InterviewSolution
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| 1. |
यदि `x=2cos theta-cos 2theta` तथा `y=2sin theta-sin 2theta` तो `((d^(2)y)/(dx^(2)))_(theta=(pi)/(2))` पर ज्ञात करें | |
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Answer» `x=2cos theta-cos 2theta" "implies" "(dx)/(d theta)=-2sin theta+2sin 2 theta" "…(1)` `y=2 sin theta-sin 2 theta" "implies" "(dy)/(d theta)=2 cos theta-2cos 2theta" "…(2)` अब ` (dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx//d theta)=(cos theta-cos 2theta)/(sin 2theta-sin theta)` `=(2 sin""(3 theta)/(2)sin""(theta)/(2))/(2 cos""(3 theta)/(2)sin""(theta)/(2))=tan""(3theta)/(2)` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (Differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=sec^(2)""(3theta)/(2).(3)/(2)(dtheta)/(dx)` `=(3)/(2)sec^(2)""(3theta)/(2).(1)/(2(sin2theta-sin theta))" "[(1)" से"]` `implies((d^(2)y)/(dx^(2)))_(theta=(pi)/(2))=(3)/(4)sec^(2)""(3pi)/(4).(1)/(sinpi-sin""(pi)/(2))` `=(3)/(4)cdot2cdot(1)/(0-1)=-(3)/(2)` |
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| 2. |
यदि `x=a(theta+sin theta),y=a(1-cos theta)` तो `theta=(pi)/(2)` पर `(d^(2)y)/(dx^(2))` ज्ञात करें | |
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Answer» दिया है, `x=a(theta+sin theta)implies(dx)/(d theta)=a(1+cos theta)" "...(1)` तथा `y=a(1-cos theta)implies(dy)/(d theta)=a sin theta" "...(2)` अब `" "(dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx//d theta)=(a sin theta)/(a(1+cos theta))=(2sin""(theta)/(2)cos""(theta)/(2))/(2 cos^(2)""(theta)/(2))=tan""(theta)/(2)` `implies" "(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)(tan""(theta)/(2))=(d)/(d theta)(tan""(theta)/(2)).(d theta)/(dx)` `=(1)/(2)sec^(2)""(theta)/(2)//(dx)/(d theta)=((1)/(2)sec^(2)""(theta)/(2))/(a(1+costheta))` `theta=(pi)/(2)" पर "(d^(2)y)/(dx^(2))=(1)/(2)sec^(2)""(pi)/(4).(1)/(a(1+cos""(pi)/(2)))=(1)/(a)` |
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| 3. |
यदि (If) `x=a(cos theta+theta sin theta)` तथा (and) `y=a(sin theta-theta cos theta)`, जहाँ (where) `0 lt theta lt (pi)/(2)`, सिद्ध करें कि (prove that) `(d^(2)y)/(dx^(2))=(sec^(3)theta)/(a theta)` |
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Answer» `(dx)/(d theta)=a(-sin theta+1 sin theta+thetha cdot cos theta)=a theta cos theta" "…(1)` तथा `(dy)/(dx)=a[costheta-{1 cos theta+theta(-sin theta)}]=a theta sin theta" "...(2)` अब, `(dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx//d theta)=(a theta sin theta)/(a theta cos theta)=tan theta" ...(3)` पुन: दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=sec^(2)theta(d theta)/(dx)=sec^(2) theta.(1)/(a theta cos theta)" "[(1)" से"]` `=(sec^(3)theta)/(a theta)` |
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| 4. |
यदि (If) `cosx=(1-t^(2))/(1+t^(2))` तथा (and) `siny=(2t)/(1+t^(2)),0 le t le 1` सिद्ध करें कि (Prove that) `(d^(2)y)/(dx^(2))`, t से स्वतंत्र है | |
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Answer» दिया है, `x=cos^(-1)(1-t^(2))/(1+t^(2))` `:." "x=2 tan^(-1)t" ":." "(dx)/(dt)=(2)/(1+t^(2))" "...(1)` तथा `y=sin^(-1)(2t)/(1+t^(2))=2 tan^(-1)t` `:." "(dx)/(dt)=(2)/(1+t^(2))" "...(2)` अब, `(dy)/(dx)=((dy)/(dt))/((dx)/(dt))=((2)/(1+t^(2)))/((2)/(1+t^(2)))=1` `:." "(d^(2)y)/(dx^(2))=0`, जो कि t से स्वतंत्र है | Second method : यहाँ `x=2 tan^(-1)t` तथा `y=2tan^(-1)t` `:." "y=x" ":." "(dy)/(dx)=1" ""अत: "(d^(2)y)/(dx^(2))=0` |
