1.

दर्शाइये किअवकल समीकरण `(dy)/(dx)=(y^(2))/(xy-x^(2))` समघात है तथा इनका हल ज्ञात कजिए.

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(dy)/(dx) (y^(2))/(xy-x^(2))" "...(1)`
माना `F(x,y) =(y^(2))/(xy-x^(2))`
उपरोक्त फलन में x और y को क्रमशः `lamda x ` और `lamda y ` में प्रतिस्थापित करने पर,
`F(lamda , lamday) =((lamday)^(2))/((lamdax) (lamday) -(lamdax)^(2))`
`implies F (lamda x, lamday)(lamda^(2)y^(2))/(lamda^(2) xy- lamda^(2) x^(2))`
`impliesF (lamdax, lamday) =(lamda^(2) y^(2))/(lamda ^(2) (xy-x^(2)))=lamda^(0) (y^(2))/((xy - x^(2)))`
`implies F (lamda x, lamday) =lamda^(0) F(x,y),`
अतः फलन `f (x ,y )` शून्य घात में समघातीय फलन है इसलिए दिया गया अवकल समीकरण समाघात है.
माना `y=vx,` तब `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)" "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) से,
`v+x (dv)/(dx)=(v^(2)x^(2))/(vx^(2)-x^(2))`
`impliesv+x(dv)/(dx) =(v^(2))/(v-1)`
`impliesx(dv)/(dx) =(v^(2))/(v-1)-v`
`impliesx (dv)/(dx)=(v^(2)-v^(2)+v)/(v-1)`
`impliesx(dv)/(dx)=(v)/(v-1)`
`implies(v-1)/(v)dv =(v)/(v-1)`
`(v-1)/(v)dv= (dx)/(x).` (चरो को पृथक्करण से)
समाकलन करने पर,
`int (v-1)/(v)dv =int (dx)/(x)`
`impliesint(1-(1)/(v))dv=int(dx)/(x)`
`impliesint1dv-int(1)/(v) dv=int (dx)/(x)`
`implies v-log |v|=log |x|+C`
`impliesy/x -log |(y)/(x)| =log |x| +C,`
`[because y= vx impliesv =(y)/(x)]` `impliesy/x-log |y|+log |x|=log |x|+C`
`impliesy/x-log |y|=C.`


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