InterviewSolution
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| 1. |
उन रेखाओ के दिक् अनुपात ज्ञात कीजिए जिनकी दिक् कोज्यायें निम्नलिखित सम्बन्धो से सम्बन्ध है- `l+m+n=0` तथा `2mn+2ml-mn=0` |
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Answer» Correct Answer - (1,1,-2)(1,-2,1) दी गयी समीकरणों को हल करने पर, `m=(-n)/(2),l=-(n)/(2) rArr (l)/(1)=(m)/(-2)=(n)/(1)` `:.` दिक् कोज्याय `=(1)/(sqrt(6)),(1)/(sqrt(6)),(-2)/(sqrt(6))` |
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| 2. |
यदि रेखा का समीकरण `(3-x)/(-3)=(y+2)/(-2)=(z+2)/(6)` तो उस रेखा की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिए जो दी गयी रेखा के समान्तर है। |
| Answer» Correct Answer - `(3)/(7),(-2)/(7),(6)/(7)` | |
| 3. |
उस रेखा की दिक् कोजायें ज्ञात कीजिए जो निम्न सम्बन्धो द्वारा सम्बन्ध है- `l+m+n=0` तथा `2mn+2ml-nl=0` |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(sqrt(6)),(1)/(sqrt(6)),(-2)/(sqrt(6))` या `(-2)/(sqrt(6)),(1)/(sqrt(6)),(1)/(sqrt(6))` | |
| 4. |
यदि एक चर रेखा की दो संलग्न स्थितियों में दिक् कोजायें `l,m,n` तथा `l+deltal,m+deltam,n+deltan` हो तो सिद्ध कीजिए की `(deltatheta)^(2)=(deltal)^(2)+(delta m)^(2)+(delta n)^(2)` जहाँ `deltatheta` दोनों स्थितियों के मध्य कोण है । |
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Answer» हम जानते है `l^(2)+m^(2)+n^(2)=1` व `(l deltal)^(2)+(m+deltam)^(2)+(n+deltan)^(2)=1` `rArr l^(2)+m^(2)+n^(2)+(deltal)^(2)+(deltam)^(2)+(deltan)^(2)+2(ldeltal+m delta m+n delta n)=1` `rArr 1+(delta l)^(2)+(delta m)^(2)+(delta n)^(2)=1-2 (l delta l+m delta m + n delta n) " " ( :. l^(2)+m^(2)+n^()=1)` `rArr (delta l)^(2)+(delta m)^(2)=-2(l delta l+m delta m+n delta n)....(1)` हम जानते है की `cos delta theta=l(l delta l)+m (m+ delta m)+n(n+delta n)` `rArr 1-2"sin"^(-2) (delta theta)/(2)=l^(2)+m^(2)+n^(2)+(l delta l+m delta m+ n delta n).....(2)` यदि `` अत्यंत छोटा हो तब `"sin"((delta theta)/(2))~~(delta theta)/(2)` इसलिए समीकरण (2) से `1-2((delta theta)/(2))^(2)=1 (l delta l+ m delta m+ n delta n)` `rArr (delta theta)^(2)=-2 (l delta l + m delta m+ n delta n)....(3)` समीकरण (1) व (3) से `(delta l)^(2)+(delta m)^(2)+(delta n)^(2)=(delta theta)^(2)` |
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| 5. |
बिन्दु (2,3,4) की समतल `3x+2y+2z+5=0` से दुरी ज्ञात कीजिए जो की रेखा `(x+3)/(3)=(y-2)/(6)=(z)/(2)` एक समान्तर नापी गयी है । |
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Answer» प्रशानुसार समतल का समीकरण : `3x+2y+2z+5=0" "...(1)` रेखा का समीकरण `: (x+3)/(3)=(y-3)/(6)=(z)/(3)" "..(2)` दिये गये बिन्दु P(2,3,4) से होकर जाने वाली तथा (2) के समान्तर रेखा का समीकरण `(x-2)/(3)=(y-3)/(6)=(z-4)/(2)=k` (माना)`" "...(3)` माना रेखा (3) पर कोई बिन्दु Q है, तब Q के निर्देशांक के ये मान समीकरण (1) में रखने पर `3(3k+2)+2(6k+3)+2(2k+4)+5=0` `rArr k=-1` `:.Q` के निर्देशांक `-=(3k+2,6k+3,2k+4)` `-=(-1,-3,2)` अतः P व Q के बीच की अभीष्ट दुरी `sqrt((2+1)^(2)+(3+3)^(2)+(4-2)^(2))=sqrt(49)` =7` इकाई |
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| 6. |
बिन्दु (1,-2,3) कि समतल `x-y+z=5` से दुरी ज्ञात कीजिए जो रेखा `(x)/(2)=(y)/(3)=(z)/(-6)` के समान्तर है। |
| Answer» Correct Answer - 1 | |
