1.

हल कीजिए - ` ( x ^ 2 - y ^ 2 ) dx + 2 xy dy = 0 , y = 1 ` जब ` x = 1 `

Answer» दिया गया अवतल समीकरण है -
` (x ^ 2 - y ^ 2 ) dx + 2 xy dy = 0 `
` rArr 2xy dy = - ( x ^ 2 - y^ 2 ) dx `
` rArr (dy ) / (dx ) = ( y^ 2 - x ^ 2 ) / ( 2xy ) " " `...(1)
यह एक समघात अवतल समीकरण है |
माना ` y = vx , ` तब ` (dy )/ (dx ) = v + x ( dv ) / ( dx ) " " ` ... (2)
समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x (dv ) / (dx ) = ( v ^ 2 x ^ 2 - x ^ 2 ) /( 2vx ^ 2 ) `
` rArr v + x ( dv ) / (dx ) = ( v ^ 2 - 1 ) / (2v ) `
` rArr x ( dv ) / ( dx ) = ( v^ 2 - 1 ) / ( 2v ) - v `
` rArr x (dv ) / (dx ) = ( v ^ 2 - 1 - 2v ^ 2 )/ (2v ) `
` rArr x (dv ) / (dx ) = - ( v ^ 2 + 1 ) /( 2v ) `
` rArr (2v) / ( 1 + v ^ 2 ) dv = - (dx ) / ( x ) `
समाकलन करने पर,
` int (dt )/ (t ) = - int (dx ) / (x ) `
` rArr log |t| = - log | x| + C `
` rArr log | 1 + v ^ 2 | + log |x| =C `
` rArr log | 1 + (y ^ 2 ) / ( x ^ 2 ) | + log |x| = C" " `...(3)
` " " [ because y = vx rArr v = ( y ) / ( x ) ] `
दिए गए प्रतिबंध के अनुसार समी. (3 ) में : x = 1 और y = 1 रखने पर,
` log 2 + log 1 = C rArr C = log 2 `
समी. (3 ) में, ` C = log 2 ` रखने पर
` log | ( y^ 2 + x ^ 2 ) /( x ^ 2 ) | + log |x| = log 2 `
` rArr log | (( y ^ 2 + x ^ 2 )/ ( x ^ 2 )) x | = log 2 `
` rArr log | ( x ^ 2 + y ^ 2 ) /( x ) = log 2 `
` rArr ( x ^ 2 + y ^ 2 ) /( x ) = 2 `
` rArr x ^ 2 + y^ 2 = 2x `.


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