त का समीकरण है, इसकी तुलना दीर्घवृत्त के मानक समीकरण `(x^(2))/(a^(2)) + (y^(2))/(b^(2)) = 1` से करने पर `a^(2) = 9` तथा `b^(2) = 4` सूत्र `b^(2) = a^(2)(1-e^(2))` से `4 = 9(1-e^(2))` `rArr (4)/(9) = 1-e^(2) rArr e = (sqrt(5))/(3)` `therefore` नियताओं के समीकरण, `x = pm (a)/(e) = pm(3)/(sqrt(5)//3) = pm (9)/(sqrt(5))` नाभियाँ `= (pmae, 0) = (pm(3sqrt(5))/(3),0) = (pm(sqrt(5),0)` तथा नाभिलम्ब `= (2b^(2))/(a) = ( 2xx 4)/(3) = (8)/(3)` |
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| 10. |
किसी दीर्घवृत्त की नाभियो के बीच की दूरी उसके नाभिलम्ब की लम्बाईयो के बराबर है | दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए | |
| Answer» `(sqrt(5)-1)/(2)` | |
| 11. |
दीर्घवृत्त `9x^(2) + 4y^(2) = 36` के लिये नाभियो के निर्देशांक, शीर्ष के निर्देशांक, दीर्घ तथा लघु अक्ष की लम्बाईयाँ, उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दी गयी समीकरण इस प्रकार से लिख सकते है `(x^(2))/(4) + (y^(2))/(9) = 1 " "...(i)` यहाँ `(y^(2))/(9)` का हर, `(x^(2))/(4)` के हर से बड़ा है, इसलिये दीर्घाक्ष y-अक्ष के अनुदिश है | `(x^(2))/(b^(2)) + (y^(2))/(a^(2)) =1` से समीकरण (i) की तुलना करने पर, `a = 3, b =2` `because b^(2) = a^(2)(1-e^(2))` `therefore a^(2)e^(2) = a^(2)-b^(2) = 9-4 = 5` `rArr ae = sqrt(5)` एवं `e = (sqrt(5))/(a) = (sqrt(5))/(3)` दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 6 मात्रक और लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 4 मात्रक अतः नाभियो के निर्देशांक `(0, sqrt(5))`, शीर्ष के निर्देशांक `(0, 3)` एवं `(0, -3)`, दीर्घाक्ष की लम्बाई 6 मात्रक, लघु अक्ष की लम्बाई 4 मात्रक एवं दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता `(sqrt(5))/(3)` है | |
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| 12. |
एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता `(1)/(2)` है तथा उसकी नाभियो के बीच की दूरी 4 इकाई है यदि दीर्घवृत्त की दीर्घाक्ष तथा लघु अक्ष क्रमशः x तथा y-अक्षो के अनुदिश हो , तो दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
| Answer» `3x^(2) + 4y^(2) = 48` | |
| 13. |
यदि किसी दीर्घवृत्त की नाभियो को लघु अक्ष के एक सिरे से मिलाने वाली रेखाओं के बीच का कोण `90^(@)` हो, तो उसकी उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए | यदि अर्द्ध दीर्घाक्ष की लम्बाई `2sqrt(2)` है, तो उसका समीकरण भी ज्ञात कीजिए | |
| Answer» `e = (1)/(sqrt(2)),(x^(2))/(8) + (y^(2))/(4) = 1` | |
| 14. |
वृत्त `x^(2) + y^(2) = 16` और दीर्घवृत्त `(x^(2))/(25) + (y^(2))/(4) = 1` की प्रथम कीजिए | साथ ही निर्देशांक अक्षो के मध्य स्पर्शी के अन्तः खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए-A. `(14sqrt(3))/(3)`B. 14C. `(sqrt(3))/(3)`D. `-(14sqrt(3))/(3)` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 15. |
