Prove that cos5 θ = 16 cos5 θ – 20 cos3 θ + 5 cos θ.

1.	Prove that cos5 θ = 16 cos5 θ – 20 cos3 θ + 5 cos θ.
Answer» cos⁵ θ = cos(2θ + 3θ) = cos 2θ cos 3θ – sin 2θ sin 3θ = (2 cos² θ – 1) (4 cos³ θ – 3 cos θ) – 2 sin θ cos θ (3 sin θ – 4 sin³ θ) = 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6 sin² θ cos θ + 8 cos θ sin⁴ θ = 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6(1 – cos² θ) cos θ + 8 cos θ (1 – cos² θ)² = 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6 cos θ + 6 cos³ θ + 8 cos 0(1+ cos⁴ θ – 2 cos² θ) = 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6 cos θ + 6 cos³ θ + 8 cos θ + 8 cos⁵ θ – 16 cos³ θ = 16 cos³ θ – 20 cos³ θ + 5 cos θ = RHS

Answer»

cos⁵ θ = cos(2θ + 3θ) = cos 2θ cos 3θ – sin 2θ sin 3θ

= (2 cos² θ – 1) (4 cos³ θ – 3 cos θ) – 2 sin θ cos θ (3 sin θ – 4 sin³ θ)

= 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6 sin² θ cos θ + 8 cos θ sin⁴ θ

= 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6(1 – cos² θ) cos θ + 8 cos θ (1 – cos² θ)²

= 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6 cos θ + 6 cos³ θ + 8 cos 0(1+ cos⁴ θ – 2 cos² θ)

= 8 cos⁵ θ – 6 cos³ θ – 4 cos³ θ + 3 cos θ – 6 cos θ + 6 cos³ θ + 8 cos θ + 8 cos⁵ θ – 16 cos³ θ

= 16 cos³ θ – 20 cos³ θ + 5 cos θ = RHS

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