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1.

बिंदुओं (3,4,1) तथा (5,1,6) को मिलानेवाली रेखा xy-तल को जहाँ काटता हैं उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें|

Answer» माना कि `A-=(3,4,1), B-=(5,1,6)`
AB के (direction ratios) `3-5,4-1,1-6` अर्थात `-2,3,-5` हैं|
रेखा AB का समीकरण होगा, `(x-3)/-2 = (y-4)/3 = (z-1)/-5=r` (माना) ............(1 )
रेखा (1 ) पर किसी बिंदु का नियामक `P(-2r + 3, 3r+4, -5r+1)` लिया जा सकता हैं|
यदि P, xy-तल पर हैं, तो `-5r + 1=0` या `r=1/5`
`therefore P=(13/5, 23/5,0)`
Discussion
2.

उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात करें जो एक बिंदु से गुजरती हैं जिसका स्थिति सदिश `2hati -hatj + 4hatk` हैं तथा जो `hati + 2hatj - hatk` कि दिशा में हैं|

Answer» `(x-2)/1 = (y+1)/2 = (z+4)/-1`
Discussion
3.

दो दिखाएँ जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच कि न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिये| (i) `vecr =hati + 2hatj +3hatk + lambda(2hati + 3hatj + 4hatk)`, तथा (and) `vecr = 2hati + 4hatj + 5hatk +mu(3hati + 4hatj + 5hatk)`

Answer» दो रेखाओं `vecr = veca_(1) +lambda vecb_(1)` तथा `vecr = veca_(2) + muvecb_(2)` के बीच कि न्यूनतम दुरी,
`d=|((veca_(2)-veca_(1))(vecb_(1) xx vecb_(2)))/(|vecb_(1)-vecb_(2)|)|`............(1)
(i) यहाँ `veca_(1) = hati + 2hatj + 3hatk, vecb_(1) = 2hati + 3hatj + 4hatk`
`veca_(2) = 2hati + 4hatj + 5hatk` तथा `vecb_(2) = 3hati + 4hatj + 5hatk`
अब `veca_(2) -veca_(1) = (2hati + 4hatj + 5hatk)- (hati + 2hatj + 3hatk)`
`=hati + 2hatj + 2hatk`.............(2)
`vecb_(1) xx vecb_(2) = |:(hati, hatj,hatk),(2,3,4),(3,4,5):|= (15-16)hati - (10-12)hatj + (8-9)hatk`
`=-hati + 2hatj - hatk`.........(3)
`|vecb_(1) xx vecb_(2)|= sqrt((-1)^(2) + 2^(2) + (-1)^(2))=sqrt(6)`...........(4)
`(veca_(2)-veca_(1)).(vecb_(1) xx vecb_(2)) =(hati + 2hatj + 2hatk).(-hati + 2hatj - hatk)`
`=1 xx (-1) +2 xx 2 + 2 xx (-1) =1`........(5)
(4) तथा (5) में प्राप्त मानों को (1) में रखने पर हमें मिलता हैं,
`d=|1/sqrt(6)|=1/sqrt(6)`
Discussion
4.

दो रेखाओं जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच कि न्यूनतम दुरी ज्ञात करें| (i) `vecr = (3-t)hati + (4+2t)hatj + (t-2)hatk` तथा (and) `vecr = (1+s)hati + (3s-7)hatj + (2s-2)hatk`

