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1.

एक वक्र के किसी बिंदु `(x,y)` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिंदु को, बिंदु `(-4,-3)`. से मिलाने वाले रेखाखंण्ड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिंदु `(-2,1)` से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer» `P(x,y)` को `(-4,-3)` से मिलाने वाली रेखा की ढाल `=(y-(-3))/(x-(-4))=(y+3)/(x+4)`
वक्र के किसी बिंदु `(x,y)` पर स्पर्श रेखा की ढाल `=(dy)/(dx)`.
प्रश्न से `(dy)/(dx)=2.(y+3)/(x+4)`…………1
`:.1/(y+3)dy=2/(x+4)dx`
दोनों तरफ integrate करनें पर हमें मिलता है
`log|y+3|=2log|x+4|+C` या `log|y+3|-log|(x+4)^(2)|=C`
या `log|(y+3)/((x+4)^(2))|=Cimplies|(y+3)/((x+4)^(2))|=e^(C)` या `(y+3)/((x+4)^(2))=+-e^(C)=A` (माना)
या `y+3=A(x+4)^(2)`…….2
चूंकि वक्र 2 बिंदु `(-2,1)` से गुजरती है `:.2` से `4=A.4impliesA=1`
2 में A का मान रखने पर हमें मिलता है `y+3=(x+4)^(2)`
यही वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
Discussion
2.

बिंदु `(0,1)` से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु `(x,y)` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, उस बिंदु के `x` निर्देशांक (भुज) और `y` निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर है।

Answer» बिंदु `(x,y)` पर वक्र की ढाल `=(dy)/(dx)`
प्रश्न से `(dy)/(dx)=x+xy` या `(dy)/(dx)+y(-x)=x`……….1
यह `(dy)/(dx)+Py=Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है जहां `P=-x` तथा `Q=x`
अब I.F. `e^(intPdx)=e^(-intx dx)=e^(-(x^(2))/2)`
`:.` अवकल समीकरण 1 का हल होगा `ye^(-(x^(2))/2)=intQe^(-(x^(2))/2)dx+C`
या `ye^(-(x^(2))/2)=intxe^(-(x^(2))/2)dx+C=-inte^(z)dz+C` [`z=-(x^(2))/2` रखने पर]
`=-e^(z)+C=-e^(-(x^(2))/2)+C`
या `y=-1+Ce^((x^(2))/2)`…………..2
यदि वक्र 2 बिंदु `(0,1)` से गुजरती है तो `1=-1+CimpliesC=2`
2 में C का मान रखने पर हमें मिलता है `y=-1+2e^(-(x^(2))/2)`
यही वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
Discussion
3.

मूल बिंदु से गंजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु `(x,y)` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।

Answer» प्रश्न से बिंदु `P(x,y)` पर स्पर्श रेखा की ढाल `=P` के निर्देशांकों का योगफल
`:.(dy)/(dx)=x+yimplies(dy)/(dx)-y=x`……………….1
यह `(dy)/(dx)+Py=Q` के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है
जहा `P=-1` तथा `Q=x`
अब I.F (समाकलन गुणांक) `e^(intPdx)=e^(-intdx)=e^(-x)`
`:.` समीकरण 1का हल होगा,
`y.(IF)=intQ(I.F).dx+C` या `ye^(-x)=intxe^(-x)dx+C`
या `ye^(-x)=-xe^(-x)-int1.(-e^(-x))dx+c=-xe^(-x)+inte^(-x) dx+C`
`:.=-xe^(-x)-e^(-x)+C`
या `y=-x-1+Ce^(x)`………..2
चूंकि वक्र 2 बिंदु (0,0) से गुजरती है
`:.0=-1+CimpliesC=1`
2 से अभीष्ट वक्र का समीकरण है `y=-x+1+e^(x)`
Discussion
4.