| 7. |
समतलों `7x+5y+6z+30=0` तथा `3x-y-10z+4=0` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `"cos"^(-1)(2)/(5)` | |
| 8. |
बिन्दु (2,-1,11) से रेखा `(x)/(2)=(y-2)/(-3)=(z-3)/(4)` की लाम्बिक दुरी ज्ञात कीजिए| |
| Answer» Correct Answer - `sqrt(5.8)` इकाई | |
| 9. |
निम्नलिखित समतलों का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए- (i) `x+7y-5z+19=0 " "(ii) x-3y+6z=0` |
| Answer» Correct Answer - `(i) vec.(-hati-7hatj+5hatk)=19 " " (ii) vecr.(hati-3hatj+6hatk)=0` | |
| 10. |
दिखाइए कि रेखाओं ` (x + 1) /(3) = ( y + 3) /(5) = ( z + 5) /(7) ` और ` ( x- 2 ) /(1) = ( y - 4) /(4) = ( z - 6) /(7) ` समतलीय है | उस समतल का समीकरण भी ज्ञात कीजिए जिसमे ये रेखाये स्थित है | |
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Answer» यहाँ ` ( x _ 1, y _1, z _ 1 ) = ( -1, -3, -5 ) , ( x _ 2, y _ 2 , z _2) = ( 2, 4,6 ), a _ 1, b _ 1, c _ 1 = 3, 5, 7, a _2, b _ 2, c _ 2 = 1, 4,7 ` अब `|{:(x_2- x _ 1,, y _ 2-y _ 1,, z _ 2 - z _ 1 ), ( a _ 1 ,, b _ 1, , c _ 1 ) , ( a _ 2,, b _ 2,, c _ 2 ) :}| ` = ` |{:(3,,7,,11),(3,,5,,7),(1,,4,,7):}|` = ` 3 ( 35 - 28 ) - 7 ( 21 - 7 ) +11 ( 12 - 5 ) ` ` = 21 - 98 + 77 =0 ` अतः दी गई रेखाये समतलीय है | दोनों रेखाओ को आविष्ट करने वाले समतल का समीकरण ` |{:(x-x_1,,y-y_1,,z - z _1),(a_1,,b_1,,c_1),(a_2,,b_2,,c_2 ):}| = 0 ` ` rArr |{:(x + 1,, y + 3,, z + 5), ( 3,,5,,7 ) , ( 1,,4,,7):}| = 0 ` ` rArr ( x + 1 ) ( 35- 28 ) - ( y + 3 ) ( 21 - 7 ) + ( z + 5 ) ( 12 - 5) = 0` `rArr 7 ( x + 1 ) - 14 ( y + 3 ) + 7 ( z + 5 ) = 0 ` ` rArr ( x + 1 ) - 2 ( y + 3) + ( z + 5 ) = 0 ` ` rArr " " x - 2y + z = 0 ` |
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| 11. |
दिखाइए कि रेखाये ` (x + 1 ) /(-3) = ( y - 3) /(2) = ( z + 2) /(1) ` और `(x ) /(1) =(y -7)/(-3) = (z + 7)/(2) ` समतलीय है | इसमें होकर जाने वाले समतल का समीकरण भी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` x + y + z = 0 ` |
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| 12. |
बिन्दु (-1,3,2) से रेखा `vecr=(2hatj+3hatk)+lambda(2hati+hatj+3hatk)` पर डाले गये लम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए। इस बिन्दु से डाले गये लंबापद के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - `vecr=(-hati+3hatj+2hatk)+lambda(3hati-9hati+hatk),(-(4)/(7),(12)/(7),(15)/(7))` | |
| 13. |
दिखाइए कि बिन्दु ` A (0, 4, 3), B( - 1, - 5, - 3), C ( -2, -2, - 1 ) ` और ` D(1, 1, 1 ) ` समतलीय है | उस समतल का समीकरण भी ज्ञात कीजिए जिसमे ये बिन्दु स्थित है | |
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Answer» माना बिन्दु `A(0, 4, 3 ) ` से होकर जाने वाला समतल निम्नलिखित है ` a (x - 0 ) + b ( y - 4) + x (z - 3) = 0 ` ` rArr ax + b ( y - 4) + c ( z - 3 ) = 0 " " ` ... (1) यह बिन्दु ` B(-1, -5, -3) ` से होकर जाता है | ` therefore " " - a - 9b - 6c = 0 ` ` rArr " " a + 9b + 6c = 0 " " `... (2) समतल बिन्दु ` C (-2, - 2, - 1 )` से होकर जाता है | `" " - 2 a - 6 b - 4 c = 0 ` ` rArr " " a + 3b + 2 c = 0 " " `... (3) समीकरण (2 ) और (3 ) को वज्र गुणन विधि से हल करने पर ` (a)/(18-18) = (b)/(6-2 ) = (c)/(3-9) ` ` rArr (a)/(0) = (b)/(4) = (c)/(-6)` ` rArr (a)/(0) = (b)/(2) = (c)/(-3)= k ` (माना ) ये मान समीकरण (1 ) में रखने पर ` 0 + 2k ( y - 4) - 3 k (z - 3 ) = 0 ` ` rArr 2y - 8 - 3z + 9 = 0 ` `rArr 2y - 3z + 1 = 0 ` बिन्दु `D(1,1,1 )` के लिए L.H.S. = `2 (1) - 3 (1) + 1 = 2 - 3 + 1 ` `=0 ` = R.H.S. ` therefore ` बिन्दु `D(1,1,1)` इस समतल पर स्थिति है | अतः दिए गए बिन्दु समतलीय है तथा इन बिंदुओं से होकर जाने वाले समतल का समीकरण `2 y -3z + 1 = 0 ` है | |
