InterviewSolution
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| 1. |
परवलय `y^(2) = 8x` की उस नाभीय जीवा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका मध्य बिन्दु (2.0) है। |
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Answer» परवलय का दिया गया समीकरण `y^(2) = 8x" "……..(i)` इसकी तुलना `y^(2) = 4ax` से करने पर `a = 2` हम जानते हैं कि नाभीय जीवा के सिरों के निदेशांक `(at^(2),2at)` व `((a)/(t^(2)),(-2a)/(t))`या `(2t^(2),4t)` व `((2)/(t^(2)),(-4)/(t))` है |प्रश्नानुसार, नाभीय जीवा का मध्य बिन्दु (2, 0) है। `rArr" "(1)/(2)(2t^(2) +(2)/(t^(2))) = 2` `rArr" "(1)/(2)(4t - (4)/(t))=0` `rArr" "4t^(2) = 4 rArr t = 1` `therefore` नाभीय जीवा के पहले सिरे के निर्देशांक `=(2t^(2), 4t)` `=(2,4)` `therefore` नाभीय जीवा बिन्दु (2, 4) व (2, 0) से जाती है। `therefore` नाभाय जीवा का समोकरण `y -4 = (0-4)/(2-2)(x-2)` `rArr" "-4(x-2) =0` `rArr" "x-2 =0` |
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| 2. |
एक मेहराव अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है | यह 8 मीटर चौड़ा और केन्द्र से 2 मीटर ऊँचा है | एक सिरे से 1.5 मीटर दूर बिन्दु पर मेहरात की ऊँचाई ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - 1.56 m (लगभग ) | |
| 3. |
एक मेहराब परवलय के आकर का है और इसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है |मेहराव 10 मीटर ऊँचा है और आधार में 5 मीटर मीटर चौड़ा है यह परवलय के दो मीटर की दुरी पर शीर्ष से कितना चौड़ा होगा ? |
| Answer» Correct Answer - 2.23 m ( लगभग ) | |
| 4. |
यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास 20 सेमि और गहराई 5 सेमि है | नाभि ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - नाभि दिए हुए व्यास के मध्य बिंदु पर है | | |
| 5. |
यदि एक वृत्त किसी समकोणीय अतिपरवलय से चार बिन्दुओं `t_(1),t_(2),t_(3)` तथा `t_(4)` में मिलता है, तो सिद्ध कीजिए कि `t_(1),t_(2),t_(3),t_(4)=1.` |
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Answer» माना वृत्त `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c_(1)=0` तथा अतिपरवलय `xy=c^(2)` है। अतिपरवलय पर बिन्दु `(ct,( c )/(t))` है | यह बिन्दु वृत्त पर स्थित है, तब `c^(2)t^(2)+(c^(2))/(t^(2))+2gct+2f( c )/(t)+c_(1)=0` या `c^(2)t^(4)+c^(2)+2gct^(3)+2fct+c_(1)t^(2)=0` या `c^(2)t^(4)+2gct^(3)+c_(1)t^(2)+2fct+c^(2)=0` या `t^(4)+(2g)/(c)t^(3)+(c_(1))/(c^(2))t^(2)+(2f)/(c)t+1=0` माना t के चार मूल `t_(1),t_(2),t_(3),t_(4)` हैं | तब समीकरण सिद्धान्त से, `t_(1).t_(2).t_(3).t_(4)=("अचर पर")/(t^(4)" का गुणांक")=(1)/(1)=1.` |
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| 6. |
उस त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष है - `(a,b),(a,-b),(a+b,a-b)` |
| Answer» `b(x^(2)+y^(2))-(a^(2)+b^(2))x+(a-b)(a^(2)+b^(2))=0` | |
| 7. |
उस त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष है - `(1,0),(0,-6),(3,4)` |
| Answer» `4x^(2)+4y^(2)-142x+47y+138=0` | |
| 8. |
उस त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष है - उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो तीन बिन्दुओं `(0,1), (1,0)" तथा "(2,1)` से होकर जाता है। |
| Answer» `x^(2)+y^(2)-2x-2y+1=0` | |
| 9. |
उस त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष है - वृत्त `x^(2)+y^(2)=16` को प्राचल समीकरणों में व्यक्त कीजिए। |
| Answer» `x=4costheta,y=4sintheta` | |
| 10. |
उस त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष है - `2x+y-3=0, 3x-y-7=0" तथा "x-2y+1=0` से बने परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» `x^(2)+y^(2)-5x-y+4=0` | |
| 11. |
उस त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष है - `(1,1),(2,-1),(3,2)` |
| Answer» `x^(2)+y^(2)-5x-y+4=0` | |
| 12. |
उस त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष है - `(3,0),(1,-6),(4,-1)` |
| Answer» `2x^(2)+2y^(2)-5x+11y-3=0` | |
| 13. |
