InterviewSolution
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अवकल समीकरण `(dy)/(dx) -y=cos x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए. |
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Answer» यहॉँ `(dy)/(dx) -y =cos x ...(1)` यह y रैखिक अवकल समीकरण है. इसलिए समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) +Py Q` से करने पर, `P =-1, Q =cos x.` `therefore1. F. =e ^(intPdx )= e^(int(-1)dx)= e^(-x)` अतः अभीष्ट हल है- `yxx (1. F.) =int Q xx(1.F.)dx +C` `impliesy.e^(-x)=inte^(-x) . cos x dx +C" "...(2)` माना `I =intunderset(II)(e^(-x))underset(I)(cos x)dx` `impliesI =cos x int e^(-x)dx-int{(d)/(dx)(cos x).int e^(-x)dx}dx` `implies I =cos x(-e^(-x))-int (-sin x)(-e^(-x))dx` `implies=-cos xe^(-x) -int underset(II)(e^(-x)) underset(I)sin x dx` `impliesI=- cos xe ^(-x)` `-[sin x(-e^(-x))-int cos x (-e^(-x))dx]` `impliesI =-cos xe ^(-x) -[-sin xe ^(-x)+int e^(-x) cos x dx]` `impliesI=-cos xe ^(-x)+ sin xe ^(-x) -int e^(-x) cos x dx` `impliesI =-e^(-x) cos +e ^(-x) sin x -I` `implies 2I =(sin x-cos x)^(e-x)` `impliesI((sin x-cos x)e^(-x))/(2)" "...(3)` समी (2 ) और (3 ) से, `y.e ^(-x) =((sin x - cos x) e^(-x))/(2)+C` `impliesy=((sin x-cos x))/(2)+Ce^(x).` |
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