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1.

एक सम्बन्ध का उदाहरण दे, जो (i) न स्वतुल्य है, न सम्मित है और न संक्रामक है| (ii) सम्मित तथा स्वतुल्य है लेकिन संक्रामक नहीं है| (iii) स्वतुल्य तथा संक्रामक है लेकिन सम्मित नहीं है|

Answer» माना की `A={1,2,3}`
(i) `R_(1)= {(1,1), (2,3), (3,1)}`
(ii) `R_(2) = {(1,1),(2,3),(3,1)}`
(iii) `R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}`
Discussion
2.

माना कि `X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}`, माना कि X में सम्बन्ध `R_(1)` तथा `R_(2)` इस प्रकार हैं कि `R_(1) = {(x,y):x-y,3` से विभाज्य हैं,`xney`} तथा `R_(2) = {(x,y):{x,y} subset {1,4,7}` या `{x,y} subset {2,5,8}` या `{x,y} subset {3,6,9}` जहाँ `subset` का अर्थ उपसमुच्चय से हैं| दिखाएं कि `R_(1) = R_(2)`

Answer» दिया हैं, `X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}`
माना कि `A_(1) = {1,4,7}, A_(2)={2,5,8}, A_(3)= {3,6,9}`
स्पष्तः `A_(1)` या `A_(2)` या `A_(3)` के कीन्हों दो अवयवों का अंतर 3 का अपवर्त्य हैं|
अब `(x,y) int R_(1) ltimplies A_(1)` या `{x,y} subset A_(2)` या `{x,y} subset A_(3)`
`ltimplies (x,y) int R_(2)`
अतः `R_(1) = R_(2)`
Discussion
3.

माना कि A={1,2,3}, तो साबित करें कि (1,2) तथा (2,3) को अंतविरष्ठ करने वाले वैसे सम्बन्धों कि संख्या 4 हैं जो स्वतुल्य तथा संक्रामक हैं, लेकिन सम्मित नहीं हैं|

Answer» (1,2) तथा (2,3) को शामिल करने वाले न्यूनतम करने अवयवों वाला सम्बन्ध जी स्वतुल्य तथा संक्रामक हैं, लेकिन सम्मित नहीं हैं, `R_(1)` होगा, `R_(1) = {(1,1),(2,2),(3,3),1,2),(2,3),(1,3)}`
अब यदि `R_(1)` में (2,1) शामिल करें तो प्राप्त सम्बन्ध `R_(2)` भी स्वतुल्य तथा संक्रामक होगा लेकिन सम्मित नहीं होगा|
उसी तरह `R_(1)` में क्रमश: (3,2) तथा (3,1) कि शामिल करने पर प्राप्त सम्बन्ध `R_(3)` तथा `R_(4)` भी है होंगे| पुनः `R_(1)` में (2,1),(3,2) तथा `(3,1) में से कोई दो शामिल करने पर संक्रामकता के लिए तीसरा भी शामिल करना होगा और तब प्राप्त सम्बन्ध सम्मित भी हो जायेगा|
अतः कुल अभीष्ट संबंधों कि संख्या =4
Discussion
4.

साबित करें कि [Prove that] (i) एक तुल्यता सम्बन्ध का प्रतिलोम सम्बन्ध भीएक तुल्यता सम्बन्ध होता हैं| (ii) दो तुल्यता संबंधों का सर्वनिष्ठ भी एक तुल्यता सम्बन्ध होता हैं| (iii) दो सम्मित सम्बन्धों का सम्मिलन भी एक सम्मित सम्बन्ध होता हैं|

Answer» (i) माना कि किसी सम्मुच्य A पर R एक तुल्यता सम्बन्ध हैं| तो R, स्वतुल्य सम्मित तथा संक्रामक होगा|
(a) स्वतुल्यता से, (x,x) `int R, AA x int A`
`rArr (x,x) int R^(-1)`
`rArr R^(-1)` स्वतुल्य हैं|
(b) `(x,y) int R^(-1)`
`rArr (y,x) int R`
`rArr (y,x) int R^(-1)`
`therefore R^(-1)` सम्मित हैं|
( c) `(x,y) int R^(-1)` तथा `(y,z) int R^(-1)`
`rArr (y,x) int R` तथा `(z,y) int R`
`rArr (z,y) int R` तथा `(y,x) int R`
`rArr (z,x) int R`
`rArr (x,z) int R^(-1)`
इस प्रकार `R^(-1)` संक्रामक हैं|
अतः `R^(-1), A` पर एक तुल्यता सम्बन्ध हैं|
(ii) माना कि सम्मुच्य A पर R तथा S दो तुल्यता सम्बन्ध हैं|
तो R तथा S दोनों स्वतुल्य सम्मित तथा संक्रामक हैं|
(a) `(x,x) int R` तथा `(x,x) int S, AA x int A`
`rArr (x,x) int R cap S AA x int A`
`rArr R cap S` स्वतुल्य हैं|
(b) `(x,y) int R cap S rArr (x,y) int R` तथा `(x,y) int S`
`rArr (y,x) int R cap S` संक्रामक हैं|
इस प्रकार `R cap S` स्वतुल्य, सम्मित तथा संक्रामक हैं और इसलिए यह A पर एक तुल्यता सम्बन्ध हैं|
(iii) माना कि R तथा S ,A पर एक सम्मित सम्बन्ध हैं|
अब, `(x,y) int R cup S rArr (x,y) int R` or `(x,y) int S`
`rArr (y,x) int R` or `(y,x) int S`
`rArr (y,x) int R cap S`
इस प्रकार `R cup S`, A पर एक सम्मित सम्बन्ध हैं|
Discussion
5.

