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This section includes 7 InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your Current Affairs knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
`[0, 2 pi]"में "x + sin 2 x` का एक उच्चिष्ठ मान होगा -A. `(2pi)/3 + sqrt3/2`B. `(2pi)/3 - sqrt3/2`C. `pi/3 + sqrt3/2`D. `pi/3 - sqrt3/2` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 2. |
`cos^(2)(pi/3 -x) - cos^(2)(pi/3 +x)`का उच्चिष्ठ मान है -A. ` -sqrt3/2`B. `1/2`C. `sqrt3/2`D. `3/2` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 3. |
अंतराल`[-1, 1]` पर फलन `f(x) = x/(4+x+x^(2))` का अधिकतम मान होगा -A. ` - 1/3`B. ` - 1/4`C. ` 1/5`D. `1/6` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 4. |
अंतराल [0,1] में फलन `f(x) = (x+1)^(1//3) - (x -1)^(1//3)` का महत्तम मान है -A. 1B. 2C. 3D. 43891 |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 5. |
यदि `f(x) = 2x^(3) - 21x^(2) + 36x - 30`, तब निम्न में से सही है -A. x = 1 पर f (x) निम्निष्ठ है ।B. x = 6 पर f (x) निम्निष्ठ है ।C. x = 1 पर f (x) निम्निष्ठ है ।D. f(x) का कोई उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है । |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 6. |
`x/(1 + x tan x)` उच्चिष्ठ होगा , जब x का मान होगा -A. `cos x, 0 le x le pi/2`B. ` sin x, 0 le x le pi/2`C. ` tan x, 0 le x le pi/2`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 7. |
`x^(2) + 1/(1 +x^(2))`का निम्निष्ठ मान है -A. x = 0 परB. x = 1 परC. x = 4 परD. x = 3 पर |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 8. |
फलन `f (x) = x/2 + 2/x`का स्थानीय निम्निष्ठ -A. x = 2 पर है ।B. x = - 2 पर है ।C. x = 0 पर है ।D. x = 1 पर है । |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 9. |
एक फर्म का लागत फलन ` C = 200 x - 20/3 x^(2) + 2/9 x^(3)` द्वारा दिया गया है । जहाँ x उत्पादन है । उत्पादन ज्ञात कीजिए जिस पर - (i) औसत लागत निम्निष्ठ है , (ii) सीमान्त लागत निम्निष्ठ है । |
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Answer» दिया है : `C = 200 x - 20/3 x^(2) + 2/9 x^(3)` ...(1) (i) औसत लागत (Average Cost) `AC = C/x = 200 - 20/3 x + 2/9 x^(2)` ` rArr d/(dx) (AC) = - 20/3 + 4/9 x` तथा `d^(2)/(dx^(2)) (AC) = 4/9 gt 0` अब ACके चरम मानों के लिए `d/(dx) (AC) = 0` ` rArr x = 20/3 xx 9/4 = 15` इस प्रकार उत्पादन की इकाई 15 होने पर AC का मान निम्निष्ठ होगा । (ii) सीमान्त लागत (Marginal Cost) `MC = (dC)/(dx) = 200 - 40/3 x + 2/3 x^(2)` ` :. d/(dx) (MC) = - 40/3 + 4/3 x` तथा `d^(2)/(dx^(2)) (MC) = 4/3 gt 0` अब, MC के चरम मानों के लिए `d/(dx) (MC) = 0` ` rArr x = 40/3 xx 3/4 = 10` `rArr` उत्पादन की इकाई 10 होने पर MCका मान निम्निष्ठ है । |
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| 10. |
एक त्रिभुजाकार पार्क दो तरफ से बाडे से घिरा है तथा तीसरी और एक नदी के सीधे किनारे द्वारा घिरा है यदि बाडे द्वारा घिरी भुजाओं की समान लम्बाई x है , तो पार्क का अधिकतम क्षेत्रफल होगा -A. ` 3/2 x^(2)`B. `sqrt(x^(3)/8)`C. `1/2 x^(2)`D. `pi x^(2)` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 11. |