दीर्घवृत्त `9x^(2) + 5y^(2) + 30y = 0` की नाभिलम्ब जीवा, उत्केन्द्रता तथा नाभियो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दीर्घवृत्त का समीकरण `9x^(2) + 5y^(2) + 30y = 0 " "...(i)` `rArr 9x^(2) + 5(y^(2) + 6y) = 0` `rArr 9x^(2) + 5(y^(2) * y * 3 + 9 -9) = 0` `rArr 9x^(2) + 5(y+3)^(2) = 45` `rArr (x^(2))/((sqrt(5))^(2)) +((y+3)^(2))/((3)^(2))= 1" "...(ii)` स्पष्टतः अर्द्ध दीर्घाक्ष की लम्बाई = 3 = a अर्द्धलघु अक्ष की लम्बाई ` =sqrt(5) =b` नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ` = (2b^(2))/(a) = (2 xx 5)/(3) = (10)/(3)` उत्केन्द्रता `e = sqrt(1-(b^(2))/(a^(2)))=sqrt(1-(5)/(9)) = (2)/(3)` अब, नाभियो के निर्देशांक ` -= (0, pm ae)` `rArr x = 0, y + 3 = pm ae = pm (3*2)/(3) = pm2` `rArr x = 0, y = -1, -5` `rArr` नाभियो के निर्देशांक ` =(0, -1)` तथा `(0, -5)` है | |
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| 16. |
दीर्घवृत्त `9x^(2) + 5y^(2) - 18x - 2y - 16 = 0` की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिये | |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(2)` | |
| 17. |
एक दीर्घवृत्त की नाभियो के बीच की दूरी 6 है तथा उसके लघु अक्ष की लम्बाई 8 है | उसकी उत्केन्द्रता है-A. `(3)/(5)`B. `(1)/(2)`C. `(4)/(5)`D. `(1)/(sqrt(5))` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 18. |
दीर्घवृत्त `(x^(2))/(9) + (y^(2))/(4) = 1` की स्पर्शी का समीकरण, जो रेखा `3x + 4y = 7` के लंबवत है, है-A. `4x = 3y = pm sqrt(20)`B. `4x - 3y = pm sqrt(12)`C. `4x - 3y = pmsqrt(2)`D. `4x -3y = pm1` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 19. |
दीर्घवृत्त `9x^(2) + 5y^(2) = 45` के बिन्दु (0, 3) पर अभिलम्ब का समीकरण है-A. x-अक्षB. y-अक्षC. `y + 3 = 0`D. `y -3 =0` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 20. |
अतिपरवलय `2x^(2) - 2y^(2) = 1` को एक दीर्घवृत्त लंबवत काटता है | दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता अतिपरवलय की उत्केन्द्रता का व्युत्क्रम है | यदि दीर्घवृत्त के अक्ष निर्देशांकों के सम्पाती हो, तब-A. दीर्घवृत्त का समीकरण `x^(2) + 2y^(2) = 2` है |B. दीर्घवृत्त की नाभियाँ `(pm1, 0)` है |C. दीर्घवृत्त का समीकरण `x^(2) + 2y^(2) = 4` है |D. दीर्घवृत्त की नाभियाँ `(pm2, 0)` है | |
| Answer» Correct Answer - A::B | |
| 21. |
दीर्घवृत्त `x^(2) + 4y^(2) = 16` के बिन्दु प पर खींचा गया अभिलम्ब x-अक्ष को Q पर मिलाता है | यदि रेखाखण्ड PQ का मध्यबिंदु M है, तब M का बिन्दुपथ दिये गये दीर्घवृत्त के नाभिलम्ब को किन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगा ?A. `(pm(3sqrt(5))/(2),pm(2)/(7))`B. `(pm(3sqrt(5))/(2),pm(sqrt(5))/(7))`C. `(pm2sqrt(3), pm(1)/(7))`D. `(pm2sqrt(3), pm(4sqrt(3))/(7))` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 22. |
दीर्घवृत्त के दो बिंदुओं पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ, जिनके उत्केन्द्र कोण का योग अचर है-A. परवलयB. वृत्तC. दीर्घवृत्तD. सीधी रेखा |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 23. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका, केन्द्र मूलबिंदु से होकर जाता है तथा दीर्घाक्ष x-अक्ष पर है एवं उत्केन्द्रता `(2)/(3)` तथा नाभिलम्ब की लम्बाई 5 मात्रक है | |
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Answer» माना दीर्घवृत्त का समीकरण `(x^(2))/(a^(2)) + (y^(2))/(b^(2)) = 1` है | `a^(2) gt b^(2)" "` (जिसकी दीर्घाक्ष x-अक्ष पर है ) नाभिलम्ब की लम्बाई ` = (2b^(2))/(a) = 5` (दिया है) `rArr (2a^(2)(1-e^(2)))/(a) = 5` `rArr a = (5)/(2(1-e^(2)))=(5)/(2(1-(4)/(9)))=(9)/(2)` एवं `b^(2) = a^(2) (1-e^(2)) = (81)/(4) xx(1-(4)/(9)) = (81)/(4) xx (5)/(9) = (45)/(4)` `rArr a^(2) = ((9)/(2))^(2) = (81)/(4), b^(2) = (45)/(4)` अतः दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण `(x^(2))/(81//4) +(y^(2))/(45//4) = 1 rArr 20x^(2) + 36y^(2) = 405` |