Answer» (i) दी हुई रेखाएँ हैं, `vecr = (3-t)hati + (4+2t)hatj + (t-2)hatk`.............(1)
(1)से, `vecr =(3hati + 4hatj -2hatk)+t(-hati + 2hatj+hatk)`
(1) से, `vecr =(3hati +4hatj -2hatk) + t(-hati + 2hatj +hatk)`
`rArr vecr = veca_(1) + tvecb_(1)`
जहाँ `veca_(1) = 3hati + 4hatj - 2hatk` तथा `vecb_(1) = -hati + 2hatj + hatk`
(2) से, `vecr =(hati - 7hatj -2hatk)+s (hati + 3hatj + 2hatk)`
`rArr vecr = veca_(2) + svecb_(2)`
जहाँ `veca_(2) = hati-7hatj - 2hatk` or `vecb_(2) = hati + 3hatj + 2hatk`
रेखाओं (1) तथा (2) के बीच कि न्यूनतम दुरी
`d=|((veca_(2)-veca_(1))(vecb_(1)xx vecb_(2)))/(|vecb_(1) xx vecb_(2)|)|`..........(1)
अब `veca_(2)-veca_(1) = (hati - 7hatj - 2hatk) -(3hati + 4hatj -2hatk) = -2hati-11hatj`........(2)
`vecb_(1) xx vecb_(2) = |:(hati, hatj, hatk),(-1,2,1),(1,3,2):|=hati + 3hatj - 5hatk`..........(3)
`|vecb_(1) xx vecb_(2)| = sqrt(1^(2) + 3^(2) + (-5)^(2))= sqrt(35)`..........(4)
तथा `(veca_(2)-veca_(1)).(vecb_(1) xx vecb_(2)) = (-2hati-11hatj).(hati + 3hatj - 5hatk)`
`=(-2) xx 1 +(-11) xx 3+0 =-35`............(5)
`therefore d=|-35/sqrt(35)|=35/sqrt(35)=sqrt(35)` इकाई
Discussion
5.

रेखाओं ` (x+2)/( 4) =( y+2)/( -5) =(z+ 2)/( 3)` और ` (x-2)/(1) =( y-4)/( -2) =(z-6)/(1) ` के बीच लघुतम दुरी है:A. ` sqrt((26)/(11))`B. `( sqrt( 26))/( 11)`C. `3sqrt((26)/(11))`D. `(26)/( sqrt11)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
6.

किसी रेखा का कार्तीय समीकरण हैं `(x+3)/2 = (y-5)/4 = (z+6)/2` इसका सदिश समीकरण ज्ञात करें|

Answer» `vecr = -3hati + 5hatj - 6hatk + lambda (2hati + 4hatj + 2hatk)`
Discussion
7.

बिंदुओं `(-1,0,2)` तथा (3,4,6) से जाती हुई रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात करें|

Answer» `vecr = -hati + 2hatk + lambda(4hati+ 4hatj + 4hatk)`
Discussion
8.

मूल बिंदु और (5,-2,3) से जाने वाली रेखा का समीकरण सदिश तथा कार्तीय रूपों में ज्ञात कीजिये|

Answer» `vecr = lambda(5hati - 2hatj + 3hatk), x/5 = y/-2 = z/3`
Discussion
9.

निम्नलिखित रेखा युग्मों के बीच कि कोण ज्ञात कीजिये| (i) `(x+4)/3 = (y-1)/1 = (z-3)/8` (ii) `(x-2)/2 = (y-1)/5 = (z+3)/-3` and `(x+2)/-1 = (y-4)/8 = (z-5)/4`

Answer» (i) `cos^(-1) 2/3`, (ii) `cos^(-1) 26/(9sqrt(38))`
Discussion
10.

निम्नलिखित रेखा युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिये| (i) `(x-1)/2 = (y-2)/3 = (z-4)/6, x+1 = (y+2)/2 = (z-4)/2` (ii) `(x+1)/3 = (y-1)/5 =(z+3)/4, (x+1)/1 = (y-4)/4 =(z-5)/2`

Answer» (i) `cos^(-1)20/21`, (ii) `cos^(-1) (8sqrt(3))/15`
Discussion
11.

बिंदुओं `(3,4,-7)` तथा `(1,-1,6)` से गुजरती हुई रेखा का समीकरण कार्तीय तथा सदिश रूप में ज्ञात करें|

Answer» माना कि `A -=(3,4,-7), B-=(1,-1,6)` तथा `O -=(0,0,0)`
अब `veca = vec(OA) = 3hati + 4hatj -7hatk` तथा `vec(OB) = hati - hatj + 6hatk`
बिंदुओं `A(veca)` तथा `B(vecb)` से गुजरती हुई रेखा का समीकरण होता हैं,
`vecr = veca +lambda (vecb-veca)`
या `vecr = 3hati + 4hatj- 7hatk + lambda(-2hati -5hatj+13hatk)`............(1)
कार्तीय रूप में समीकरण: AB का समीकरण हैं, `(x-3)/(3-1) = (y-4)/(4+1) = (z-7)/(-7-6)`
या `(x-3)/2 = (y-4)/5 = (z+7)/(-13)`
Discussion