InterviewSolution
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| 1. |
अंतराल `[-1,2]` में फलन `f(x) = |x| + |x - 1|` के सांतत्यता की विवेचना कीजिए । |
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Answer» चूँकि `x in [-1,2]`, तब `f(x)=-x-(x-1)=1-2x` जबकि `-1 le x lt 0` `f(x) = x -(x-1)=1` जबकि `0 lt x le 1` `f(x) = x + x - 1 = 2x -1` जबकि `1 lt x le 2` `f(x)={{:(1-2x",",-1 le x lt 0),(" "1",",0 le x le 1),(2x-1",",1 lt x le 2):}` `-1 lt x lt 0` के लिए `f(x)=1-2x` एक बहुपद फलन है इसलिए यह एक संतत फलन है । `0 lt x lt 1` के लिए `f(x)=1` एक अचर फलन है इसलिए यह एक संतत फलन है । `1 lt x lt 2` के लिए `f(x)=2x-1` एक बहुपद फलन है इसलिए यह एक संतत फलन है । अब हम f(x) के सांतत्यता कि जाँच `x =-1,0,1` और 2 पर जाँच करेंगे । `x =-1` पर : `f(-1)=1-2(-1)=3` अब `underset(x rarr (-1)^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(-1+h)` `=underset(h rarr 0)(lim)1-2(-1+h)," "[because -1+h lt "0 और f(x)"= 1-2x,-1 le x lt 0]` `= underset(h rarr 0)(lim)(3-2h)=3` `therefore" "underset(x rarr (-1)^(+))(lim)f(x)=f(-1)` `rArr f(x)` बिन्दु x = -1 पर संतत है । x = 0 पर : `f(0) =1` `underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(0+h)` `=underset(h rarr 0)(lim)f(h)` `=underset(h rarr 0)(lim)1," "[because h gt "0 और f(x)"= 1, 0 le x le "1 के लिए"]` `therefore" "underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=f(0)` `rArr f(x)` बिन्दु x = 0 पर संतत है । x = 1 पर : `f(1) = 1` `underset(x rarr 1^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(1+h)` `=underset(h rarr 0)(lim)2(1+h)-1," "[because 1 + h gt "0 और f(x)"=2x -1, 1 lt x le "2 के लिए"]` `= underset(h rarr 0)(lim)(1+2h)=1` `therefore" "underset(x rarr 1^(+))(lim)f(x)=f(1)` `rArr f(x)` बिन्दु x = 1 पर संतत है । x = 2 पर :`f(2) = 2(2)-1=3` `underset(x rarr 2^(-))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(2-h)` `=underset(h rarr 0)(lim)2(2-h)-1," "[because 2 - h lt "2 और f(x)"=2x -1, 1 lt x le "2 के लिए"]` `=underset(h rarr 0)(lim)(3-2h)=3` `therefore" "underset(x rarr 2^(-))(lim)f(x) = f(2)` `rArr f(x)` बिन्दु x = 2 पर संतत है । अत: f(x) अंतराल (-1, 2) के प्रत्येक बिन्दु तथा x = -1 और 2 पर संतत है । अतएव f(x) अंतराल [-1, 2] में संतत है । |
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