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1.

एक बोल्ट बनाने के कारखाने में मशीने (यंत्र) A,B,C कुल उत्पादित बोल्ट का क्रमश: 25%,35% तथा 40% बोल्ट बनाती है। इन मशीनों के उत्पादन का 5%,4% तथा 2% भाग खराब (त्रुटिपूर्ण) है। एक बोटल यदृच्छया निकाला जाता है और वह खराब पाया जाता है। प्रायिकता निकालें कि यह मशीन A या C द्वारा बनाया गया है।

Answer» ऊपर के उदाहरण की तरह `P(E_(1)//E)=25/26` और `P(E_(3)//E)=16/69`
`:.` अभीष्ट प्रायिकता `=P(E_(1)//E)+P(E_(3)//E)=25/69+16/69=41/69`
Discussion
2.

एक बोल्ट बनानेवाले कारखाने में मशीनें (यंत्र) A,B,C कुल उत्पादन का क्रमशः 25%, 35%,40% बोल्ट बनाती हैं। इस मशीनों के उत्पादन का क्रमश3 5%,4%,2% भाग खराब (त्रुटिपूर्ण) हैं। बोल्टों के कुल उत्पादन में से एक बोल्ट यादृच्छया निकाला जाता है और वह खराब पाया जाता है इस बोटल के मशीन A,B,C द्वारा निर्मित होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Answer» माना कि `E_(1)=` बोल्ट के मशीन A द्वारा बने होने की घटना
`E_(2)=` बोल्ट के मशीन B द्वारा बने होने की घटना
`E_(3)=` बोटल के मशीन C द्वारा बने होने की घटना
`E=` निकाले गए बोल्ट के त्रुटिपूर्ण होने की घटना
अब `P(E_(1))=25/100,P(E_(2))=35/100,P(E_(3))=40/100`
चूंकि मशीन A द्वारा बनाए गए बोल्ट में 5% त्रुटिपूर्ण है।
`:.P(E//E_(1))=` बोलट के खराब होने की प्रायिकता जबकि दिया हो कि वह मशीन A द्वारा
निर्मित है `=5/100`
उसी तरह `P(E//E_(2))=4/100,P(E//E_(3))=2/100`
अब बेज- प्रमेय से `P(E_(1)//E)=(P_(E_(1)).P(E//E_(1)))/(P(E_(1)).P(E//E_(1))+P(E_(2)).P(E//E_(2))+P(E_(3)).P(E//E_(3)))`
`=(25/100 . 5/100)/(25/100 . 5/100+35/100 . 4/100+40/100 . 2/100)=125/(125+140+80)=125/345=25/69`
`P(E_(2)//E)=(P(E_(2)).P(E//E_(2)))/(P(E_(1)).P(E//E_(1))+P(E_(2)).P(E//E_(2))+P(E_(3)).P(E//E_(3)))`
`=(35/100. 4/100)/(25/100 . 5/100+35/100 . 4/100+40/100 . 2/100)=140/345=28/69`
`P(E_(3)//E)=1-P(E_(1)//E)-P(E_(2)//E)=1-25/69-28/69=16/69`
Discussion
3.

तीन कलश A,B तथा C में क्रमशः 4 लाल तथा 6 सफेदः 3 लाल तथा सफेदः 2 लाल तथा 4 सफेद गेंदें हैं। एक कलश यदृच्छया चुना जाता है तथा इससे एक गेंद निकाला जाता है। यदि निकाला गया गेंद लाल पाया जाता है तो प्रायिकता निकालें कि गेंद कलश A से निकाला गया है।

