InterviewSolution
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| 1. |
` lim_(x to a) ((x-a)/(x^(3)-a^(3)))`का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» ` lim_(x to a) (x-a)/(x^(3)-a^(3))=lim_(x to a)(x-a)/((x-a)(x^(2)+ax+a^(2)))` `lim_( x to a)1/(x^(2)+ax+a^(2))` ` 1/(a^(2)+a^(2)+a^(2))` ` 1/(3a^(2))` |
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| 2. |
( B) निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए : (i)`lim_ (x to 1) (x^(3) - x^(2) +1)` (ii) `lim _(xto 3 ) [ x(x+1)]` (iii) ` lim_(x to -1)( 1 + x + x^(2)+. . . . .. . . .+x^(10)).` |
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Answer» (i)` lim_( x to 0) (x^(3) - x^(2) +1) = 1^(3) - 1^(2) +1` `= 1-1+1` `=1` (ii) ` lim_(x to 3) [ x( x+1)]=3(3+1)` ` = 3 xx 4` ` = 12` (iii) ` lim_(x to -1)(1+x+x^(2)+ . . . . . . +x^(10))= 1-1+(-1)^(2)+ (-1)^(3)+(-1)^(4)+(-1)^(5)+(-1)^(6)+(-1)^(7)+(-8)^(8)+(-1)^(9)+(-1)^(10)` ` = 1-1 +1 - 1 +1 -1+1-1+1-1+1` `=1` स्थिति 3 (Type 3) : अपरिमेय फलन की सीमा ( Limit of irrational function ) यदि y=f(x) और f(x) एक अपरिमेय फलन है तो f(x ) की सीमा ज्ञात करने के लिए पहले फलन को परिमेय बना लीजिये फिर स्थिति 1 की तरह सीमा ज्ञात लीजिए | |
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| 3. |
` ax^(n) log_(e^(x))"का " x` के साक्षेप अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना ` y = ax^(n) log_(e^(x))` x के साक्षेप अवकलन करने पर , ` (dy)/(dx) = a [ x^(n) (d.)/(dx) log_(e^(x)) + log _(e)xd/(dx) x^(n)]` ` = a [ x^(n) 1/x + log_(e^(x)).nx^(n-1)]` ` = a [ x^(n-1) + nx^(n-1) log_(e)x]` ` = ax^(n-1) [ 1+ n log_(e)x].` |
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| 4. |
मूल नियमो से `sqrt(sin x)` का अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना ` f(x) = sqrt( sin x) = y " तो " f( x+h) = sqrt(sin ( x+h))` ` d/(dx) sqrt( sin x) = lim _( h to 0) (sqrt( x+h) - sqrt( sin x))/h` ` = lim _( h to 0) ( sqrt( sin ( x+h)) - sqrt( sin x))/hxx (sqrt(sin(x+h))+sqrt(sin x))/(sqrt(sin(x+h))+sqrt(sin x))` ` = lim _( h to 0 ) (sin ( x+h) - sin x)/(h[sqrtsin(x+h)+sqrt(sin x)])` ` = lim _ ( h to 0) ( 2cos (x + 1/2 h)sin. 1/2h)/(h[sqrt( sin ( x+h))+ sqrt( sin x)])` ` lim _ ( h to 0) ( cos ( x+ 1/2 h))/( sqrt( sin ( x+h))+ sqrt( sinx ))xx lim _( h to 0) ( sin1/2h)/(1/2h)` ` = ( cos x)/( sqrt( sin x)+sqrt( sin x))xx 1 = ( cos x)/( 2 sqrt( sin x))` |
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| 5. |
निम्नलिखित प्रश्नो के मान ज्ञात कीजिये : ` lim _( x to a) (x^(5)-a^(5))/(x^(2)-a^(2))` |
| Answer» Correct Answer - ` 5/2a^(3)` | |
| 6. |
फलन `sqrt(tan x)` का x के सापेक्ष प्रथम सिद्धांत से अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» मान लीजिए ` f(x) = sqrt(tan x) " तो " f( x+h) = sqrt(tan ( x +h))` ` :. d/dx sqrt(tan x) = lim _(h to 0) (sqrt(tan(x+h))-sqrt(tan x))/h` ` = lim _( h to 0 ) sqrt( tan ( x +h) - sqrt(tan x ))/hxx(sqrt(tan (x+h))+ sqrt( tan x))/(sqrt( tan ( x +h))+ sqrt( tanx))` `= lim _( h to 0) ( tan ( x +h)-tanx)/(h[sqrt( tan ( x+h))+sqrt(tanx)])` ` = lim_( h to 0) ( sin ( x+h)cos x - sin x cos ( x+h))/(h[sqrt( tan ( x +h))-sqrt( tan x)]cos ( x+h)cos x)` ` = lim _( h to 0) (sin h)/(h[sqrt(tan ( x +h))-sqrt( tan x)]cos ( x +h) cos x )` `= lim _( h to 0) 1/([sqrt(tan ( x+h))+ sqrt(tan x)])xxlim_( h to 0) ((sin 0)/h) . lim _( h to 0) 1/( cos ( x+h) . cos x)` ` = 1/(2sqrt(tan x ))xx1/( cos^(2)x)=(sec^(2)x)/(2 sqrt(tanx))` |