माना कि N सभी प्राकृत संख्याओं का सम्मुच्य हैं तथा `N xx N` पर सम्बन्ध R,(a,b) R (c,d) यदि और केवल यदि ad(b+c) = bc(a+d) द्वारा परिभाषित हैं| जाँच करें कि क्या R,`N xx N` पर एकतुल्यता सम्बन्ध हैं?

Answer» माना कि (a,b), (c,d), (e,f) `int N xx N`
(i) स्वतुल्य चूँकि `ab(b+a)=ba(a+b)`, सभी `a,b int N` के लिए
`(therefore ab=ba` तथा `b+a=a+b)`
`therefore (a,b) R (a,b) rArr R` स्वतुल्य हैं|
(ii) सम्मित माना कि (a,b)R(c,d) `rArr ad(b+c) = bc(a+d)`
`rArr bc(a+d) = ad(b+c)`
`rArr cd(d+a) = da(c+b)`
`rArr (c,d) R (a,b)`
इस प्रकार, `(a,b) R (c,d) rArr (c,d) R (a,b)`
अतः R सम्मित हैं|
(iii) संक्रामक माना कि `(a,b) R (c,d)` तथा `(c,d) R (e,f)`
`rArr ad(b+c) = bc(a+d)` तथा `cf(d+e) = de(c+f)`
`rArr (b+c)/(bc) = (a+d)/(ad)` तथा `(d+e)/(de) = (c+f)/(cf)`
`rArr 1/c + 1/b = 1/d + 1/a` तथा `1/e + 1/d = 1/f + 1/c`
`rArr 1/c + 1/b + 1/e + 1/d = 1/d + 1/a + 1/a + 1/f + 1/c`
`rArr 1/b + 1/e = 1/a + 1/f rArr (b+c)/(be) = (a+f)/(af)`
`rArr af(b+e) = be(a+f) rArr (a,b) R(e,f)`
इस प्रकार `(a,b)R(c,d)` तथा `(c,d)R(e,f) rArr (a,b) R (e,f)`
अतः R संक्रामक हैं
इस प्रकार सम्बन्ध R, स्वतुल्य सम्मित तथा संक्रामक हैं| अतः `R,N xx N` पर एक तुल्यता सम्बन्ध हैं|
Discussion
6.

माना कि पूर्णाकों के सम्मुच्य Z पर `xRy ltimplies x = y AA x,y ∈ Z` से परिभाषित सम्बन्ध R हैं| दिखाएँ कि R एक तुल्यता सम्बन्ध हैं|

Answer» Correct Answer - हाँ
Discussion
7.

दिखाएँ कि प्राकृत संख्याओं के सम्मुच्य N पर सम्बन्ध R, जो `xR y ltimplies 2x^(2)-3xy+y^(2)=0` अर्थात `R={(x,y):x,y ∈ N` तथा `2x^(2)-3xy+y^(2)=0}` से परिभाषित है, सम्मित नहीं है लेकिन यह सवतुल्य है|

Answer» (i) `2x^(2)-3x.x+x^(2) =0, AA x int N`
`therefore xRx AA x int N` अर्थात R सवतुल्य है
(ii) `x=1, y=2` के लिए `2x^(2)-3xy+y^(2)=0`
`therefore 1 R 2` अर्थात, `(1,2) int R`
लेकिन `2.2^(2)-3.2.1 + 1^(2) = 3 ne 0`
अतः 2,3 से सम्बन्ध R द्वारा सम्बन्धित नहीं है अर्थात (2,1)` notin R`
इस प्रकार `(1,2) int R` लेकिन `(2,1) int R`
`therefore R` सम्मित नहीं है|
Discussion
8.

माना की `f : x to y` एक फलां है| X में एक सम्बन्ध `R,R = {(a,b):f(a) = f(b)}` से परिभाषित करें| जाँच करें यदि R एक तुल्यता सम्बन्ध है|

Answer» हाँ, R एक तुल्यता सम्बन्ध है|
Discussion
9.

माना की प्राकृत संख्याओं के सम्मुच्य N पर `mRn ltimplies (m-n)(m-n)=0` से परिभाषित सम्बन्ध R है| क्या R एक तुल्यता सम्बन्ध है?

Answer» Correct Answer - नहीं
Discussion
10.

(i) क्या प्राकृत संख्याओं के सम्मुच्य N पर परिभाषित सम्बन्ध `gt` एक तुल्यता सम्बन्ध है| (ii) दिखाएँ की वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्य पर सम्बन्ध `gt` संक्रामक है लेकिन सवतुल्य नहीं है|

Answer» Correct Answer - (i) नहीं
Discussion