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| 24. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका दीर्घाक्ष 8 तथा उत्केन्द्रता `(1)/(2)` है | |
| Answer» `(x^(2))/(16) + (y^(2))/(12) = 1` | |
| 25. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र `(1, 2)` एक नाभि `(6, 2)` है तथा वह बिन्दु `(4, 6)` से होकर जाता है | |
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Answer» प्रश्नानुसार, नाभि `S -= S(6,2)` केन्द्र `C -= C(1,2)` `rArr ` CS की प्रवणता ` = (2-2)/(1-6) = 0` `rArr` दीर्घवृत्त का दीर्घाक्ष x-अक्ष के समान्तर है तथा लघु अक्ष y-अक्ष के समान्तर है, दिया है की दीर्घवृत्त का केन्द्र `(1,2)` है | इसलिए अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण `((x-1)^(2))/(a^(2)) + ((y-2)^(2))/(b^(2)) = 1 " "...(i)` बिन्दु (4,6) दीर्घवृत्त (i) पर स्थित है, इसलिए `((4-1)^(2))/(a^(2)) + ((6-2)^(2))/(b^(2)) = 1` `rArr (9)/(a^(2)) + (16)/(b^(2)) =1 " "...(ii)` यहाँ, केन्द्र (1,2) व नाभि (6, 2) के बीच की दुरी ` = sqrt((6-1)^(2) + (2-2)^(2)) = ae` `rArr 5 = ae` `therefore b^(2) = a^(2) (1-e^(2))` ` = [a^(2) - (ae)^(2)]` `rArr b^(2) = a^(2) = 25 " "...(iii)` समीकरण (iii) का प्रयोग समीकरण (ii) में करने पर, `(9)/(a^(2)) + (16)/((a^(2) - 25))=1` `rArr a^(4) - 50a^(2) + 225 = 0` `rArr (a^(2) - 45) (a^(2)-5) = 0` `rArr a^(2) = 45, 5` यदि `a^(2) = 5`, तब समीकरण (iii) से `b^(2) lt 0` जोकि सम्भव नहीं है | `therefore a^(2) = 45` व `b^(2) = a^(2) = 25` ` = 45 - 25 = 20` अतः `a^(2)` व `b^(2)` के मान समीकरण (i) में रखने पर `((x-1)^(2))/(45) + ((y-2)^(2))/(20)l = 1,` यही दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण है | |
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| 26. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र मूलबिंदु पर, दीर्घाक्ष y-अक्ष पर तथा बिंदुओं `(3, 2)` व `(1, 6)` से होकर जाता है | |
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Answer» माना दीर्घवृत्त का समीकरण `(x^(2))/(b^(2)) + (y^(2))/(a^(2)) =1, a^(2) gt b^(2)` है | `" "...(i) " "`(जिसका दीर्घाक्ष y-अक्ष पर है|) `because` बिन्दु (3, 2) समीकरण (i) पर है, अतः `(9)/(b^(2)) + (4)/(a^(2)) =1 " "...(ii)` इसी प्रकार, (1, 6) भी समीकरण (i), पर स्थित है | `rArr (1)/(b^(2)) + (36)/(a^(2)) =1 " "...(iii)` समीकरण (ii) व समीकरण (iii) को हल करने पर, `a^(2) = 40, b^(2) = 10` अतः दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण है `(x^(2))/(10) + (y^(2))/(40) =1` |
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| 27. |
उन सभी बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिन्दु `(4, 1)` से दूरियाँ, रेखा y = 9 से दूरियों की `(2)/(3)` गुनी है | |
| Answer» `9x^(2) + 5y^(2) - 72 x + 54y = 171` | |
| 28. |
दिये गये प्रतिबंधो को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए- शीर्षो `(pm5, 0)` नाभियाँ `(pm4, 0)` |