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| 7. |
फलन ` x^(n)/(log_(e^(x)))` का x के साक्षेप अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `d/(dx) { (x^(n))/(log_(e)x}}= ( log_(e)xd/(dx)x^(n) - x^(n) d/(dx) log_(e)x)/( log_(e)x)^(2)` ` = ( log_(e) x. nx^(n-1) -x^(n) . 1/x)/( log_(e)x)^(2)` ` = ( nx^(n-1) log_(e)x-x^(n-1))/( log_(e)x)^(2)` ` = ( x^(n-1) ( nlog _(e) x-1))/( log_(e)x)^(2)` |
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| 8. |
फलन tan x का x के साक्षेप अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» ज्ञात है कि ` tan x = ( sin x) /( cos x) " अतएव "d/(dx) tan x = d/(dx) ( (sinx)/cosx)` ` d/(dx) tan x = ( cos x d/(dx) ( sin x) - sin x d/(dx) ( cos x) )/( cos^x)^(2)` ` (cos x ( cos x) - sin x ( sin x))/( cos^(2) x) ` ` = ( cos^(2) x + sin^(2) x )/( cos^(2) x) = 1/( cos^(2)) = sec^(2)` इस प्रकार ` d/( dx) tan x = sec^(2) x.` |
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| 9. |
फलन sec x का x के साक्षेप अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» ` d/dx sec x = .d/(dx) 1/(cos x)` ` = ( cos xd/(dx) 1-1 . d/(dx) cos x)/(cosx)^(2) ` ` ( cosx^(0) -(-sin x))/(( cos^(2) x)^(2))= ( sin x) /( cos^(2) x)` ` 1/cos .-tan x sec x ` इस प्रकार ` d/(dx) sec x = sec x. tan x. ` |
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| 10. |
`e^(ax)` का प्रथम सिद्धांत से अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना ` f(x) = e^(ax) , f( x+h) = e^(a(x+h)` ` (dy)/(dx) = lim_( h to 0) ( e^(a(x+h))-e^(ax))/h` ` = lim _ ( h to 0) ( e^(ax) (e^(ah)-1))/h` ` = lim _( h to 0) ( e^(ax)(1+ ah + (ah^(2))/(2!) + . . . . . . -1))/h` ` = lim_ ( h to 0) (e^(ax)(1+ ah+ (ah)^(2)/(2!)+ . . . . . -1))/(2!)` ` = lim _ ( h to 0) ( he^(ax) (a+ (ah^(2))/(2!) . . . . . . ))/h` ` = lim _( h to 0) e^(ax) ( a+ (ah^(2))/(2!)+ . . . . )` ` = e^(ax) xx a` ` = ae^(ax)` |
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| 11. |
`tan x^(2)` का प्रथम सिद्धांत द्वारा x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना ` f(x) = tan x ^(2)` तब `f( x+h) = tan ( x+ h)^(2)` ` :. d/(dx) tan x^(2) = lim_( h to0) ( tan ( x+h)^(2) -tan x^(2))/(h)` ` = lim _( h to 0 ) ((sin(x+h)^(2))/(cos ( x+h)^(2)) -(sinx^(2))/(cosx^(2)))/h` `= lim _( h to 0) ( sin ( x +h)^(2) cos x^(2) - cos ( x+ h)^(2). sin x^(2))/( h cos ( x+h)^(2) cos x^(2))` ` = lim _ ( h to 0) ( sin [ ( x + h)^(2) - x^(2)])/(hcos(x+h)^(2) cos x^(2))` `= lim_( h to 0) ( sin [ ( x+h)^(2) - x^(2)])/( h cos ( x + h)^(2) . cos x^(2) )` ` = lim _( h to 0) (sin [ h^(2) + 2xh])/(h cos ( x+ h)^(2) . cos x^(2))` ` = lim _( h to 0) ( sin [h^(2) + 2xh])/( h cos (x +h)^(2) . cos x^(2))` ` = lim _( h to 0) ( sin h( h + 2x))/( h ( h + 2x)).((h+2x))/( cos ( x+h)^(2) . cos x^(2))` `= lim _( h to 0) ( sin h(h + 2x))/(h ( h + 2x)).lim _ ( x to 0) ( h + 2x)/( cos ( x+ h)^(2) . cos x^(2))` ` = 1. (2x)/( cos x^(2). cos x^(2))= (2x)/( cos^(2)x)` ` = 2 sec ^(2) x^(2).` |
