1.

किसी गाँव की जनसँख्या की वृद्धि दर किसी भी समय उन गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है. यदि सन 1999 में गाँव की जनसँख्या `20 ,000 ` थी और सन 2004 में `25 , 000 ` थी, तो ज्ञात कीजिए की सन 2009 में गाँव की जनसँख्या क्या होगी ?

Answer» माना किसी समय t पर गाँव की जनसँख्या y है . तब प्रश्नानुसार,
`implies (dy)/(dx)propy`
`implies(dy)/(dt) =ky, ` जहाँ k अचर है.
`implies(dy)/(dx) =kdt. `
समाकलन करने पर,
`int (dy)/(y)=int kdt`
`implies log y= kt +C`
1999 में `t =0 ` और `y =20 ,000 `
`therefore log 20,000 =kxx 0+C impliesC= log 20,000`
`therefore log y= kt +log 20,000`
`implieslog y -log 20,000 =kt`

`implieskt =log ((y)/(20,000))`
`implieskt =1/t log ""((y)/(20,000))" "...(1)`
2004 में `t=5` और `y=25,000.`

`k =1/5 log ((25,000)/(20,000))=1/5 log ((5)/(4))" "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) से,
`1/t log"" (y)/(20,000) =1/5 log ((5)/(4))`
`implieslog ""(y)/(20,000)=t/5 log ((5)/(4))`
2009 में `t =10 `
`therefore log ""(y)/(20,000) =log ((5)/(4))^(2)`
`implies(y)/(20,000)=(25)/(16)`
`implies y=20,000xx(25)/(16)=31,250`
अतः 2009 में जनसँख्या `31 , 250 ` होगी.


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