बिंदु (0,2) से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु के निदेशांकों का योग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।

Answer» प्रश्न से किसी बिंदु़ `P(x,y)` के निर्देशांकों का योगफल `=` स्पर्श रेखा की ढाल `+5`
`:.x+y=(dy)/(dx)+5` या `(dy)/(dx)-y=x-5`………..1
यह `(dy)/(dx)+Py=Q` के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है
जहां `P=-1` तथा `Q=x-5`
अब `I.F=e^(intPdx)=inte^(-1dx)=e^(-x)`
`ye^(-x)=intQe^(-x)dx+C=in(x-5)e^(-x)dx+C`
`=intxe(-x)dx-5inte^(-x)dx+C=-xe^(-x)+inte^(-x)dx+5e^(-x)+C`
`=-xe(^-x)-e^(-x)+5e^(-x)+C=-xe^(-x)+4d^(-x)+C`
`:.y=-x+4+Ce^(x)`………….2
यदि वक्र 2 बिंदु `(0,2)` से गुजरती है तो
2 से `y=-x+4-2e^(x)`
यही वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
Discussion
5.

The slope of the tangent at `(x,y)` to a curve passing through `(2,1)` is `(x^(2)+y^(2))/(2xy)`, then the equation of the curve isA. `x(x^(2)+y^(2))=10`B. `x(x^(2)-y^(2))=6`C. `2(x^(2)-y^(2))=6y`D. `2(x^(2)-y^(2))=3x`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
6.

The slope of the tangent to a curve `y=f(x)` ast is `2x+1`. If the curve passes through the point (1,2), then the area of the region bounded by the curve, the x-axis and the line isA. `5//6`B. `6//5`C. `1//6`D. `6`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
7.

किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दरी से होती है। कितने वर्षों में रू0 1000 की राशि दुगुनी हो जाएगी?

Answer» माना कि किसी समय `t` पर मूलधन `P` है
तो प्रश्न से `(dP)/(dt)=P` का `5%=(5P)/100implies(dP)/(dt)=p/20implies1/PdP=1/20dt`
दोनों तरफ Integrate करने पर हमें मिलता है
`int1/P dP=int1/20dt implieslog P=1/20 t+logC`
`implies "log"P/C=1/20timplies=Ce^(t//20)`……1
जब `t=0, P=1000`
`P` तथा `t` का मान 1 में रखने पर हमें मिलता है `1000=C`
1 में `C=1000` रखने पर हमें मिलता है `P=1000e^(t//20)`………..2
माना कि `T` में मूलधन दुगुनी हो जाती है तो
जब `t=T,P=2000`.
`:.` 2 से `2000=1000e^(T//20)`
`impliese^(T//20)=2impliesT/20=log_(e)2impliesT=20log_(e)2`
अतः मूलधन `20log_(e)2` वर्षों में दुगुना हो जायेगा।
Discussion
8.

किसी गोलाकार गुब्बारे जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है के सतह का क्षेत्रफल स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 2 सेकेण्ड बाद 5 इकाई है तो `t` सेकेण्ड के बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात करें।

Answer» माना कि किसी समय `t` पर गुब्बारे की त्रिज्या `r` तथा सतह का क्षेत्रफल `S` हैं
तो `S=4pir^(2)=(dS)/(dt)=8pir(dr)/(dt)`………..1
प्रश्न से `(dS)/(dt)=` constant`=c` (माना)
1 से `c=8pir(dr)/(dt)implies8pirdr=cdt`
`implies8piintrdr=cintdtimplies4pir^(2)=ct+k`…….2
दिया है जब `t=0,r=3` तथा जब `t=2,r=5`
`:.36pi=c(0)+k` तथा `100pi=2c+k`
`impliesk=36pi` तथा `c=32pi`
2 से `4pir^(2)=32pit+36pi` या `r^(2)=8t+9=r=sqrt(8t+9)`
Discussion
9.

उस वक्र का समीकरण ज्ञात करें जिसके किसी बिंदु `(x,y)` पर ढाल `y+2x` है तथा जो मूल बिंदु से गुजरती है।

Answer» हम जानते हैं कि किसी वक्र के किसी बिंदु `P(x,y)` पर ढाल `=(dy)/(dx)`
प्रश्न से `(dy)/(dx)=y+2ximplies(dy)/(dx)-y=2x`………..1
यह निम्नलिखित रूप का रैखिक अवकल समीकरण है `(dy)/(dx)+Py=Q`
जहां `P=-1,Q=2x` अब I.F `=e^(-intdx)=e^(-x)`
`:.` अवकल समीकरण 1 का हल होगा `ye^(-x)=int2xe^(-x)dx`
या `ye^(-x)=2[(-xe^-x)]-int-e^(-x)dx]+C=-2e^(-x)-2e^(-x)+C`
`impliesy+2x+2=Ce^(x)`………….2
यह वक्रों के कुल का समीकरण है।
चूंकि वक्र `(0,0)` से गुजरती है इसलिए 2 में `x=0` तथा `y=0` रखने पर `C=2`
`:.y+2x+2=2e^(x)` वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
Discussion
10.