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| 12. |
निम्नलिखित प्रश्नो के मान ज्ञात कीजिये : ` lim _( x to 2) ( 3x^(2)-x-10)/(x^(2)-4)` |
| Answer» Correct Answer - `11/4` | |
| 13. |
`sin x^(2) ` का x के सापेक्ष प्रथम सिद्धांत से अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना ` f(x) = sin x^(2)` तब `f ( x+h) = sin ( x + h)^(2)` ` d/(dx) sin x^(2) = lim _( h to 0 ) (sin( x+h)^(2)-sin x^(2))/h` ` = lim _( h to 0 ) ((2cos(x+h)^(2)+x^(2))/2.(sin (x+h^(2))-x^(2))/2)/h` ` lim _( h to 0 )((2cos(x+h)^(2)+x^(2))/2.sin(h+2x)/2)/h ` ` lim _(h to 0 ) ((2cos(x+h)^(2)+x^(2))/2.sin . (h (h +2x))/2 xx ((h + 2x))/2)/(h (( h+2x)/2))` ` 2 lim _( h to 0 ) cos ((2x^(2) + 2hx + h^(2))/2)xx lim _(h to 0 ) ((sin. (h(h+2x))/2)/(h( h + 2x)/2))xx1/2 lim _ ( h to 0 ) ( h + 2x) ` ` = 2x cos x^(2) ` |
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| 14. |
`e^(x) cos x ` का x के सापेक्ष अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `f(x)=e^(x)cos x` ` f( x +h) = e^(x+h) cos ( x+h)` ` (dy)/(dx)= lim_( h to 0)(f(x+h)-f(x))/h` ` d/(dx) (e^(x) cos x) = lim _( h to 0 ) (e^( x+h) cos ( x +h) -e^(x)cos x )/h` ` = lim _( h to 0) (e^(x).e^(x)cos( x+h)-cosx)/h` `= lim _( h to 0 ) (e^(x)[ e^(h)cos ( x +h) - cos x))/h` ` = lim _( h to 0) (e^(x) [(1+ h+(h^(2))/(2!)+. . . . . )cos ( x +h) - cos x ] )/h` ` = lim _( h to 0 ) (e^(x)[ cos ( x +h) h cos ( x+h) + (( h^(2))/(2!)+. . . . )cos ( x +h) - cos x ])/h` ` lim _( h to 0) e^(x) [(cos( x+h)-cos x)/h+(h cos ( x+h))/h+h((h/(2!)+. . . . )cos( x +h))/h]` ` lim _( h to 0 ) e^(x) [(-2 sin ((2x+h)/h)sin. h/2)/(h//2)+cos ( x +h) (h/(2!)+. . . . )cos ( x +h)]` ` = e^(x) [ -sin x . 1 + cos x]` ` d/(dx)( e^(x) cos x) = e^(x) [ -sin x + cos x].` |
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| 15. |
`sin 2 x` का मूल नियमो से x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `f(x) sin 2x` तो ` f( x +h) = sin 2 ( x+h) ` ` d/(dx) ( sin 2x) = lim_( h to 0 ) [ ( sin 2 ( x+h) - sin 2x)/h]` ` = lim _(h to 0) [(2 cos. 1/2 ( 2x + 2h+2x) sin. 1/2 ( 2x + 2h - 2x))/h]` ` = lim _( h to 0) [ 2 cos ( 2x+h) . (sin h)/h]` ` = 2 lim _( h to 0) cos ( 2x+ h) xx lim _( h to 0) ((sin h)/h)` ` = 2 cos ( 2x+ 0) . 1 , " क्योकि " lim _( h to 0) (sin h)/h = 1 ` ` = 2 cos 2 x.` |
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| 16. |
निम्नलिखित प्रश्नो के मान ज्ञात कीजिये : ` lim _( x to a) (x^(4)-a^(4))/(x^(2)-a^(2))` |
| Answer» Correct Answer - `2a^(2)` | |
| 17. |
निम्नलिखित प्रश्नो के मान ज्ञात कीजिये : ` lim _( x to 1)[(x-2)/(x^(2)-x)-1/(x^(3)-3x^(2)+2x)]` |
| Answer» Correct Answer - 2 | |
| 18. |
फलन cot x का x के साक्षेप अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» ` d/(dx) ( cot x) = d/(dx) ((cosx)/(sin x))` ` =( sin x .d/(dx) ( cos x) - cos x. d/(dx) ( sin x))/( sin^(2)x)` =` (sin x . ( -sin x) - cos x. ( cos x))/( sin^(2)x)` ` = ( sin^(2) + cos^(2) x)/( sin^(2)x)= 1/( sin ^(2)x)` ` d/(dx) cot x = - cos sec^(2) x . ` |
