1.

दर्शाइये कि अवकल समीकरण `2ye ^(x//y)dx+(y-2 xe ^(x//y))dy =0` समघातीय है और यदि x = 0 जब y=1दिया हुआ हो तो इस समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए.

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`2ye ^(x//y) dx+(y-2e^(x//y)) dy=0`
` implies2 ye ^(x//y) dx=- (y-2xe^(e//y))dy`
`implies(dx)/(dy) =(2xe^(x//y)-y)/(2y ^(x//y))" "...(1)`
माना `F(x,y) =(2x ^(x//y)-y)/(2 ye^(x//y))`
x को `lamdax ` और y को `lamday ` से प्रतिस्थापित करने पर,
`F(lamdax, lamday) =(2 lamdaxe ^(lamdax//lamday)-lamday)/(2 lamdaye ^(lamdax//lamday))`
`implies F(lamdax, lamday) =(lamda(2xe^(x//y)-y))/(lamda(ye^(x//y))`
`implies F (lamdax, lamday) =lamda^(0) F(x,y)`
अतः `F(x,y)` शून्य घात वाला समघातीय फलन है . इसलिये दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है.
माना `y=vx` तब `(dy)/(dx)=v+x(dy)/(dx) " "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) से,
`v+y(dv)/(dy)=(2vye^(vy//y)-y)/(2ye^(vy//y))`
`implies v+y(dv)/(dx) =((2ve^(v)-1)y)/(2ye^(v))`
`impliesy(dv)/(dy)=(2 ve^(v)-1)/(2e^(v))`
`impliesy(dv)/(dy) =(2ve^(v)-1-2ve^(x))/(2e^(v))`
`impliesy(dv)/(dx)=(-1)/(2e^(x))`
`implies 2e^(v) dv = -(dy)/(y),` (चरो के पृथककरण से)
समाकलन करने पर,
`2int e^(v)dv =- int (dy)/(y)`
`implies2e^(v)=-log |y| +C`
`implies 2e^(v)+log |y| =C`
`implies2 e^(x//y)+log |y| =C, [because x= vy implies v=(x)/(y)]" "...(3)`
दिया है: `y =1 ` यदि `x =0 `
सामी (3 ) में `x =0 ` और `y =1 ` रखने पर,
`2e^(0)+log 1=C impliesC=2`
समी (2 ) में `C =2 ` रखने पर,
`2e ^(x//y)+log |y|=2.`


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