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| 14. |
बिंदु ` ( 2, 3 , 5 ) ` से होकर जाने वाले और समतल `x - 3y + z = 8 ` के समान्तर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` x - 3y + z + 2 = 0 ` |
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| 15. |
बिन्दु ` ( hati + 6hatj + 3 hatk ) ` से रेखा ` vecr = hatj + 2hatk + lamda ( hati + 2hatj + 3hatk ) ` पर डाले गए लम्ब पाद के निर्देशांक और लम्ब की माप ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` hati + 3hatj + 5hatk , sqrt ( 13 ) ` |
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| 16. |
निम्नलिखित रेखायुगमो के लिए दिखाइए कि वे प्रतिच्छेद करते है | इनके प्रतिच्छेद बिन्दु भी ज्ञात कीजिए | ` ( x - 1 )/(2) = ( y - 2)/(3 ) = ( z - 3) /( 4 ) ` और ` ( x - 4 ) /(5) = (y - 1 ) /(2) = z ` |
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Answer» Correct Answer - (i) ` ( - 1, - 1, - 1 ) ` (ii) ` ( 5, - 7, 6 ) ` |
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| 17. |
` lamda ` का मान ज्ञात कीजिए, यदि निम्नलिखित समतल परस्पर लम्ब है (i) ` 2x - 4y +3z + 1 = 0 ` और ` x + 2y +lamda z = 3` (ii) ` vecr * ( 3hati - 6hatj - 2hatk ) = 1 ` और ` vecr * ( 2hati + hatj - lamda hatk ) = 2 ` |
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Answer» Correct Answer - (i) 2 (ii) 0 |
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| 18. |
` lamda ` का मान ज्ञात कीजिए यदि निम्नलिखित रेखाये परस्पर लम्ब है ` ( 1 - x ) /( 3 ) = ( 7y - 14 ) /( 3lamda ) = ( z + 1 ) /(2) ` और ` ( 7 - 7 x ) /(3lamda ) = (y ) /(1) = ( 1 - z ) /(5) ` |
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Answer» Correct Answer - ` (35) /(6) ` |
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| 19. |
रेखाएँ, जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए : ` vec r = ( 1 - t ) hati + ( t - 2 ) hatj + ( 3- 2t ) hatk ` और ` vecr = ( s + 1) hati + ( 2 s - 1 ) hatj - ( 2s + 1 ) hatk ` |
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Answer» दी गई रेखाओं के समीकरण को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है , ` vecr = ( hati - 2hatj + 3hatk ) + t ( - hati + hatj - 2hatk ) ` तथा ` vecr = ( hati - hatj - hatk ) + s ( hati + 2hatj - 2hatk ) ` उपरोक्त समीकरणों की तुलना ` vecr = veca_ 1 + t vecb _ 1 ` तथा ` vecr = veca _ 2 + s vecb _ 2 ` से करने पर, ` vec a _ 1 = hati - 2 hatj + 3 hatk, vecb _ 1 = - hati + hatj - 2 hatk ` तथा ` vec a _ 2 = hati - hatj - hatk, vecb_ 2 = hati + 2hatj - 2 hatk ` अब, ` veca _ 2 - veca _ 1 = ( hati - hatj - hatk ) - ( hati - 2 hatj + 3hatk ) = hatj - 4hatk ` तथा ` vec b _ 1 xx vecb _ 2 = | {:(hati,,hatj,,hatk ) ,(-1,,1,, - 2 ) , ( 1,, 2,, - 2 ) :}| ` ` = ( - 2 + 4 ) hati - ( 2 + 2 ) hatj + ( - 2 - 1 ) hatk ` `= 2 hati - 4 hatj - 3hatk ` ` rArr |vecb _ 1xx vecb _ 2 | = sqrt (( 2 ) ^2 + ( - 4 ) ^(2) + ( -3 ) ^(2) ) ` ` = sqrt ( 4 + 16 + 9 ) = sqrt ( 29) ` ` therefore ` अभीष्ट न्यूनतम दुरी , `d=|((vecb _ 1 xx vecb _ 2 ) * ( veca _2 - vec a _ 1 ) ) /( |vecb _ 1 xx vecb _ 2 |)| ` ` =(| ( 2 hati - 4hatj -3hatk) * ( hatj - 4hatk ) |)/(sqrt29) ` ` = ( | - 4 + 12|)/(sqrt( 29)) = ( 8) /(sqrt ( 29)) ` |