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| 19. |
निम्नलिखित प्रश्नो के मान ज्ञात कीजिये :` lim _( x to 3) (x^(4) -81)/(2x^(2)- 5x-3)` |
| Answer» Correct Answer - `108/7` | |
| 20. |
निम्नलिखित प्रश्नो के मान ज्ञात कीजिये : ` lim _( x to 2) (x^(2) - 5x +6)/(x^(2)-6x+8)` |
| Answer» Correct Answer - `1/2` | |
| 21. |
फलन ` 6x^(100) - x^(55)+ x` का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» ` ( 6x^(100)-x^(55)+x) = d/(dx) ( 6x^(100)) - d/(dx) ( x^(55) )+ d/(dx)(x)` ` = 6 d/(dx) x^(100) - d/(dx) x^(55) + d/(dx)x` ` = 600x^(99) - 55 x^(54) + 1` |
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| 22. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । `x-a, (px+q)(r/s+s), ( ax+b) ( cx + d)^(2)` |
| Answer» Correct Answer - ` (-qr)/(x^(2)) + ps , 2c( ax+b) ( cx+d) + a ( cx+d)^(2)` | |
| 23. |
यदि y= x/( 1+tan x) , तो`dy/dx` ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - ` ( 1+ tan x - x sec^(2) x)/( 1+ tan x)^(2)` | |
| 24. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । `x^(2)/(e^(2)+x^(2))` |
| Answer» Correct Answer - ` (2xe^(2))/((e^(2)+x^(2))^(2))` | |
| 25. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` sin x+ 1/(sin x)` |
| Answer» Correct Answer - ` cos x - cosecx cot x ` | |
| 26. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` x/(a^(2) +x^(2))` |
| Answer» Correct Answer - ` (a^(2) -x^(2)) /((a^(2)+x^(2))^(2))` | |
| 27. |
यदि ` y = ( 5x^(2) + 6x+7)/(2x^(2) + 3x + 0)` तो `dy/dx` का मान ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - ` (3(x^(2) + 4x + 1))/((2x^(2) + 3x + 4)^(2))` | |
| 28. |
यदि ` y = ( x+1) /x , तो (dy)/(dx)` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है ` y = ( x+1)/x ` ` (dy)/(dx) = d/(dx) ( (x+1)/x)` ` = (x d/(dx) ( x+1) - ( x+1) d/(dx)(x))/(x^(2))` ` = ( x(1) - ( x+1) (1) )/(x^(2)) = ( x- x-1)/(x^(2))` ` = -1/(x^(2))` |
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| 29. |
यदि ` y = x/( x+5)` , तो का मान ज्ञात कीजिए कि ` x dy/dx= y(1-y)` |
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Answer» दिया है ` y = x/(x +5 )` ` (dy)/(dx) = (( x+5) .d/(dx) (x)-x.d/(dx)( x +5))/(( x +5)^(2)) = ((x+5).1-x.1)/((x+5)^(2))` ` = ( x+5-x)/(x+5)^(2) = 5/(x+5)^(2) rArr x (dy)/(dx) = (5x)/(x+5)^(2) " "`…(1) तथा ` y ( 1-y) = x/( x +5) (1- x/(x+5)) = x/(x+5) (5/(x+5)) = (5x)/( x+5)^(2)" "`...(2) अतः (1 ) और (2 ) से , ` x (dy)/(dx) = y( 1-y)`. |
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| 30. |
यदि` y = log sin x + tan x` , तो `dy/dx` का मान ज्ञात कीजिए , जबकि `x=pi/3` हो । |
| Answer» Correct Answer - ` ( 1+ 4 sqrt(3))/(sqrt(3))` | |
| 31. |
यदि ` y = (e^(x))/x, " तो " (dy)/(dx) ` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `( dy) /(dx) = (xd/dx-e^(x) d/dxx)/(x^(2))` ` (xe^(x) - e^(x).1)/x^(2) = (e^(x)(x-1))/x^(2)` |
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| 32. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` e^(x)/(1-e^(x))` |