निम्नलिखित अति परवलयों के शीर्षों और नाभियों के निर्देशांकों, उत्केन्द्रता और नाभिलम्ब जीवा कि लम्बाई ज्ञात कीजिए (i) `(x^(2))/(9)-(y^(2))/(16)=1` (ii) `a^(2)-16x^(2)=16.` |
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Answer» (i) दिया है `(x^(2))/(9)-(y^(2))/(16)=1` इसकी तुलना `(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))=1` से करने पर, `a^(2)=9" या "a=3` और `b^(2)=16" या "b=4` `:.b^(2)=a^(2)(e^(2)-1)` `16=9(e^(2)-1)` `(16)/(9)=e^(2)-1` या `e^(2)=1+(16)/(9)=(25)/(9)` उत्केन्द्रता, `e=(5)/(3)` अत: नाभियों के निर्देशांक `=(+-ae,0)=(+-3xx(5)/(3),0)` |
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| 14. |
जिसके अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष क्रमश: 8 और 10 है | |
| Answer» `25x^(2)-16y^(2)=400` | |
| 15. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)-3x+4y=0` का केन्द्र तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए। |
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Answer» वृत्त `" "x^(2)+y^(2)-3x+4y=0` तथा वृत्त `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0` की तुलना से `2g=-3" या "g=-(3)/(2)` तथा `" "2f=4" या "f=2` तब केन्द्र के निर्देशांक (-g, -f) `=((3)/(2),-2)` त्रिज्या `=sqrt(g^(2)+f^(2)-c)` `=sqrt((9)/(4)+4)=(5)/(2).` |
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| 16. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका : केन्द्र (-a, -b) तथा त्रिज्या `sqrt(a^(2)-b^(2))` है। |
| Answer» `x^(2)+y^(2)+2ax+2by+2b^(2)=0` | |
| 17. |
जिसके अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष क्रमश: 3 और 4 हों | |
| Answer» `16x^(2)-9y^(2)=36` | |
| 18. |
जिसका संयुग्मी अक्ष 5 और नाभियों के बिच का अन्तर 13 है | |
| Answer» `25x^(2)-144y^(2)=900` | |
| 19. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)+4x-4y-1=0` का केन्द्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `g=(1)/(2)(x" का गुणांक)=(1)/(2)4=2` `f=(1)/(2)(y" का गुणांक")=(1)/(2)(-4)=-2,c=-1` अत: वृत्त का केन्द्र (-2, 2) (g और f के चिन्ह बदलकर) वृत्त की त्रिज्या `=sqrt(g^(2)+f^(2)-c)=sqrt((2)^(2)+(-2)^(2)-(-1))` `=sqrt(4+4+1)=sqrt(9)=3" मात्रक"` अत: वृत्त: केन्द्र (-2, 2) तथा त्रिज्या 3 है। |
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| 20. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)+4x+2y+1=0` की त्रिज्या तथा केन्द्र ज्ञात कीजिए। |
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Answer» वृत्त का समीकरण है : `x^(2)+y^(2)+4x+2y+1=0` `implies" "(x^(2)+4x)+(y^(2)+2y+1)=0` `implies" "(x^(2)+2x.2+2^(2)-4)+(y^(2)+2y+1)=0` `implies" "(x+2)^(2)+(y+1)^(2)=4" "…(i)` समीकरण (i) की तुलना `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=a^(2)` से करने पर, अत: वृत्त का केन्द्र (-2, -1) तथा इसकी त्रिज्या 2 इकाई है। |
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| 21. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका : केन्द्र (1, 1) तथा त्रिज्या `sqrt(2)` है। |
| Answer» `x^(2)+y^(2)-2x-2y=0` | |
| 22. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका : केन्द्र `((1)/(2),(1)/(4))` तथा त्रिज्या `(1)/(12)` है। |
| Answer» `36x^(2)+36y^(2)-36x-18y+11=0` | |
| 23. |
वृत्त `5x^(2)+5y^(2)+4x-8y-16=0` के केन्द्र के निर्देशांक तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए। |
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Answer» वृत्त `5x^(2)+5y^(2)+4x-8y-16=0` या `" "x^(2)+y^(2)+(4)/(5)x-(8)/(5)y-(16)/(5)=0` तथा `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0` की तुलना से, `2g=(4)/(5)impliesg=(2)/(5)` `2f=-(8)/(5)impliesf=-(4)/(5)` तथा `" "c=-(16)/(5)` अत: केन्द्र के निर्देशांक `=(-g,-f)=(-(2)/(5),(4)/(5)).` त्रिज्या `=sqrt(g^(2)+f^(2)-c)` `=sqrt((4)/(25)+(16)/(25)+(16)/(5))` `=sqrt((20)/(25)+(16)/(5))` `=sqrt((100)/(25))=sqrt(4)=2` मात्रक |