` x^(1//x)` का उच्चतम मान है -A. `1//e^(e )`B. eC. `e^(1//e)`D. `1//e` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 12. |
`[0, 2pi]`पर `x + sin 2 x` का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `x=2pi` उच्चतम , उच्चतम मान`= 2x, x=0` पर निम्नतम , निम्नतम मान =0 | |
| 13. |
किसी फर्म का लागत फलन `C (x) = 300 x - 10 x^(2) + 1/3 x^(3)` द्वारा दिया गया है जहाँ x उत्पादन है । उत्पादन की गणना कीजिये जिस पर सीमान्त लागत निम्निष्ठ है । |
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Answer» दिया है : ` C = 300 x - 10x^(2) + 1/3 x^(3)` सीमान्त लागत (Marginal Cost ) `MC = (dC)/(dx) = 300 - 20x + x^(2)` ` rArr d/(dx) (MC) = - 20 + 2x` तथा `d^(2)/(dx^(2))(MC) = 2` अब MC के चरम मानों के लिए ` d/(dx) (MC) = 0 rArr - 20 + 2x = 0 rArr x = 10` स्पष्टतः x के इस मान के लिए `d^(2)/(dx^(2)) (MC) = 2 gt 0` अतः MC का मान निम्निष्ठ है जब उत्पादन x = 10है । |
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| 14. |
यदि `p = sin^(2) theta + cos^(4) theta`, तो `theta`के सभी वास्तविक मानों के लिए -A. `3//4 le p le 1`B. ` 1 le p le 2`C. ` 3//4 le p le 4//3`D. `4//3 le p le 2` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 15. |
यदि x + y = 10 तब ` xy^(2)` का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिये । |
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Answer» ` x + y = 10 ` ...(1) माना ` z = xy^(2)` ...(2) समीकरण (1) से , ` y = (10 - x) ` अतः ` z = x (10 - x)^(2)` ...(3) ` :. dz//dx = (10 - x)^(2) + x xx 2 (10 - x)(-1) ` ` = (10 - x)(10 - x - 2x)` ` = (10 -x)(10-3x) ` ...(4) तथा ` (d^(2)z)/(dx^(2)) = - 1 (10 - 3x) + (10 - x)(-3)` ` = - [ 10 - 3x + (10 - x) 3]` ` = - [40 - 6x]` ...(5) z के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` dz // dx = 0` अतः समीकरण (4) से , ` (10 -x)(10 - 3x) = 0 rArr x = 10 "या " x = 10/3` ` x = 10/3 "पर ," (d^(2)z)/(dx^(2)) = - [40 - 6 xx 10/3] = - 20` (ऋण राशि ) अतःx = 10//3 पर z उच्चिष्ठ है अतः समीकरण (1) से ` y = 10 - 10/3 = 20/3` z का उच्चिष्ठ मान समीकरण (2) से , ` z = (10/3)(20/3)^(2) = 4000/27` अतः फलक का उच्चिष्ठ मान `4000/27` है । |
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| 16. |
ऐसी दो संख्यायें ज्ञात कीजिये जिनका योगफल 6 है तथा जिनके घनों का योग निम्निष्ठ है । |
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Answer» माना एक संख्या x है तब दूसरी संख्या 6 - x होगी । माना दोनों संख्याओं के घनों का योगफल z है अतः ` z = x^(3) + (6 - x)^(3) ` ...(1) ` :. (dz)/(dx) = 3x^(2) - 3 (6 -x)^(2) ` ...(2) तथा ` (d^(2)z)/(dx^(2)) = 6x + 6 ( 6 - x)` ...(3) z के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dz)/(dx) = 0` अतः समीकरण (2) से , ` 3[x^(2) - (6-x)^(2)] = 0` ` rArr (x + 6 -x)(x - 6 + x) = 0` ` rArr 6(2x - 6) = 0 rArr 2x - 6 = 0` ` :. " " x = 3` समीकरण (3 ) से , ` ((d^(2)z)/(dx^(2))) _(x =3) = 6 xx 3 + 6 (6-3)` ` = 18 + 18 = 36` (धन राशि ) ` :. x = 3` पर फलक निम्निष्ठ है । अतः अभीष्ट संख्यायें 3 तथा 6 - 3 = 3 अर्थात 3 तथा 3 है । |