Answer» माना कि `E_(1)=` कलश A के चुनने की घटना
`E_(2)=` कलश B के चुनने की घटना
`E_(3)=` कलश C के चुनने की घटना
`E=` एक लाल गेंद के निकालने की घटना
यहां `P(E_(1))=P(E_(2))=P(E_(3))=1/3`
तथा `P(E//E_(1))=4/10=2/5,P(E//E_(2))=3/8,P(E//E_(3))=2/6=1/3`
अब बेज प्रमेय से अभीष्ट प्रायिकता
`P(E_(1)//E)=(P(E_(1)).P(E//E_(1)))/(sum_(i=1)^(3)P(E_(1)).P(E//E_(i)))=(1/3xx2/5)/(1/3xx2/5+1/3xx3/8+1/3xx1/3)=(2/5)/(2/5+3/8+1/3)`
`=(2xx8xx3)/(2xx8xx3+3xx4xx3+1xx5xx8)=48/(48+45+40)=48/133`
Discussion
4.

एक थैले में 3 सफेद और 6 काली गेंदें हैं जबकि दूसरे थैले में 6 सफेद और 3 काली गेंदें हैं एक थैला का यदृच्छया चुना जाता है तथा इससे एक गेंद निकाला जाता है निकाले गए गेंद के सफेद रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Answer» थैला I, थैला II
`3W, 6W`
`6B, 3B`
माना कि `E_(1)=` थैला I के चुने जाने की घटना
`E_(2)=` थैला II के चुने जाने कल घटना
`E=` निकाले गए गेंद के सफेद रंग के होने की घटना संपूर्ण प्रायिकता के प्रमेय से
अभीष्ट प्रायिकता `P(E)=P(E_(1)nnE)+P(E_(2)nnE)`
`=P(E_(1)).P(E//E_(1))+P(E_(2)).P(E//E_(2))`
`=1/2 . 3/9 +1/2 . 6/9=9/18=1/2`
Discussion
5.

एक बहुविकल्पी प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जाता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें उसके उत्तर जानने की प्रायिकता `3/4` है और अनुमान लगने की प्रायिकता `1/4` है । मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता `1/4` है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?

Answer» माना कि `A=` विद्यार्थी द्वारा सही उत्तर देने की घटना
`A_(1)=` विद्यार्थी के उत्तर जानने की घटना
`A_(2)=` विद्यार्थी द्वारा अनुमान से उत्तर देने की घटना
अब बेज-प्रमेय से अभीष्ट प्रायिकता
`P(A_(1)//A)=(P(A_(1))P(A//A_(1)))/(P(A_(1)).P(A//A_(1))+P(A_(2)).P(A//A_(2)))`…….i
प्रश्न से `P(A_(1))=3/4,P(A_(2))=1/4`
पुनः `P(A/(A_(2)))=` अनुमान पर उत्तर के सही होने की प्रायिकता `=1/4`
तथा `P(A/(A_(1)))=` उत्तर जानने पर उसके सही होने की प्रायिकता `=`
अतः 1 से `P(A_(1)//A)=(3/4xx1)/(3/4xx1+1/4xx1/4)=(3/4)/((1+12)/16)=3/4xx16/13=12/13`
Discussion
6.

दो एक जैसा बक्से हैं जिनमें क्रमशः 4 सफेद तथा 3 लाल, 3 सफेद तथा 7 लाल गेंदें हैं। एक बक्से को यदृच्छया चुना जाता है तथा उसमें से एक गेंद यदृच्छया निकाला जाता है। यदि निकाला गया गेंद सफेद है तो इस बाद की कया प्रायिकता है कि निकला गया गेंद पहले बॉक्स से है?

Answer» माना कि `E_(1)=` पहले बक्से से चुने जाने की घटना
`E_(2)=` दूसरे बक्से के चुने जाने की घटना
तथा `E=` सफेद गेंद के निकलने की घटना
तो `P(E_(1))=1/2,P(E_(2))=1/2`
`P(E//E_(1))=4/(4+3)=4/7,P(E//E_(2))=3/(3+7)=3/10`
बेज –प्रमेय से अभीष्ट प्रायिकता
`P(E_(1)//E)=(P(E_(1))P(E//E_(1)))/(P(E_(1))P(E//E_(1))+P(E_(2))P(E//E_(2)))`
`=(1/2xx4/7)/(1/2 xx4/7+1/2xx3/10).(4/7)/(4/7+3/10)=40/(40+21)=40/61`
Discussion
7.