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| 24. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका : केन्द्र (2, 3) तथा त्रिज्या 5 है। |
| Answer» `x^(2)+y^(2)-4x-6y-12=0` | |
| 25. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका : केन्द्र (0, 2) तथा त्रिज्या 2 है। |
| Answer» `x^(2)+y^(2)-4y=0` | |
| 26. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)=100` का केन्द्र तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(0,0),10` | |
| 27. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- शीर्ष (0, 0) तथा नाभि (0, 3) है। |
| Answer» Correct Answer - `x^(2)=12y` | |
| 28. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- शीर्ष (0, 0) तथा नाभि (0, 1) है। |
| Answer» Correct Answer - `x^(2)=4y` | |
| 29. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- शीर्ष (0, 0), नाभि (0, 5) है। |
| Answer» Correct Answer - `x^(2)=20y` | |
| 30. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- शीर्ष (0, 0) तथा नाभि (3, 0) है। |
| Answer» Correct Answer - `y^(2)=12x` | |
| 31. |
दीर्घवृत्त `25x^(2)+9y^(2)=225` को मानक रूप में लिखिए। |
| Answer» `(x^(2))/(9)+(y^(2))/(25)=1` | |
| 32. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- शीर्ष (0, 0), (5, 2) से जाता है और y-अक्ष के सापेक्ष सममित है। |
| Answer» Correct Answer - `2x^(2)=25y` | |
| 33. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- शीर्ष (-3, 0), नियता `x+5=0` है। |
| Answer» `y^(2)=8(x+3)` | |
| 34. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- शीर्ष (0, 0) तथा नाभि (-2, 0) है। |
| Answer» Correct Answer - `y^(2)=-8x` | |
| 35. |
परवलय का समीकरण ज्ञात करो, जिसका- नाभि (5, 3) तथा नियता `3X-4Y+1=0` है। |
| Answer» `(4x+3y)^(2)-256x-142y+849=0` | |
| 36. |
निम्न परवलयों के शीर्ष, नाभि के निर्देशांक, अक्ष तथा नियता के समीकरण ज्ञात कीजिए `x^(2)-6x-4y-11=0` |
| Answer» `(3,-5),(3,-4),x=3,y+6=0` | |
| 37. |
निम्न परवलयों के शीर्ष, नाभि के निर्देशांक, अक्ष तथा नियता के समीकरण ज्ञात कीजिए `(y+3)^(2)=2(x+2)` |
| Answer» `(-2,-3),(-(3)/(2),-3),y+3=0,2x+5=0` | |
| 38. |
निम्न परवलयों के शीर्ष, नाभि के निर्देशांक, अक्ष तथा नियता के समीकरण ज्ञात कीजिए `y^(2)+4x+6y+13-0` |
| Answer» `(-1,3),(-2,3),y-3=0,x=0` | |
| 39. |
दिखाओ कि बिन्दुओं `(x_(1),y_(1))` और `(x_(2),y_(2))` को मिलाने वाली रेखा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त वही है, जो `(x_(1),y_(2)` और `(x_(2),y_(1))` को व्यास के सिरे मानकर खींचा गया वृत्त। बताइए ऐसा क्यों है? |
| Answer» `sqrt(p^(2)+4r),sqrt(q^(2)+4r)` | |
| 40. |
वृत्त `3x^(2)+3y^(2)=27` का केन्द्र तथा व्यास ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `3x^(2)+3y^(2)=27` 3 का दोनों पक्षों में भाग करने पर, `x^(2)+y^(2)=9` `x^(2)+y^(2)=(3)^(2)` `(x-0)^(2)+(y-0)^(2)=(3)^(2)` इसकी तुलना `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=a^(2)` से करने पर, `h=0,k=0" तथा "a=3` `:." केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या, a = 3"` अब व्यास `=2xx" त्रिज्या"` `=2xx3` `=6.` |
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| 41. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)+12x=0` का व्यास ज्ञात कीजिए। |
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Answer» वृत्त का समीकरण, `x^(2)+y^(2)+12x=0` `implies" "x^(2)+12x+36+y^(2)-36=0` `implies" "(x+6)^(2)+y^(2)-36=0` `implies" "(x+6)^(2)+y^(2)=36` इसकी तुलना `(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2)` से करने पर, `a=-6,b=0," तथा "r=6` `because" वृत्त की त्रिज्या = 6"` `:." वृत्त का व्यास = 12 है।"` |
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| 42. |
यदि रेखा `xcosalpha+ysinalpha=p` वृत्त `x^(2)+y^(2)=a^(2)` को A तथा B स्थानों पर प्रतिच्छेदित करती है। सिद्ध कीजिए कि वृत्त का समीकरण जिसका व्यास जीवा AB है, `x^(2)+y^(2)-a^(2)=2p(xcosalpha+ysinalpha-p)` है। |