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| 17. |
यदि x एक वास्तविक संख्या है तो `(3x^(2) + 9x+17)/(3x^(2)+9x+7)` का अधिकतम मान है -A. ` 1/4`B. 41C. 1D. `17/7` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 18. |
सिद्ध कीजिये कि निश्चित परिमाप वाले आयतों में , वर्ग का क्षेत्रफल उच्चिष्ठ होता है । |
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Answer» ` 2 (x + y) = c rArr x + y = c/2 ` तथा क्षेत्रफल A = xy ` rArr A = x (c/2 - x) rArr (dA)/(dx) = c/2 - 2x` ` (dA)/(dx) = 0 rArr x = c/4 rArr y = c/4` ` (c/4, c/4) "पर ," (d^(2)A)/(dx^(2))`= ऋणात्मक |
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| 19. |
एक चित्र का एक भाग अर्द्धवृत तथा दूसरा भाग उस अर्द्धवृत के व्यास पर बना आयत है । यदि चित्र का परिमाप 20 फुट है तब उसकी माप ज्ञात कीजिये जिससे चित्र का क्षेत्रफल महत्तम हो । |
| Answer» Correct Answer - अर्द्धवृत की त्रिज्या ` 20/(4 + pi) , x = 20/(4 + pi)` | |
| 20. |
यदि x = - 1 तथा x = 2 पर फलन ` y = a log x + bx^(2) + x ` के चरम मान हों तो a व b के मान हों तो व के मान ज्ञात कीजिये । |
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Answer» दिया है : ` y = a log x + b x^(2) + x` ...(1) ` rArr (dy)/(dx) = a * 1/x + 2 b x + 1` ...(2) हम जानते है कि y के चरम मानों के लिए ` (dy)/(dx) = 0` ` :. x = -1 ` तथा x = 2 पर y के चरम मान है इसलिए x = -1 पर ,`(dy)/(dx) = 0 rArr - a - 2 b + 1 = 0` ...(3) x = 2 पर , `(dy)/(dx) = 0 rArr a/2 + 4 b + 1 = 0` ` rArr a + 8b + 2 = 0` ...(4) समीकरण (3) व (4) को हल करने पर , ` a = 2, b = - 1/2` |
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| 21. |
यदि ` u = sqrt(a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta) + sqrt( a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta)` तब `u^(2)`के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मानों में अंतर ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है : ` u = sqrt(a ^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta)+sqrt(a^(2) sin^(2) theta+ b^(2) cos ^(2) theta)` ` rArr u^(2) = a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta + a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta` ` + 2(sqrt(a^(2) cos^(2) theta+ b^(2) sin^(2) theta))*(sqrt(a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta))` ` = a^(2) + b^(2) + 2 sqrt(x (a^(2) + b^(2) - x))` जहाँ ` x = a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta` ` rArr u^(2) = (a^(2)+b^(2)) + 2 sqrt((a^(2) + b^(2)) x - x^(2))` दोनों पक्षों का ` theta`के सापेक्ष अवकलन करने पर ` d/(d theta) (u^(2)) = 2/(2 sqrt((a^(2) + b^(2))x - x^(2)))(a^(2) + b^(2) - 2x) * (dx)/(d theta)` तथा ` (dx)/(d theta) = (b^(2) - a^(2)) sin 2 theta` ` :. (d(u^(2)))/(d theta) = ((a^(2)+b^(2) - 2x))/(sqrt((a^(2)+b^(2)) x - x^(2)))*(b^(2) - a^(2)) sin 2 theta` उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मानों के लिए ` (du^(2))/(d theta) = 0` ` rArr a^(2) + b^(2) = 2 ( a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta) "तथा " sin 2 theta = 0` ` rArr cos 2 theta(b^(2) - a^(2)) = 0 "तथा " sin 2 theta = 0` ` rArr cos 2 theta = 0 " तथा " theta = 0` ` rArr 2 theta = pi/2 "तथा " theta = 0` ` rArr theta = pi/4 "तथा " theta = 0` स्पष्टतः ` u^(2) ` उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ क्रमश : ` theta = pi/4 " व " theta = 0`पर होगा । ` :. u^(2)_("min") = ( a + b)^(2) " तथा " u^(2)_("max") = 2 (a^(2) + b^(2))` ` :. u^(2) _("max") - u^(2) _("min") = 2 ( a^(2) + b^(2)) - (a + b)^(2) = (a - b)^(2) ` |
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| 22. |
दो धनात्मक संख्याएँ x तथा y ज्ञात कीजिए जब (x + y) = 60 तथा ` xy^(3)` उच्चिष्ठ हो । |
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Answer» दिया है`(x + y) = 60` तथा माना ` p = xy^(3) rArr p = xy^(3) rArr p = (60 - y) y^(3)` तब `(dp)/(dy) = 3 y^(2) (60 - y) + y^(3) (-1)` ` = 180 y^(2) - 4y^(3) = 4y^(2) (45 - y)` पुनः अवकलन करने पर ` (d^(2)p)/(dy^(2)) = 360 y - 12y^(2) = 12y (30 - y)` अब माना ,`(dp)/(dy)= 0`, तब ` 4 y^(2) (45 - y) = 0 rArr y = 0, 45` यदि y = 45, तब `[(d^(2)p)/(dy^(2))]_(y = 45"पर") = (12 xx 45)(30 - 45) = - 8100 lt 0 ` अतः y = 45 उच्चिष्ठ बिंदु है तथा दोनों संख्याएँ 15 व 45 है । |
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| 23. |
सिद्ध कीजिये कि दिये हुए सम्पूर्ण पृष्ठ और अधिकतम आयतन वाले शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण ` sin^(-1) (1/3)` होगा । |
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Answer» ` S = pi r^(2) + pi r l` ` pi r l = S - pi r^(2) rArr l = S/(pi r) - r` ...(1) ` V = 1/3 pi r^(2) h rArr V^(2) = 1/9 pi^(2) r^(4) (l^(2) -r^(2)) = u` ( माना ) `rArr u = pi^(2)/9 [(S^(2)r^(2))/pi^(2) -(2Sr^(4))/pi] rArr (du)/(dr) = pi^(2)/9 [(S^(2)2r)/pi^(2) - (2S)/pi 4 r^(3)]` तथा `(d^(2)u)/(dr^(2)) = pi^(2)/9 [(2S^(2))/pi^(2) - (2S)/pi 12 r^(2)]` ` (du)/(dr) = 0 rArr S = 4 pi r^(2) ` ` l = (4pir^(2))/(pi r) - r = 4r - r = 3r` समकोण त्रिभुज OBC में , `sin theta = r/l = r/(3 r) = 1/3 rArr theta = sin^(-1). 1/3` |
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| 24. |
फलन ` y ( x - 8)^(4) (x - 9)^(5), 0 le x le 10` न तो उच्चिष्ठ है न निम्निष्ठ है -A. x = 9B. x = 8C. `x = 76/9`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 25. |
यदि `(dy)/(dx) = (x -1)^(3) (x -2)^(4)` तो y -A. x = 1 पर उच्चिष्ठ है ।B. x = 2 पर उच्चिष्ठ है ।C. x = 1 पर उच्चिष्ठ है ।D. x = 2 पर उच्चिष्ठ है । |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 26. |
रेखा y = x पर एक ऐसा बिंदु , जिनकी बिंदुओं `(a, 0),(-a,0)` तथा (0,b) से दूरियों के वर्गों का योग न्यूनतम है , होगा -A. `(a/6,a/6)`B. `(a,a)`C. `(b,b)`D. `(b/6,b/6)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 27. |
` 3x^(4) - 10x^(3) + 6x^(2) + 5` का उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिये । |
| Answer» Correct Answer - ` x = 1/2`पर उच्चिष्ठ , उच्चिष्ठ मान ` = 5 7/16 , x = 2` पर निम्निष्ठ , निम्निष्ठ मान = - 3, x = 0 निम्निष्ठ , निम्निष्ठ मान = 5 | |