InterviewSolution

Explore topic-wise InterviewSolutions in .

This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.	सिद्ध कीजिए की वृत्तों `x^(2)+y^(2)=4, 4x^(2)+4y^(2)-8x-24y+15=0` तथा `x^(2)+y^(2)-4y-5=0` की त्रिज्याएँ समान्तर श्रेणी में हैं।
Answer» `r_(1)=sqrt(0+0+4)=2, r_(2)=sqrt(1+9-15/4)=5/2, r_(3)=sqrt(4+5)=3` स्पष्टतः `r_(2)-r_(1)=r_(3)-r_(2) implies" "r_(1), r_(2), r_(3)` समान्तर श्रेणी में हैं।

2.	निम्नलिखित वृत्तों के कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए- (i) `x=7+4 cos alpha, y=-3+4 sin alpha` (ii) `x= cos theta+ sin theta+1, y=sin theta-cos theta+2` (iii) `x= cos theta+ sin theta, y= sin theta-cos theta` (iv) `x=1+3 cos theta, y=2-3 sin theta`
Answer» Correct Answer - (i) `(x-7)^(2)+(y+3)^(2)=16`; (ii) `(x-1)^(2)+(y-2)^(2)=2`; (iii) `x^(2)+y^(2)=2`; (iv) `(x-1)^(2)+(y-2)^(2)=9` (i) `x=7+4 cos alpha, y=-3+4 sin alpha` इन दोनों समीकरणों के बीच `alpha` का विलोपन करने पर,

3.	उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र `(2, 3)` तथा त्रिज्या 5 है।
Answer» प्रश्नानुसार, वृत्त का केंद्र `equiv (2, 3)=(h, k)` त्रिज्या `=5=a` हम जानते हैं की केंद्र `(h, k)` व त्रिज्या a वाले वृत्त का समीकरण `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=a^(2)` ...(i) समी० (i) में h, k व a का मान रखने पर, `(x-2)^(2)+(y-3)^(2)=(5)^(2)` `implies x^(2)-4x+4+y^(2)-6y+9=25` `implies x^(2)+y^(2)-4x-6y-12=0` यही वृत्त का अभीष्ट समीकरण है।

4.	सिद्ध कीजिए की समीकरण `x=a cos theta+b sin theta, y=a sin theta-b cos theta` एक वृत निरूपित करता है।
Answer» दी गयी समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर, `x^(2)+y^(2)=(a cos theta+ b sin theta)^(2)+(a sin theta- b cos theta)^(2)` `=a^(2) (cos^(2) theta+sin^(2) theta) +b^(2)(sin^(2) theta+cos^(2) theta)` `=a^(2)+b^(2)`

5.	वृत्त `2x^(2)+2y^(2)-6x+8y+1=0` के संकेंद्रीय उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल वृत्त `2x^(2)+2y^(2)-6x+8y+1=0` के क्षेत्रफल का दोगुना है।
Answer» दिए गए समीकरण को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं- `x^(2)+y^(2)-3x+4y+1/2 =0` वृत्त के व्यापक समीकरण से तुलना करने पर, `g=-3/2, f=2` व `c=1/2` `:.` वृत्त का केंद्र `=(-g, -f)=(3/2, -2)` वृत्त की त्रिज्या `=sqrt(g^(2)+f^(2)-c)=sqrt(9/4+4-1/2)=sqrt(23)/2` `implies` अभीष्ट वृत्त का केंद्र `=(3/2, -2)` यदि अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या `r_(1)` हो, तब `pir_(1)^(2)=2(pixx (sqrt(23)/2)^(2)) implies r_(1)^(2)=23/2` अतः अभीष्ट वृत्त का समीकरण है `(x-3/2)^(2)+(y+2)^(2)=23/2` `implies x^(2)+y^(2)-3x+4y-21/4 =0` `implies 4x^(2)+4y^(2)-12x+16y-21=0`