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| 20. |
रेखाएँ , जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है , के बीच की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए : ` vecr = ( hati + 2hatj + 3 hatk) + lamda ( hati - 3hatj + 2hatk) ` और ` vecr = 4 hati + 5hatj + 6hatk + mu ( 2hati + 3hatj + hatk ) ` |
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Answer» दी गई रेखाएँ निम्न है ` vecr = hati + 2hatj + 3hatk + lamda ( hati -3hatj + 2hatk ) ` तथा ` vecr = 4hati + 5hatj + 6hatk + mu ( 2 hati + 3hatj + hatk ) ` दिए गए समीकरण की तुलना ` vecr = veca _ 1 + lamda vecb_ 1 ` तथा ` vecr = veca _ 2 + mu vecb _ 2 ` से करने पर, ` veca _ 1 = hati + 2hatj + 3 hatk , vecb _ 1 = hati - 3hatj + 2hhatk ` तथा ` veca _ 2 = 4 hati + 5hatj + 6hatk , vecb_ 2 = 2hati+ 3 hatj + hatk ` अब, ` veca _ 2- veca _ 1 = ( 4hati + 5hatj + 6hatk ) - ( hati + 2hatj + 3hatk ) ` ` therefore vecb _ 1 xx vec b _ 2 =| {:( hati,,hatj,,hatk),(1,,-3,,2) ,( 2,,3,,1):}|` ` = hati ( - 3 - 6 ) - hatj ( 1 - 4 ) + hatk ( 3 + 6 ) ` ` = -9 hati + 3hatj + 9 hatk ` ` rArr |vecb_ 1 xx vec b _ 2 | = sqrt((- 9 ) ^(2) + ( 3) ^(2) + ( 9 ) ^(2)) ` ` = sqrt ( 81 + 9 + 81 ) ` ` sqrt ( 171 ) = 3 sqrt(19 ) ` ` therefore ` अभीष्ट न्यूनतम दुरी ` d = |((vecb _ 1 xx vec b_ 2 ) * ( veca _ 2 -veca _ 1 ) ) /(|vecb_ 1 xx vecb _ 2 |)| ` ` = (| ( - 9 hati + 3hatj + 9 hatk ) * ( 3hati + 3hatj + 3hatk )|)/( 3sqrt ( 19)) ` ` = (| - 9 xx 3 + 3 xx 3 + 9 xx 3 |)/( 3 sqrt ( 19)) ` ` = ( -27 + 9 + 27 ) /( 3 sqrt ( 19)) = ( 9 ) /(3sqrt ( 19)) = (3) /(sqrt( 19)) ` अतः दी गई दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दुरी ` ( 3) /(sqrt(19) ) ` इकाई है | |
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| 21. |
बिन्दु (1,2-4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं `(x-8)/(3)=(y+19)/(-16)=(z-10)/(7)` और `(x-15)/(3)=(y-29)/(8)=(z-5)/(-5)` पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `vecr=hati+2hatj-4hatk+lambda(2hati+3hatj+6hatk)` | |
| 22. |
सिद्ध कीजिए कि रेखीये ` vecr = ( hati +hatj - hatk ) + lamda ( 3hati - hatj ) ` और ` vec r = ( 4hati -hatk ) +mu (2hati + 3hatk ) ` समतलीय है | उस समतल का समीकरण भी ज्ञात कीजिए जिसमे ये रेखाएं स्थित है | |
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Answer» यहाँ ` veca_1 = 4hati -hatk, vecb _ 1 = 2hati +3hatk ` ` veca_ 1 = hati + hatj - hatk, vecb_ 2 = 3hati - hatj ` अब ` veca _2 - veca _ 1 = - 3hati + hatj ` ` vecb_ 1 xx vecb_ 2 = |{:(hati,,hatj,,hatk), ( 2,,0,,3),(3,,-1,,0):}| = 3hati + 9 hatj - 2hatk ` और ` ( veca _2 - veca_ 1 ) * ( vecb _ 1 xx vecb_ 2 ) = ( -3hati + hatj ) * ( 3hati + 9 hatj - 2hatk ) ` ` = - 9 + 9 ` `= 0 ` अतः दी गई रेखाये समतलीय है | दोनों रेखाओ को आविष्ट करने वाले समतल का समीकरण `( vecr - veca _ 1 ) * ( vecb _ 1 xx vecb _ 2 ) = 0 ` `rArr vecr * ( vecb _ 1 xx vecb_2 ) = veca * ( vecb_ 1 xx vecb _ 2 ) ` ` rArr vecr * ( 3hati + 9 hatj - 2hatk ) = ( 4hati - hatk ) * ( 3hati + 9 hatj - 2hatk ) ` ` = 12 + 2 ` ` rArr vecr * ( 3hati + 9 hatj - 2hatk ) = 14 ` |
