1.

अवकल समीकरण `(x-y) dy-(x+y)dx=0` को हल कीजिए .

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(x-y) dy- (dx+y) dx=0`
`implies(x-y)dy= (x+y)dx`
`implies(dy)/(dx) =(x+y)/(x-y)" "...(1)`
चूँकि प्रत्येक फलन `x +y ` और `x -y ` घाट 1 में समघाट फलन है इसलिए दिया गया अवकलन समीकरण समघात है .
माना `y=vximplies" "..(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)" "...(3)`
समी (1),(2) और (3) से,
`v+x(dv)/(dx)=(x+vx)/(x-vx)`
`impliesv+x(dy)/(dx)=(1+v)/(1-v)`
`impliesx(dy)/(dx) =(1+v)/(1-v)-v`
`impliesx (dv)/(dx)=(1+ v-v +v^(2))/(1-v)`
`impliesx(dv)/(dx)=(1+v^(2))/(1-v)`
`implies(1-v)/(1+v^(2))dv=(dx)/(x),` (चरो को पृथक्करण से)
समाकलन करने पर,
`int (1-v)/(1+v^(2))dv-int(v)/(1+v^(2))dv=int(dv)/(dx)`
`impliestan ^(-1)v-1/2int (dt)/(t)=log |x|+C,`
`["माना" 1+v^(2)=timpliesvdv=1/2dt]`
`impliestan ^(-1) v-1/2 log |t|=log |x|+C`
`impliestan ^(-1)v-1/2 log |1+v^(2)| =log |x|+C` `impliestan ^(-1) ((y)/(x))-1/2log |1+(y^(2))/(x^(2))|=log |x|+C,`
`[because y=vx implies v = (y)/(x)]`
`impliestan ^(-1)((y)/(x))-1/2 log |(x^(2)+y^(2))/(x^(2))|=log |x|+C`
`implies tan ^(-1)((y)/(x))-1/2 log (x^(2)+y^(2))+1/2log x^(2)-log |x|=C`
`impliestan ^(-1)((y)/(x))-1/2log (x^(2)+y^(2))+log x-log x=C`
`impliestan ^(-1) ((y)/(x))-1/2 log (x^(2)+y^(2))=C.`


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