| Answer» `2sqrt(46),2sqrt(26)` | |
| 43. |
परवलय `t^(2)=-8x` की नियता तथा नाभि ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया गया परवलय `y^(2)=-4ax` के रूप का है। जहाँ, `4a=8impliesa=2` स्पष्टत: नाभि के निर्देशांक `(-a, 0)=(-2, 0)` तथा नियता का समीकरण `x=a` अर्थात `" "x=2` या `" "x-2=0.` |
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| 44. |
परवलय `y^(2)=25x` की नाभि के निर्देशांक तथा नियता का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» परवलय `y^(2)=25x` तथा परवलय `y^(2)=4ax` की तुलना से `4a=25` `a=(25)/(4)` नाभि के निर्देशांक `(a, 0)=((25)/(4),0)` नियता का समीकरण `x+a=0` `x+(25)/(4)=0` या `" "4x+25=0` अत: नाभि के निर्देशांक `((25)/(4),0)` तथा नियता का समीकरण `4x+25=0.` |
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| 45. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात करो जिसके व्यास के सिरे (1, 2) और (3, 4) हैं। |
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Answer» वृत्त का समीकरण `(x-x_(1))(x-x_(2))+(y-y_(1))(y-y_(2))=0` `(x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)=0` `x^(2)-x-3x+3+y^(2)-6y+8=0` `x^(2)+y^(2)-4x-6y+11=0.` |
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| 46. |
निम्नलिखित प्रतिबन्धो को सन्तुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए : (vii) शीर्ष `(+-7,0),e=(4)/(3).` |
| Answer» `(x^(2))/(49)-(9y^(2))/(343)=1` | |
| 47. |
`(x-x_(1))(x-x_(2))+(y-y_(1))(y-y_(2))=0` से निरूपित वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए। |
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Answer» वृत्त `(x-x_(1))(x-x_(2))+(y-y_(1))(y-y_(2))=0` से निरूपित वृत्त के व्यास के सिरों के निर्देशांक `(x_(1),y_(1))` तथा `(x_(2),y_(2))` होंगे। व्यास = सिरों के बीच कि दूरी `=sqrt((x_(1)-x_(2))^(2)+(y_(1)-y_(2))^(2))` |
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| 48. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (1, -2) तथा (4, -3) से होकर जाता है और जिसका केन्द्र सरल रेखा `3x+4y=5` पर है। |
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Answer» मान लो अभीष्ट वृत्त का समीकरण `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0` है। चूँकि यह वृत्त बिन्दुओं (1, -2) तथा (4, -3) से होकर जाता है, अत: `1+4+2g-4f+c=0" "…(1)` तथा `" "16+9+8g-6f+c=0" "...(2)` चूँकि वृत्त का केन्द्र (-g, -f) रेखा `3x+4y=5` पर स्थित है। `-3g-4f=5" "...(3)` समीकरण (1), (2), और (3) को हल करने पर `g=-3,f=1,c=5` अत: अभीष्ट वृत्त का समीकरण है : `x^(2)+y^(2)-6x+2y+5=0.` |
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| 49. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका केन्द्र (1, -3) है और जो रेखा `2x-y-4=0` को स्पर्श करता है। |
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Answer» वृत्त के केन्द्र (1, -3) से स्पर्शी रेखा `2x-y-4=0` पर लम्ब की लम्बाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी। अत: वृत्त की त्रिज्या `=(2xx1-(-3)-4)/(sqrt(2^(2)+(-1)^(2)))=(2+3-4)/(sqrt(4+1))` `=(1)/(sqrt(5))` अत: वृत्त का समीकरण है, `(x-1)^(2)+(y+3)^(2)=(1)/(5)` या `" "5x^(2)-10x+5+5y^(2)+30y+45=1` या `" "5x^(2)+5y^(2)-10x+30y+49=0.` |
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| 50. |
उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी नाभि `(-8, -2) और नियता `y=2x-9` है। |
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Answer» मान लो परवलय पर कोई बिन्दु `P(x, y)` है। बिन्दु P से नाभि `S(-8, -2)` को मिलाओ और नियता `y=2x-9` पर लम्ब PM डालो, तो परिभाषा से, `" "PS=PM` या `" "sqrt((x+8)^(2)+(y+2)^(2))=(2x-y-9)/(sqrt(4)+1)` या `" "5[(x+8)^(2)+(y+2)^(2)]=(2x-y-9)^(2)` या `" "x^(2)+4y^(2)+4xy+116x+2y+259=0.` जो परवलय का अभीष्ट समीकरण है। |
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