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| 23. |
एक समतल की सदिश समीकरण `vecr*(3hati+4hatj-2hatk)=5` है । इस समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रशानुसार, समतल का सदिश समीकरण `vecr*(3hati+4hatj-2hatk=5) " "...(1)` समीकरण (1) में `vecr=xhati+haty+zhatk` रखने पर, `(xhati+yhatj+zhatk)*(3hati+4hatk-2hatk)=5` `rArr 3x+4y-2x=5` यही समतल का कार्तीय रूप में अभीष्ट समीकरण है। |
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| 24. |
समतलों `-x+y+2z=9` तथा `x+2y+z=5` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिये गए समतलों के समीकरण `-x+y+2z=9" "..(1)` `x+2y+z=5 " "..(2)` समतल (1) पर अभिलम्ब की दिक् कोज्यायें `-(1)/(sqrt(6)),(1)/(sqrt(6)),(2)/(sqrt(6))` इसी प्रकार, समतल (2) पर अभिलम्ब की दिक् कोज्यायें `(1)/(sqrt(6)),(2)/(sqrt(6)),(1)/(sqrt(6))` हम जानते है की दो समतलों के बीच का कोण (= उनके अभिलम्बों के बीच का कोण) `cos theta=l_(1)l_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)n_(2)` `=((-1)/(sqrt(6)))((1)/(sqrt(6)))+((1)/(sqrt(6)))((2)/(sqrt(6)))+((2)/(sqrt(6)))((1)/(sqrt(6)))` `=-(1)/(6)+(2)/(6)+(2)/(6)=(1)/(2)` `rArr theta=cos^(-1)((1)/(2))=(pi)/(2)` |
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| 25. |
समतलों `vecr.(2hati-3hatj+4hatk)=1` तथा `vecr.(-hati+hatj)=4` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `cos^(-1)((5)/(sqrt(58)))` `cos theta =|(a_(1)a_(2)+b_(1)b_(2)+c_(1)c_(2))/(sqrt(a_(1)^(2)+b_(1)^(1)+c_(1)^(2))*sqrt(a_(2)^(2)+b_(2)^(2)+c_(2)^(2)))|` |
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| 26. |
रेखा `vecr=(hati+2hatj-hatk)+lambda(hati-hatj+hatk)` तथा समतल `vecr.(2hati-hatj+hatk)=4` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना रेखा तथा समतल के बीच का कोण `theta` है। तब `theta =sin^(-1)[((hati-hatj+hatk)*(2hati-hatj+hatk))/(sqrt(1^(2)(-1)^(2)+1^(2))*sqrt(2^(2)(-1)^(2)+1^()))]` `= sin^(-1)((4sqrt(2))/(6))= "sin"^(-1)(2sqrt(2))/(3)` यही दिये गए समतल व रेखा के बीच अभीष्ट कोण है । |
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| 27. |
रेखा `(x+1)/(2)=(y)/(3)=(z-3)/(6)` तथा समतल `10x+2y-11z=3` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `sint^(-1)((8)/(21))` `sin theta=(vecb.vecn)/(|vecb|*|vecn|)` |
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| 28. |
निम्नलिखित बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोज्य ज्ञात कीजिए- ` (i) A(2,-1,3),B(3,1,1)` ` (ii ) A(2,-1,2),B(-4,2,0)` (iii) ` A(4,3,-5),B(-2,1,-8)` |
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Answer» Correct Answer - (i) ` ( 1 ) /(3), ( 2) /(3), -( 2) /(3) ` (ii) ` - (6 ) /(7) , (3 ) /(7), - ( 2 ) /(7) ` (iii ) ` - ( 6) /(7), - (2) /(7) , - ( 3) /(7) ` |
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| 29. |
बिन्दु ` ( 2, 1, - 1 ) ` से होकर तथा समतलो ` vecr * ( hati + 3hatj - hatk ) = 0 ` और ` vecr * ( hatj + 2hatk ) = 0 ` के प्रतिच्छेद से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है -A. ` vecr * ( hati + 9hatj + 11 hatk ) = 0 `B. ` vecr * ( hati + 9 hatj + 11 hatk ) = 6 `C. ` vecr * ( hati - 9 hatj - 11 hatk ) = 0 `D. इनमे से कोई नहीं | |
