InterviewSolution
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निम्नलिखित परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिय `**` के लिए निर्धारित कीजिए की क्या `**` क्रमविनिमेय है तथा क्या `**` साहचर्य है ? (i) Z में `a**b=a-b` द्वारा परिभाषित (ii) `Z^(+)` में `a**b=2^(ab)` द्वारा परिभाषित (iii)`R-{-1}` में `a**b=(a)/(b+1)` द्वारा परिभाषित |
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Answer» यहाँ `a** b = a- b AA a, b in Z` क्रमविनिमेयता माना `a, b in Z` तब `a**b=a-b` `b**a=b-a` `:. A**b ne b **a AA, a, b in Z` अतः `** Z` में क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं करती है। साहचर्यता : माना `a , b c, in Z` तब `(a**b)**c=(a-b)**c=a-b-c` और `a**(b**c)=a-(b**c)` `=a-(b-c)=a-b+c` `:. (a**b)**c ne (b **c) AA a, b,c in Z` अतः `** Z` में साहचर्यता नियम का पालन नहीं करती है। (ii) यहाँ `a** b=2^(ab) AA a, b in Z^(+)` तब क्रमविनिमेयता माना `a, b in Z^(+)` तब `a**b=2ab=2^(ba)=b**a` [ `:. Z^(+)` में गुणन क्रमविनिमेय होता है] `:. A a**b= b** a AA a, b in Z^(+)` अतः `** Z^(+)` में क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं करती है। साहचर्यता : माना `a , b c, in Z^(+)` तब `(a**b)**c=2^(ab)**c=2^((2^(ab)xxc))` और `a**(b**c)=a**2^(bc)=2^((a xx 2^(bc)))` अतः `** Z^(+)` में साहचर्यता नियम का पालन नहीं करती है। (iii) यहाँ `a**b=(a)/(b+1)AA a, b in R -{-1}` क्रमविनिमेयता माना `a, b in Z` तब `a**b=(a)/(b+1)` और `b**a=(b)/(a+1)` `:. A* b ne b **a` अतः `*R-{-1}` में क्रमविनिमेय नहीं है। साहचर्यता : माना `a , b c, in R-{-1}` तब ` (a**b)**c=((a)/(b+1))*c` `=((a)/(b+1))/(c+1)` `=(a)/((b+1)(c+1))` और `a**(b**c)=a**((b)/(c+1))` `=(a)/((b)/(c+1)+1)` `=(a(c+1))/(b+c+1)` `:. (a**b)**c ne a** (b**c)` अतः `* R-{-1}` में साहचर्य नहीं है। |
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