किसी वक्र के प्रत्येक पर का अभिलम्ब बिंदु `(2,0)` से गुजरती है वक्र (2,3) से गुजरती है। अवकल समीकरण स्थापित करें और इससे वक्र का समीकरण निकालें।

Answer» माना कि `P(x,y)` वक्र पर एक स्वेच्छ बिंदु हैं वक्र के बिंदु `P(x,y)` पर अभिलम्ब का समीकरण होगा
`Y-y=-1/((dy)/(dx))(X-x)`…………1
यह दियाहै कि वक्र के प्रत्येक बिंदु पर का अभिलम्ब बिंदु `(2,0)` से गुजरती है इसलिए रेख 1 बिंदु (2,0) से गुजरती है।
1 में `Y=0` तथा `X=2` रखने पर हमें मिलता है,
`0-h=1/((dy)/(dx))(2-x)` या `y(dy)/(dx)=2-x` या `ydy=(2-x)dx`
या `intydy=int(2-x)dx+C` [दोनों पक्षों को integrate करने पर]
या `(y^(2))/2=-((2-x)^(2))/2+C` या `y^(2)=-(2-x)^(2)+2C`………2
चूंकि वक्र 2 बिंदु (2,3) से गुजरती हैक्‍ इसलिए `9=0+2CimpliesC=9/2`
2 में `C=9/2` रखने पर हमें मिलता है
`y^(2)=-(2-x)^(2)+9` या `y^(2)=-(x-2)^(2)+9`
या `(x-2)^(2)+y^(2)=9`
यही वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
Discussion
11.

एक बैंक ब्याज दर को मूलधन का क्षणिक दर मानकर ब्याज अदा करता है यदि ब्याज 8% प्रतिवर्ष हो तथा यह सतत् चक्रवृद्धि हो तो एक वर्ष में मूलधन में प्रतिशत वृद्धि की गणना करें। `(e^(0.08)=1.0833` लें)

Answer» माना कि `t` वर्षों में मूलधन `P` हो जाता है।
तो प्रश्न से `(dP)/(dt)=8/100 P :.int(dP)/P=2/25 dt`
या `logP=2/25t+C`……..1
माना कि `t=0` पर `P=P_(0)`
तो 1 में `t=0` तथा `P=P_(0)` रखने पर हमें मिलता है `C=logP_(0)`
`:.`1 से `logP=2/25t+logP_(0)`
जब `t=1, logP=2/25+logP_(0)implieslog(P/(P_(0)))=2/25=0.08`
`impliesP/(P_(0))=e^(0.08)=1.0833impliesP=1.0833P_(0)`
`:.` 1 वर्ष में मूलधन में प्रतिशत वृद्धि `=(0.0833 P_(0))/(P_(0))xx100=8.33%`
Discussion
12.

एक जनसंख्या के वृर्द्धि की दर 5% प्रतिवर्ष है। जनसंख्या कितने समय में दुगुनी हो जायेगी।A. `B.C.D.

Answer» माना कि किसी समय `t` पर जनसंख्या `P` है।
तो प्रश्न से `(dP)/(dt)=P` का `5%=5/100implies(dP)/(dt)=P/20`
`impliesint(dP)/P=1/20intdt`………..1
`implieslog P=1/20+C`
माना कि `t=0` पर जनसंख्या `P_(0)` है।
1 में `P=P_(0)` तथा `t=0` रखने पर हमें मिलता है `C=logP_(0)`
`:.` 1 से `logP=t/20+logP_(0)`…………..2
माना कि `t=T` पर `P=2P_(0)`
तो `log(2P_(0))=T/20+logP_(0)implieslog2+logP_(0)=T/20+logP_(0)`
`implieslog2=T/20impliesT=20(log2)`
अतः `20log2` वर्षों में जनसंख्या दुगुनी हो जायेगी।
Discussion