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Answer» Correct Answer - A |
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| 30. |
दिखाइए की बिंदु `A(2,-3-4),B(1,2,3),C(3,-8,-11)` |
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Answer» Correct Answer - (i) ` cos ^(-1)(( 20) /( 21 )) ` (ii) ` 60 ^(@) ` (iii) ` 90 ^(@) ` |
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| 31. |
एक रेखा का कार्तीय समीकरण ` 6 x + 1 = 3 y - 2 = 3 - 2 z ` है | इसके दिक् अनुपात ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` 1, 2, - 3 ` |
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| 32. |
उन रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात निम्न है- (i) 2,6,3 तथा 1,2,2 (ii) a,b,c तथा `(b-c),(c-a),(a-b)` |
| Answer» Correct Answer - `cos^(-)((20)/(21)) (ii) 90^(@)` | |
| 33. |
उन रेखाओ की बीच कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात निम्नलिखित है- ` (i) (2,3,6)`और `(1,2,2)` (ii) ` (4,-3,5)` और ` (3,4,5)` ` (iii)(1,2,1)` और ` (4,-3,2)` |
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Answer» Correct Answer - (i) ` cos ^(-1) (-(16)/(21)) ` (ii) ` 90 ^(@) ` |
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| 34. |
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु ` hati + hatj + 5 hatk ` से होकर जाती है और बिंदुओं ` ( 2, -4, 1 ) ` और `(0 , 1 , 3 ) ` को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr = ( hati + hatj + 5hatk ) + lamda ( 2hati - 5haj - 2hatk ) ` |
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| 35. |
बिन्दु ` ( 2, - 3, 5) ` से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश ` 3 hati + 2 hatj - hatk ` के समांतर है | |
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Answer» माना बिन्दु `A(2, - 3 ,5) ` है | `therefore ` बिन्दु A का स्थिति सदिश ` vecr _ 1 = 2 hati - 3 hatj + 5 hatk ` बिन्दु A से होकर जाने वाली सदिश ` vecm = 3hati + 2hatj - hatk ` के समांतर रेखा का समीकरण | ` vecr = vec r _1 + lamda vecm ` ` rArr vec r = ( 2hati - 3 hatj + 5 hatk ) + lamda ( 3hati + 2hatj - hatk ) ` |
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| 36. |
रेखाओं `(x+4)/(2)=(y-1)/(2)=(z+3)/(1)` तथा `(x+1)/(4)=(y-4)/(1)=(z-5)/(8)` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है: `(x+4)/(2)=(y-1)/(2)=(z+3)/(1)" "....(1)` तथा `(x+1)/(4)=(y-4)/(1)=(z-5)/(8)" "...(2)` दी गयी रेखाओं के दिक् अनुपात `2,2,1` तथा `4,1,8` है। रेखा (1) व (2) के बीच का कोण `theta=cos^(-1)((2xx4+2xx1+1xx8)/(sqrt(2^(2)+2^(2)+1^(1))*sqrt(4^(2)+1^(1)+8^(2))))` `="cos"^(-) (18)/(sqrt(9)*sqrt(81))="cos"^(-1)((2)/(3))` |
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| 37. |
रेखाओं `(x+4)/(3)=(y-1)/(5)=(z+3)/(4)` और `(x+1)/(1)=(y-4)/(1)=(z-5)/(2)` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» स्पष्तः दी गयी रेखाओं के दिक् अनुपात `3,5,4` व `1,1,2` है। माना दी गयी रेखाओं के मध्य का कोण `theta` है, जब `cos theta =(3xx1+5xx1+4xx2)/(sqrt(3^(2)_5^(2)+4^(2))*sqrt(1^(2)+1^(2)+2^(2)))` `=(16)/(sqrt(50)*sqrt(6))=(8sqrt(3))/(15)` इसलिए `theta=cos^(-1) ((8sqrt(3))/(15))` |
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| 38. |
