InterviewSolution
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| 1. |
`(dy)/(dx)` निकालें यदि `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)`, `["Find"(dy)/(dx),ify^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b).]` |
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Answer» दिया है `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)`. माना कि `u=y^(x),v=x^(y)` तथा `w=x^(x)` तो `u+v+w=a^(b)` `therefore(du)/(dx)+(dv)/(dx)+(dw)/(dx)=0` … (2) अब `=y^(x)` दोनों तरफ लघुगणक लेने पर हमें मिलता है, log u =x log y. दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है, `(1)/(u)*(du)/(dx)=x(d)/(dx)(logy)+logy(d)/(dx)(x)` `=x(1)/(y)*(dy)/(dx)+logy*1` `therefore(du)/(dx)=u((x)/(y)(dy)/(dx)+logy)=y^(x)[(x)/(y)(dy)/(dx)+logy]` ... (3) पुनः `v=x^(y)` दोनों तरफ लघुगणक लेने पर हमें मिलता है, log v=y logx दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है, `(1)/(v)*(dv)/(dx)=y(d)/(dx)(logx)+logx(dy)/(dx)=y*(1)/(x)+logx*(dy)/(dx)` `therefore(dv)/(dx)=v[(y)/(x)+logx(dy)/(dx)]=x^(y)[(y)/(x)+logx(dy)/(dx)]` ... (4) पुनः `w=x^(x)` लघुगणक लेने पर हमें मिलता है, log w=x log x. x के सापेक्ष दोंनो तरफ अवकलति करने पर हमें मिलता है| `(1)/(w)*(dw)/(dx)=x(d)/(dx)(logx)+logx*(d)/(dx)(x)=x*(1)/(x)+logx*1` `therefore(dw)/(dx)=w(1+logx)=x^(x)(1+logx)` ... (5) (2),(3),(4) तथा (5) से हमें मिलता है, `y^(x)((x)/(y)(dy)/(dx)+logy)+x^(y)((y)/(x)+logx(dx)/(dx))+x^(x)(1+logx)=0` या `(x*y^(x-1)+x^(y)*logx)(dy)/(dx)=-x^(x)(1+logx)-y*x^(y-1)-y^(x)logy` अतः `(dy)/(dx)=(-[y^(x)logy+y*x^(y-1)+x^(x)(1+logx)])/(x*y^(x-1)+x^(y)logx)` |
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