1.

बिन्दु `(0 ,1 )` से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि इस वक्र के किसी बिन्दु `(c ,y )` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के x -निर्देशांक (भुज) तथा x -निर्देशांक और y -निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर होता है .

Answer» हम जानते है कि वक्र कि स्पर्श रेखा कि प्रवणता `(dy)/(dx) ` होता है
प्रश्नानुसार,
`(dy)/(dx) =x+xy`
`implies(dy)/(dx) - xy = x" "...(1)`
जो कि y के रैखिक अवकल समीकरण है .
समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) + Py =Q` से करने पर,
`P=-x`और `Q=x.`
`thereforeI.F.=e^(intpdx)=e^(int(-x)dx)=e ^((x^(2))/(2))" "...(2)`
अतः अभीष्ट हल है-
`y.e ^(-x^(2)//2)=intx.e^(-x^(2)//2)dx+C`
`impliesy.e ^(-x^(2)//2)= - int e^(t)dt +C,`
`[therefore "माना" (-x^(2))/(2)=timplies dx=-dt]`
`impliesy.e ^(-x^(2)//2)= -e^(t) +C`
`impliesy.e ^(-x^(2)//2)=-e^(-x^(2)//2)+C`
`impliesy =-1 +Ce^(x^(2)//2)" "...(3)`
यह वक्र बिन्दु `(0 ,1 )` से होकर जाती है . अतः समीकरण में `x =0 ` और `y =1 ` रखने पर
`therefore1=-1+Ce^(0) impliesC=2`
समी (3 ) में `C =2 ` रखने पर,
`y=-1 +2e^(x^(2)//2).`


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