उस रेखा का समाकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-1,3,-2) से गुजरती है व रेखाएं `(x)/(1)=(y)/(2)=(z)/(3)` तथा `(x-1)/(-3)=(y-1)/(2)=(z+1)/(5)` के लंबवत है। |
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Answer» माना अभीष्ट रेखा के दिक् अनुपात a,b व c है | प्रशानुसार, या रेखा दी गयी रेखाओं के लंबवत होगी इसलिए `a+2b+3c=0" "....(1)` तथा `-3a=2b+5c=0" "...(2)` बज्रगुणन विधि से समीकरण (1) व समीकरण (2) को हल करने पर `(a)/(10-6)=(b)/(-9-5)=(c)/(2+6)=k` माना `rArr a=4k,b=-14b,c=8k` `rArr` अभीष्ट रेखा के दिक् अनुपात `4k,-14k` तथा `8k` है यह बिन्दु (-1,4,-2) से होकर जाती है । `:.` अभीष्ट का समीकरण `(x+1)/(4k)=(y-3)/(-14k)=(z+3)/(8k)` `rArr (x+1)/(2)=(y-3)/(-7)=(z+2)/(4)` |
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| 39. |
उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिये अनुपात `1,1,2` व `(sqrt(3)-1),(1-sqrt(3))` व 4 है। |
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Answer» माना `veca` व `vecb` दी गयी रेखाओं के समान्तर दो सदिश है। स्पष्तः दोनों रेखाओं के बीच का कोण वही होगा जो `veca` व `vecb` के बीच होगा । अब `veca=` वह सदिश जो उस रेखा के समान्तर है जिसके दिक् अनुपात `1,1,2=hati+hatj+2hatk` इसी प्रकार `vecb=(sqrt(3)-1)hati-(sqrt(3)+1)hati+hatk` माना दोनों रेखाओं के बीच का कोण `theta` है तब `cos theta =(vec a*vecb)/(|veca|*|vecb|)` `=((sqrt(3)-1)(sqrt(3)-1)+8)/(sqrt(1+1+4)(sqrt(3)+1)^(2)+16)` `(6)/(12)=(1)/(2)` `rArr theta=(pi)/(3)` |
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| 40. |
निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए- `vecr=(1-t)hati+(t-2)hatj+(3-2t)hatk` तथा `vecr=(s+1)hati+(2 s-1) hat j-(2s+1)hatk` |
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Answer» दिया है: `vecr=(1-t)hati+(t-2)hatj+(3-2t)hatk" "...(1)` तथा `vecr=(s+1)hati+(2 s-1) hat j-(2s+1)hatk " "...(2)` स्पष्तः रेखा (1) सदिश `vecb_(1)=-hati+hatj-2hatk` के समान्तर है तथा रेखा (2) सदिश `vecb_(2)=hati+2hatj-2hatk` के समान्तर है। माना दोनों रेखाओं के बीच का कोण `theta` है, तब `cos theta =(vecb_(1)*vecb_(2))/(|vecb_(1)|*|vecb_(2)|)` `=((-1)(1)+(1)(2)+(-2)(-2))/(sqrt((-1)^(2)+1^(2)(-2))*sqrt(1^(2)+2^(2)+(-2)))` `sqrt(5)/(sqrt(6)*sqrt(9))=(5sqrt(6))/(18)` `rArr theta= cos^(-1) ((5sqrt(6))/(18))` |
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| 41. |
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात `a,b,c` और `b-,c-a,a-b` है। |
| Answer» Correct Answer - `90^(@)` | |
| 42. |
बिंदुओं ` ( 3, 4 , - 7 ) ` और ` ( 1 , - 1 , 6 ) ` से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` ( x - 3 ) /( - 2 ) = ( y - 4) /( - 5 ) = ( z + 7 ) /(13 ) ` |
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| 43. |
एक रेखा का कार्तीय समीकरण ` (x +2 ) / ( 1 ) = ( y - 3) / ( - 2 ) = ( z) /( 3) ` है | इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - `vecr = ( - 2 hati + 3hatj ) + lamda ( hati - 2hatj + 3hatk ) ` |
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| 44. |
बिन्दु `( 0, - 1, 2 ) ` से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा ` ( x - 5 )/( 3 ) = ( y + 1 ) /( - 2 ) = ( z ) /( 1 ) ` के समान्तर है | |
