1.

अवकल समीकरण ` ( x ^ 2 + xy ) dy = ( x ^2 + y^ 2 ) dx ` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए | यदि ` y = 0 ` जब ` x =1 `

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है -
` ( x ^ 2 xy )dy = ( x ^ 2 + y^ 2 ) dx `
` rArr ( d y ) / ( dx ) = ( x^ 2 + y^ 2 ) /( x^ 2 + xy ) `
यह एक समघात का अवतल समीकरण है |
माना ` y = vx ` तब ` (dy ) / ( dx ) = v + ( dv ) / (dx ) `
समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x (dv ) / (dx ) = ( x ^ 2 + v^ 2 x ^ 2 ) / ( x^ 2 + vx ^ 2 ) `
` rArr v + x ( dv ) / ( dx ) = ( 1 + v^ 2 ) / ( 1 + v ) `
` rArr x ( dv ) / (dx ) = ( 1 + v ^ 2 / ( 1 + v ) - v `
` rArr x ( dv ) / ( dx ) = ( 1 + v ^ 2 - v - v ^ 2 ) /( 1 + v ) `
` rArr x ( dv ) / (dx ) = ( 1 - v ) / ( 1 + v ) `
` rArr ( 1 + v ) / ( 1 - v ) dv = ( dx ) / ( x ) " " ` ( चरों को पृथक्क़रण से )
समाकलन करने पर
` int ( 1 + v ) / ( 1 - v ) dv = int ( dx ) / (x ) `
` rArr int ( - 1 + ( 2 ) / ( 1- v) ) dv = int (dx ) /( x ) , " " ` [भाग कलन से ]
` rArr int - 1 dv + 2 int ( 1 ) / ( 1 - v ) dv = int (dx ) / ( x ) `
` rArr - v - 2 log | 1 - v | = log |x| + log C `
` rArr log|x| + log | 1 - v | ^ 2 + log C = - v `
` rArr log |C|x| ( 1 - v ) ^2 | = - v`
` rArr C |x| ( 1 - v ) ^ 2 = - v `
` rArr C |x| ( 1 - ( y ) / ( x ) ) ^ 2 = e ^( -y// x ) , [ because y = vx rArr v = ( y ) / ( x ) ] `
` rArr C |x| ( ( x - y ) ^ 2 ) / ( x ^ 2 ) = e^( - y // x ) `
` rArr C|x| (( x - y ) ^ 2 ) /( |x|^ 2 ) = e ^( - y// x ) `
` rArr C ( x - y ) ^ 2 = |x| e ^( - y// x ) " " `.... (3 )
दिया है : ` y = 0 ` जब ` x = 1 `
उपरोक्त प्रतिबंध को समी. (3 )) में रखने पर,
` C ( 1- 0 ) ^ 2 = e ^ 0 rArr C = 1 `
समी. (3 ) में ` C= 1 ` में रखने पर,
` ( x- y ) ^ 2 = |x| e ^( - y//x ) `


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