| Answer» `(x^(2))/(25) + (y^(2))/(9) = 1` | |
| 29. |
दीर्घवृत्त में नाभियो और शीर्षो के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लम्बाईयाँ, उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए: `16x^(2) + y^(2) = 16` |
| Answer» नाभि `(0, pm sqrt(15))`, शीर्ष `(0, pm 4)`, दीर्घअक्ष = 8, लघुअक्ष = 2, `e = (sqrt(15))/(4)`, नाभिलम्ब ` = (1)/(2)` | |
| 30. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि `(-1, 1)` नियता `x - y + 3 = 0` तथा उत्केन्द्रता `(1)/(2)` है | |
| Answer» `7x^(2) + 7y^(2) + 2xy + 10x - 10y + 7 = 0` | |
| 31. |
दीर्घवृत्त में नाभियो और शीर्षो के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लम्बाईयाँ, उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए: `(x^(2))/(100) + (y^(2))/(400) = 1` |
| Answer» नाभि `(0, pm10sqrt(3))`, शीर्ष `(0, pm 20)`, दीर्घअक्ष = 40, लघुअक्ष = 20, `e = (sqrt(3))/(2)`, नाभिलम्ब = 10 | |
| 32. |
दीर्घवृत्त `(x^(2))/(225) + (y^(2))/(289) = 1` के लिए दीर्घाक्ष, लघु अक्ष के लम्बाई, उसका समीकरण, केंद्र, उत्केन्द्रता, नाभि, नियता का समीकरण, शीर्ष तथा नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए | |
| Answer» दीर्घाक्ष की लम्बाई = 34, लघु अक्ष की लम्बाई = 30, दीर्घाक्ष का समीकरण `x = 0`, लघु अक्ष का समीकरण `y = 0`, केंद्र = (0, 0), उत्केन्द्रता ` = (8)/(17)`, नाभि ` = (0, pm 8)` नियता `8y pm 289 = 0`, शीर्ष `(0, pm 17)`, नाभिलम्ब जीवा `=(450)/(17)` | |
| 33. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि (6, 7), नियता `x + y + 2 = 0` तथा उत्केन्द्रता `(1)/(sqrt(3))` है | |
| Answer» `5x^(2) - 2xy + 5y^(2) - 76x - 88y + 506 = 0` | |
| 34. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केन्द्रता `(2)/(3)`, नाभि `(3, 4)` और नियता `3x + 4y = 5` है | |
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Answer» माना दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु `P(x, y)` है | दीर्घवृत्त की नाभि तथा PM नियता पर लम्ब है | तब `PS = ePM` `rArr PS^(2) = e^(2)PM^(2)` `rArr (x-3)^(2) + (y-4)^(2) = ((2)/(3))^(2)[(3x+4y-5)/(sqrt(9+16))]^(2)` `rArr x^(2) - 6x + 9 + y^(2) - 8y + 25 = (4)/(9)[(9x^(2) + 16y^(2) + 25 + 24xy - 40 y - 30x)/(25)]` `rarr 225[x^(2) - 6x+y^(2) - 8y + 25] = 4[9x^(2) + 16y^(2) + 25 + 24xy - 40y - 30x]` `rArr 225x^(2) - 1350x + 225y^(2) - 1800y + 5625 = 36x^(2) + 64y^(2) + 100 + 96xy - 160y - 120x` `rArr 189x^(2) + 161y^(2) - 96xy - 1230x - 1640y + 5525 = 0` |
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| 35. |
एक दीर्घवृत्त की एक नाभि मूलबिंदु पर है | नियता का समीकरण x = 4 तथा उत्केन्द्रता `1//2` है | तब अर्द्ध-दीर्घ अक्ष की लम्बाई है-A. `5//3`B. `8//3`C. `2//3`D. `4//3` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 36. |
दीर्घ अक्ष के अंत्य बिन्दु `(pm3, 0)` लघु अक्ष के अंत्य बिन्दु `(0, pm2)`दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए |
| Answer» `(x^(2))/(9) + (y^(2))/(4) =1` | |
| 37. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है और (4,3) तथा `(-1, 4)` दीर्घवृत्त पर स्थित है | |
| Answer» `7x^(2) + 15y^(2) = 247` | |