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Answer» Correct Answer - ` ( x ) /(3) = ( y + 1 ) /(-2) = ( z - 2 ) /( 1 ) ` |
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| 45. |
बिंदु ` ( a, b , c ) ` से जाने वाले तथा तल ` vecr * ( hati + hatj + hatk ) = 2 ` के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिया गया समतल निम्न है, ` vecr * ( hati + hatj + hatk ) = 2 ` ... (1) समतल (1) के समांतर समतल का समीकरण निम्न है, ` vecr * ( hati + hatj + hatk ) = d ` ... ( 2 ) ` rArr ( x hati + y hatj + z hatk )* ( hati + hatj + hatk ) = d ` यह बिंदु ` (a, b, c ) ` से होकर जाता है | ` therefore (ahati + bhatj + chatk ) * ( hati + hatj + hatk ) = d rArr a + b + c = d ` समीकरण (2 ) में ` vecr = x hati + y hatj + z hatk ` तथा ` d = a + b + c ` रखने पर, ` ( x hati + yhatj + z hatk ) * ( hati + hatj + hatk ) = a + b + c ` ` rArr x + y + z = a + b + c ` जोकि अभीष्ट समतल का समीकरण है | |
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| 46. |
समतल ` vec r = (lamda - mu ) hati + ( 1 - mu) hatj + ( 2 lamda + 3mu) hatk ` को कार्तीय रूप में परिवर्तित कीजिए | |
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Answer» ` vecr = ( lamda - mu ) hati + ( 1 - mu ) hatj + ( 2lamda + 3 mu ) hatk ` ` rArr vecr = hatj + lamda ( hati + 2hatk ) + mu ( - hati - hatj + 3hatk ) ` समीकरण ` vecr = veca + lamda vecb + mu vecc ` से तुलना करने पर ` veca = hatj, vecb = hati + 2 hatk ` और ` vecc = - hati - hatj + 3hatk ` ` therefore vecn = vecb xx vecc = |{:(hati,,hatj,,hatk),(1,,0,,2),(-1,,-1,,3):}| ` ` = hati (0 + 2) - hatj (3 + 2 ) + hatk (-1-0 ) ` ` = 2hati - 5hatj - hatk ` अदिश गुणन के रूप में समतल का समीकरण ` vecr * vecn = veca * vecn ` ` rArr (x hati + y hatj + zhatk ) *(2hati - 5hatj- hatk ) = hatj *(2hati - 5hatj - hatk ) ` ` rArr 2x - 5y - z = - 5 ` |
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| 47. |
रेखायें `2x=3y-z` तथा `6x=-y=-4z` पर प्रतिच्छेद बिन्दु है-A. `90^(@)`B. `0^(@)`C. `30^(@)`D. `45^(@)` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 48. |
बिन्दु (1,2,3) से रेखा, `(x-6)/(3)=(y-7)/(2)=(z-7)/(-2)` पर डाले गये लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - (3,5,9) | |
| 49. |
यदि बिंदुओं A, B, C, और D के निर्देशांक क्रमशः ` ( 1, 2, 3 ) , ( 4, 5, 7), ( -4, 3, -6 ) ` और ` ( 2, 9 , 2 ) ` है, तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» ` therefore ` AB के दिक् अनुपात ` ( 4 - 1 ) , ( 5 - 2 ) , ( 7 - 3) = ( 3, 3, 4 ) ` CD के दिक् अनुपात ` ( 2 + 4 ) , ( 9 - 3 ) , ( 2 + 6 ) = ( 6,6, 8 )` माना AB तथा CD के दिक् अनुपात ` ( a _ 1, b _ 1, c _ 1 ) ` तथा ` ( a _ 2, b _ 2 , c _ 2 ) ` है | तब, ` ( a _ 1) /( a _ 2 ) = ( 3 ) /(6) = ( 1 ) /(2), ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( 3) /(6) = ( 1 ) /(2) , ( c _ 1 ) /(c _ 2) = ( 4 ) /(8)= ( 1 ) /(2) ` ` therefore ( a _ 1 ) /( a _ 2 ) = ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( c _ 1 ) /(c _ 2 ) ` अतः रेखा AB , रेखा CD के समांतर है, अतः रेखा AB तथा रेखा CD के बीच का कोण ` 0 ^(@) ` है | |
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| 50. |
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए य-अक्ष पर अन्तः खण्ड 3 और जो तल `ZOX` के समान्तर है । |
| Answer» Correct Answer - `y=3` | |