6.	मूलबिंदु से होकर जाने वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x -अक्ष तथा y -अक्ष की धनात्मक दिशा से क्रमशः a तथा b लम्बाई के अन्तःखंड काटता है।
Answer» Correct Answer - `x^(2)+y^(2)-ax-by=0` `OA=a, OB=b`, तब वृत्त के केंद्र के निर्देशांक `=(a/2, b/2)` त्रिज्या `=sqrt((a/2)^(2)+(b/2)^(2))=1/2 sqrt(a^(2)+b^(2))` `:.` वृत का अभीष्ट समीकरण `=(x-a/2)^(2)+(y-b/2)^(2)=(1/2 sqrt(a^(2)+b^(2)))^(2)`

7.	निम्नलिखित वृत्तों के प्रचलिक समीकरण ज्ञात कीजिए- (i) `3x^(2)+3y^(2)=4` (ii) `x^(2)+y^(2)+px+py=0`
Answer» Correct Answer - (i) `x=2/sqrt(3) cos theta, y=2/sqrt(3) sin theta;` (ii) `x=(-p)/2+p/sqrt(2) cos theta, y=(-p)/2+p/sqrt(2) sin theta` (i) `3x^(2)+3y^(2)=4" "implies " "x^(2)+y^(2)=(2/sqrt(3))^(2) implies a=2/sqrt(3)` अब, `x=a cos theta, y=a sin theta, 0 le theta le 2pi` `implies x=2/sqrt(3) cos theta, y=2/sqrt(3) sin theta, 0 le theta le 2pi`

8.	जाँच कीजिए की निम्न समीकरण एक वृत्त को निरूपित करता है या नहीं। `4x^(2)+4y^(2)+12x+8y+40=0`
Answer» दिया गया समीकरण, `4x^(2)+4y^(2)+12x+8y+40=0` ...(i) स्पष्टतः `x^(2)` का गुणांक `=y^(2)` का गुणांक तथा समी० (i) में, xy का गुणांक = 0 समी० (i) से `x^(2)+y^(2)+3x+2y+10=0` ...(ii) हम जानते हैं की `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0` ...(iii) समी० (ii) व (iii) की तुलना करने पर, `g=3/2, f=1, c=10` `:. g^(2)+f^(2)-c=9/4+1-10=-27/4 lt 0`, जोकि संभव नहीं है क्योंकि किसी भी वृत्त की त्रिज्या काल्पनिक नहीं हो सकती। इसलिए दिया दिया गया समीकरण (i) वृत्त को निरूपित नहीं करता।

9.	उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके व्यास के सिरे `(5, -3)` तथा `(2, -4)` हैं। इसका केंद्र तथा त्रिज्या भी ज्ञात कीजिए।
Answer» प्रश्नानुसार, `(x_(1), y_(1))=(5, -3)` तथा `(x_(2), y_(2))=(2, 4)` ये सभी मान वृत्त के समीकरण `(x-x_(1))(x-x_(2))+(y-y_(1))(y-y_(2))=0` में रखने पर `(x-5) (x-2) +(y+3) (y+4) =0` `implies x^(2)-7x+10+y^(2)+7y+12=0` `implies x^(2)+y^(2)-7x+7y+22=0` उपरोक्त समीकरण की तुलना वृत्त के व्यापक समीकरण `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0` से करने पर `g=(-7)/2, f=7/2, c=22` `:.` वृत्त का केंद्र `=(-g, -f)=(7/2, (-7)/2)` तथा वृत्त की त्रिज्या `=sqrt(g^(2)+f^(2)-c)` `=sqrt(49/4+49/4-22)=sqrt(10)/2`

10.	उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके व्यास के सिरे `(-2, 3)` व `(3, -5)` हैं।
Answer» Correct Answer - `x^(2)+y^(2)-x+2y-21=0` अभीष्ट समीकरण : `(x+2) (x-3)+(y-3) (y+5)=0`

