InterviewSolution
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अवकल समीकरण `x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1` का विशेष हल ज्ञात कीजिए। यहाँ दिया गया है y=0 तब x=2 |
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Answer» माना `x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1" "......(1)` चर पृथक करने पर `dy=(1)/(x(x^(2)-1))dx` समाकलन करने पर `intdy=int(dx)/(x(x-1)(x+1))" "......(2)` आंशिक भिन्नो में व्यक्त करने पर `(1)/(x(x-1)(x+1))=(A)/(x)+(B)/((x-1))+(C)/((x+1))" "......(3)` `1=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)` यदि `x=0impliesA=-1` व `x=1impliesB=1//2` व `x=-1impliesC=(1)/(2)` तब `(1)/(x(x-1)(x+1))=(-1)/(x)+(1)/(2(x-1))+(1)/(2(x+1))" "......(4)` समीकरण (2) व (4) से `intdy=int(-dx)/(x)+(1)/(2)int(dx)/((x-1))+(1)/(2)int(dx)/((x+1))+c` यहाँ c एक स्वैच्छिक अचर है। `impliesy=-log(x)+(1)/(2)log(x-1)+(1)/(2)log(x+1)+c" "......(5)` दिया है कि y=0 जब x = 2 तब समीकरण (5) से `-log2+(1)/(2)log3+c=0` `impliesc=log2-(1)/(2)log3=(1)/(2)log4(1)/(2)log3=(1)/(3)log((4)/(3))` तब `c=(1)/(2)log((4)/3)`,तब समीकरण (5) से `y=-log(x)+(1)/(2)log(x-1)+(1)/(2)log(x+1)+(1)/(2)log""(4)/(3)` `y=-(1)/(2)logx^(2)+(1)/(2)log[(x-1)(x+1)]+(1)/(2)log""(4)/(3)` `y=(1)/(2)log[(4(x^(2)-1))/(3x^(2))]` |
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