1.

अवकल समीकरण - ` x ( dy ) / (dx ) - y + x cosec (( y ) / ( x ) ) = 0 ` या ` (dy ) / ( dx ) - ( y ) / ( x ) + cosec ( ( y )/ ( x )) = 0 ` दिया गया है ` y = 0 ` यदि ` x = 1 ` का हल ज्ञात कीजिये |

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है -
` ( dy ) / ( dx ) - ( y ) / ( x ) + cosec (( y ) / ( x )) = 0 `
` rArr (dy ) /( dx ) = ( y ) / ( x ) - cosec ((y)/ (x)) " "`...(1)
माना ` F (x, y ) = ( y ) / ( x ) - cosec (( y ) / ( x )) `
x को ` lamda x ` और y को ` lamda y ` से प्रतिस्थापित करने पर,
` F ( lamda x, lamda y ) = ( lamda y ) / ( lamda x ) - cosec ( ( lamda y ) / ( lamda x ) ) `
` rArr F ( lamda x , lamda y ) = lamda ^ 0 [ ( y ) / (x) - cosec ( ( y ) / (x))] = lamda ^0 F ( x, y ) `
अतः फलां ` F ( x, y ) ` समघात है इसलिए यह एक समघात अवकल समीकरण है |
माना ` y = vx ` तब ` (dy ) / ( dx ) = v + x (dv )/ (dx ) " " `...(2)
समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x ( dv ) / ( dx ) = ( vx ) / ( x ) - cosec ((vx )/ ( x ))`
` rArr v + x ( dv )/ (dx ) = v - cosec v `
` rArr x (dv ) / (dx ) = - cosec v `
` rArr - (dv ) / ( cosec v ) = (dx ) / ( x ) " " ` (चरों कर पृथक्करण से )
`rArr - sin vdv = (dx ) / ( x ) `
समाकलन करने पर,
` int - sin v dv = int (dx ) / (x ) `
` rArr cos v = log |x| + C `
` rArr cos ((y) / ( x )) = log |x| + C " " `...(3)
समी. (3 ) में, x = 1 और y = 0 रखने पर,
` cos 0 = log 1 + C rArr C = 1 `
समी. (3 ) में, C =1 रखने पर
` cos (( y ) / ( x ) ) = log |x| + 1 `
` rArr cos (( y ) / (x)) = log |x| + log e `
` rArr cos ((y) / ( x )) = log |ex | ` .


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