| Answer» Correct Answer - ` (e^(x))/((1+e^(x))^(2))` | |
| 33. |
यदि ` y = (x^(n) -a^(n))/(x-a) ` तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - ` ( nx^(n) - anx^(n-1) - x^(n) + a^(n))/( (x-a)^(2))` | |
| 34. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` 5 sin x 6 cos x+7` |
| Answer» Correct Answer - ` 5 cos x + 6 sin x ` | |
| 35. |
यदि ` y = ( x -4)/(2sqrt(2))` , तो` x=4` पर `dy/dx` का मान ज्ञात कीजिए । क्या` x=0` पर `dy/dx` का मान मिल सकता है ? |
| Answer» Correct Answer - `1/4 `, नहीं | |
| 36. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` 2 tan x - 7 sec x` |
| Answer» Correct Answer - ` 2 sec ^(2) x - 7 sec x tan x ` | |
| 37. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` ( sec x - 1)/(sec x+1)` |
| Answer» Correct Answer - ` (2 sec x tan x)/( sec x +1)^(2)` | |
| 38. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । (i) ` (x^(2) cos (pi/4))/(sinx)` (ii) ` (e^(x)+ e^(-x))/(e^(x) - e^(-x))` |
| Answer» Correct Answer - (i) ` (x cos. pi/4 ( 2 sin x - x cos x))/(sin^(2)x)` (ii) `(-4) /((e^(x) - e^(-x))^(2))` | |
| 39. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए ।` ( a +bsin x)/(c+d cos x)` |
| Answer» Correct Answer - ` (bc cos x + ad sin x + bd)/( c+ d cos x)^(2)` | |
| 40. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` ( sin x- cos x)/(x sin x + cos x)` |
| Answer» Correct Answer - ` (x^(2))/(( x sin x + xcos x)^(2))` | |
| 41. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` (log _(e)x)/( sin x)` |
| Answer» Correct Answer - ` ( sin x - x cos x log_(e) x)/(x sin^(2)x)` | |
| 42. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । `(cos x)/(log_(e)x)` |
| Answer» Correct Answer - `( -sin x log_(e) x - 1/x cos x)//(log_(e)x)^(2)` | |
| 43. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` ( x - a) (x-b), (x-a)/(x-b)` |
| Answer» Correct Answer - ` 2x- a-b (a-b)/((x-b)^(2))` | |
| 44. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` (ax^(2)+b^(2))` |
| Answer» Correct Answer - ` 4ax( ax^(2) +b)` | |
| 45. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` x^(4) ( 5 sin x - 3 cos x)` |
| Answer» Correct Answer - ` x^(3) ( 5 x cos x + 3 x sin x + 20 sin x - 12 cos x)` | |
| 46. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` x log _(e) x` |
| Answer» Correct Answer - `1 + log_(e)x` | |
| 47. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । `e^(x)sin x` |
| Answer» Correct Answer - ` e^(x) ( sin x+ cos x)` | |
| 48. |
निम्न फलनों के x साक्षेप अवकल - गुणांक प्रथम सिद्धांत से ज्ञात कीजिए : (i) `5^(x)` (ii) ` a^(x) ` |
| Answer» Correct Answer - (i) ` 5^(x) log_(e) 5` (ii) ` a^(x) log_(e)a` | |
| 49. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । ` y = (ax)^(n) +(b/x)^(m)` |
| Answer» Correct Answer - ` ( na^(n)x^(n-1)-mb^(m)x^(m))` | |
| 50. |
निम्नलिखित फलनों का x के साक्षेप अवकल - गुणांक ज्ञात कीजिए । `1/((ax^(2)+bx+c))` |
| Answer» Correct Answer - ` (-(2ax +b))/((ax^(2) +bx+c)^(2))` | |