एक व्यक्‍ति के बारे में ज्ञात है कि वह 4 मे से 3 बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को उछालता है और बतलाता है कि उस पर आनेवाली संख्या 6 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर आनेवाली संख्या वास्तव में 6 है।

Answer» माना कि `A=` व्यक्‍ति द्वारा पासे को उछाल कर यह बताने की घटना कि उस पर आनेवाली संख्या 6 है।
माना कि `A_(1)=`पासा को फेंकने पर उस पर 6 आने की घटना
तथा `A_(2)=` पासा को फेंकने पर उस पर 6 नहीं अने की घटना अब बेज प्रमेय से
`P(A_(1)//A)=(P(A_(1)).P(A//A_(1)))/(P(A_(1).P(A//A_(1))+P(A_(2)).P(A//A_(2)))`………..1
यहां `P(A_(1))=1/6` तथा `P_(A_(2))=5/6`
`P(A//A_(1))=` व्यक्‍ति द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पास पर ऊपर आयी संख्या 6 है जबकि वास्तव में पास पर आयी संख्या 6 ही है।
`=` व्यक्‍ति के सत्य बोलने की प्रायिकता `=3/4`
`P(A//A_(2))=` व्यक्‍ति द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासा पर संख्या 6 आयी है जब वास्तव में पासा पर संख्या 6 नहीं आयी है।
`=` व्यक्‍ति के असत्य बोलने की प्रायिकता `=1/4`
अब 1 से `P(A_(1)//A)=(1/6 .3/4)/(1/6 . 3/4 +5/6 . 1/4)=3/4`
Discussion
8.

एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें है। दोनों थैलों में से एक को यदृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैला से निकाली गई है?

Answer» माना कि `E=` एक लाल गेंद निकाले जाने की घटना
`E_(1)=` पहले थैले को चुनने की घटना
`E_(2)=` दूसरे थैले को चुनने की घटना
अब बेज पेमेय से अभीष्ट प्रायिकता
`P(E_(1)//E)=(P(E_(1)).(E//E_(1)))/(P(E_(1).P(E//(E_(1)))+P(E_(2)).P(E//E_(2))`………..1
प्रश्न से `P(E_(1))=P(E_(2))=1/2`
`P(E//E_(1))=` पहले थेले के चुने जाने पर लाला गेंद निकलने की प्रायिकता `=4/8=1/2`
तथा `P(E//(E_(2)))=` दूसरे थैले के चुने जाने पर लाला गेंद के निकलने की प्रायिकता `=2/8=1/4`
अब 1 से `P((E_(1))/E)=(1/2 . 1/2)/ (1/2 . 1/2 +1/2 .1/4)=2/3`
Discussion
9.

यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A-ग्रेड लिया। वर्ष के अंत में महाविद्यालय के एक छात्र को यदृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A-ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाता है?

Answer» माना कि `A=` छात्र को A-ग्रेड मिलने की घटना
`A_(1)=` छात्र के छात्रावास में रहने की घटना
`A_(2)=` छात्र के छात्रावास में नहीं रहने की घटना
अब बेज-प्रमेय से अभीष्ट प्रायिकता
`P(A_(1)//A)=(P(A_(1)).P(A//A_(1)))/(P(A_(1)).P(A//A_(1))+P(A_(2)).P(A//A_(2)))`…………..1
प्रश्न से `P(A_(1))=60/100,P(A_(2)),P(A_(2))=40/100,P(A//A_(1))=30/100`
तथा `P(A//A_(2))=20/100`
1 से `P(A_(1)//A)=(60/100xx30/100)/(60/100xx30/100+40/100xx20/100)=1800/2600=9/13`
Discussion