11.	उस वृत्त का प्रचलिक समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके व्यास `2x-3y+12=0` तथा `x+4y-5=0` तथा क्षेत्रफल 154 वर्ग इकाई है।
Answer» हम जानते हैं की वृत्त के व्यास इसके केंद्र से होकर जाते हैं इसलिए वृत्त का केंद्र दिए गए व्यासों का प्रतिच्छेद बिंदु है। प्रश्नानुसार, व्यास के समीकरण `2x-3y+12=0` ...(i) तथा `x+4y-5=0` ...(ii) समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर `x=-3` तथा `y=2` `:.` केंद्र के निर्देशांक `(-3, 2)` माना यदि वृत्त की त्रिज्या a है। हम जानते हैं की वृत्त का क्षेत्रफल `=pi a^(2)` प्रश्नानुसार, `pi a^(2)=154` `22/7. a^(2)=154` `implies a^(2)=(154xx7)/22` `implies a^(2)=49` `implies a=7` अब ऐसे वृत्त का समीकरण जिसके केंद्र के निर्देशांक `(-3, 2)` तथा त्रिज्या a है, निम्न है- `(x+3)^(2)+(y-2)^(2)=7^(2)` ...(iii) समीकरण (iii) की तुलना `(x-alpha)^(2)+(y+beta)^(2)=a^(2)` से करने पर `alpha=-3, beta=2, a=7` `:.` प्रचलिक समीकरण `x=alpha+a cos theta` `implies x=-3+7 cos theta` `y=beta+a sin theta` `implies y=2+7 sin theta" "0 le theta le 2pi`

12.	सिद्ध कीजिए की उस वृत के केंद्र का बिन्दुपथ जो x -अक्ष से दी हुई लम्बाई 2a की जीवा काटता है और y -अक्ष पर मूलबिंदु से b दुरी पर किसी दिए हुए बिंदु से होकर जाता है `x^(2)-2by+b^(2)=a^(2)` है।
Answer» यहाँ `2sqrt(g^(2)-c)=2a" "implies " "g^(2)-c=a^(2)` ...(i) यह `()` से होकर जाता है, इसलिए `b^(2)+2fb+c=0` ...(ii) समीकरण (i) व (ii) से c का विलोपन करने पर, `b^(2)+2(-f)b+(-g)^(2)=a^(2)` `:.` अभीष्ट बिन्दुपथ `b^(2)-2by+x^(2)=a^(2)` है।

13.	प्रतिबंध ज्ञात कीजिए जबकि वृत्त `ax^(2)+ay^(2)+2gx+2 fy+c=0` का केंद्र सरल रेखा y = x पर स्थिर हो।
Answer» वृत्त का समीकरण : `ax^(2)+ay^(2)+2gx+2 fy+c=0` `implies x^(2)+y^(2)+(2g)/a x+(2f)/a y+c/a =0` `:.` केंद्र के निर्देशांक `=(-g/a, -f/a)` यदि यह सरल रेखा y = x पर स्थिर है, तब `- f/a=-g/a implies f=g`

14.	एक वृत्त की त्रिज्या 3 इकाई है तथा इसका केंद्र रेखा `y=x-1` पर स्थित है। वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि यह बिंदु (7, 3) से होकर जाता है।
Answer» प्रश्नानुसार, वृत्त की त्रिज्या = 3 इकाई माना वृत्त का केंद्र (h, k) है। दिया है की (h, k) रेखा `y =x -1` पर स्थित है। `implies k=h-1` ...(i) अब वृत्त का समीकरण `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=(3)^(2)` ...(ii) प्रश्नानुसार, वृत्त (ii) बिंदु (7, 3) से होकर जाता है। `:. (7-h)^(2)+(3-k)^(2)=9` ...(iii) समीकरण (i) व (iii) से, `(7-h)^(2)+(3-h+1)^(2)=9` `implies (7-h)^(2)+(4-h)^(2)=9` `implies 2h^(2)-22h+56=0` `implies h^(2)-11 h+28=0` `implies h=4, 7` `implies k=3, 6` अतः वृतों के समीकरण `(x-4)^(2)+(y-3)^(2)=9` तथा `(x-7)^(2)+(y-6)^(2)=9` `implies x^(2)+y^(2)-8x-6y+16=0` तथा `x^(2)+y^(2)-14x-12y+76=0`

15.	समीकरण `(x-x_(1)) (x-x_(2))+(y-y_(1))(y-y_(2))=0` से निरूपित वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
Answer» हम जानते है की वृत्त `(x-x_(1))(x-x_(2))+(y-y_(1))(y-y_(2))=0` से निरूपित वृत्त के व्यास के सिरों के निर्देशांक `A (x_(1), y_(1))` तथा `B (x_(2), y_(2))` होते हैं। `:.` वृत्त का व्यास = A व B के बीच की दुरी `=sqrt((x_(1)-x_(2))^(2)+(y_(1)-y_(2))^(2))`