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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5). |
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Answer» दिया है, f:[-5, 5]→ R f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0 अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है (i) [a, b] में f संतत है। (ii) (a, b) में f अवकलित होता है। (iii) f(a) = f(b) f ‘(c) = 0 c ∈(a, b) f ‘(c) ≠ 0 ⇒ f(a) ≠ f(b) f(- 5) ≠ f(5) |
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| 2. |
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं? (i) f(x) = [x] के लिए x ∈ [5, 9] (ii) f(x) = [x] के लिए x ∈ [-2, 2] (ii) f(x) = x2 – 1 के लिए x ∈ [1, 2] |
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Answer» (i) f(x) = [x] के लिए x ∈ [5, 9] f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है। ∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है। (ii) f(x) = [x], x ∈ [-2, 2] f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है। ∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है। (iii) f(x) = (x2 – 1), x∈[1, 2] के लिए f(1) = 1 – 1 = 0, f(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 f(1) ≠ f(2) चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2). ∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है। |
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