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| 5. |
इन फलनों का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये - `sin ( log x ) ` |
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Answer» Correct Answer - ` ( - [sin ( log x ) + cos ( log x ) ] ) /( x ^ 2 ) ` |
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| 6. |
यदि (If) `y=x^(x)`, दिखाएँ कि (show that) `(d^(2)y)/(dx^(2))-(1)/(y)((dy)/(dx))^(2)-(y)/(x)=0` |
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Answer» दिया है, `y=x^(x)` `implies" "logy=xlogx` x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(1)/(y).(dy)/(dx)=1.logx+x.(1)/(x)` `implies" "(dy)/(dx)=y(1+logx)" "...(1)` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=(dy)/(dx)(1+logx)+y.(1)/(x)` `=(dy)/(dx).(1)/(y).(dy)/(dx)+(y)/(x)" "[(1)" से"]` `implies" "(d^(2)y)/(dx^(2))-(1)/(y)((dy)/(dx))^(2).-(y)/(x)=0` |
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| 7. |
If `y="("x+sqrt(1+x^(1)")"^(n))`, then `(1+x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))+x(dy)/(dx)` is equal toA. `n^(2)y`B. `-n^(2)y`C. `-y`D. `2n^(2)y` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 8. |
अगर`y=a^(x)`, तब`(d^(2)y)/(dx^(2))`के बराबर है :A. `a^(x)loga`B. `a^(x)(loga)^(2)`C. `(a^(x))^(2)loga`D. none of these |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 9. |
यदि (If) `y=log(1+cosx)`, सिद्ध करें कि (prove that) `(d^(3)y)/(dx^(3))+(d^(2)y)/(dx^(2)).(dy)/(dx)=0` |
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Answer» दिया है, `y=log(1+cosx)" "...(1)` `implies" "(dy)/(dx)=(1)/(1+cosx)(-sinx)=(-sinx)/(1+cosx)" "...(2)` `implies" "(d^(2)y)/(dx^(2))=-((1+cosx)cdot cosx-sinx(-sinx))/((1+cosx)^(2))` `=-(cosx+cos^(2)x+sin^(2)x)/((1+cosx)^(2))` `=-(cosx+1)/((1+cosx)^(2))=(-1)/(1+cosx)" "...(3)` `implies" "(d^(3)y)/(dx^(3))=(-1)(-1)(1+cosx)^(-2)(-sinx)` `=(-sinx)/((1+cosx)^(2))" "...(4)` अब `(d^(3)y)/(dx^(3))+(d^(2)y)/(dx^(2)).(dy)/(dx)` `=(-sinx)/((1+cosx)^(2))+(1)/(1+cosx)xx(-sinx)/(1+cosx)" "[(2), (3)" और "(4)" से"]` `=(-sinx+sinx)/((1+cosx)^(2))=0` |
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| 10. |
यदि (If) `x=a(cos t+t sin t)` और `y=(sin t-t cos t)` (find) `(d^(2)y)/(dx^(2))` निकालें | |
| Answer» उदाहरण (13) की तरह, `(d^(2)y)/(dx^(2))=(sec^3t)/(a^2t)` | |
| 11. |
यदि `y=cos^(-1)x`, तो केवल y के पदों में `(d^(2)y)/(dx^(2))` निकालें | |
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Answer» दिया है, `y=cos^(-1)x" "...(1)` `:." "(dy)/(dx)=-(1)/(sqrt(1-x^(2)))=-(1)/(sqrt(1-cos^(2)y))" "[because (1)" से",cos y =x]` या `" "(dy)/(dx)=-(1)/(siny)=-"cosec "y" "...(2)` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=-(-"cosec y"cot y)(dy)/(dx)` `="cosec y"cot y(-"cosec "y)" "[(2)" से "]` `=-"cosec"^(2)ycot y` |
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| 12. |
यदि (If) `y=x sinx`, सिद्ध करें कि (prove that) `x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))-2x(dy)/(dx)+(x^(2)+2)y=0` |
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Answer» दिया है, `y=x sin x" "...(1)` `:." "(dy)/(dx)=x cos x+sin x" "...(2)` पुन: दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=x(-sinx)+1 cdot cosx+cosx=2cosx-xsinx` `x^(2)` से गुणा करने पर हमें मिलता है, `x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))=2x^(2)cosx-x^(2) cdot x sinx=2x^(2)cosx-x^(2)y" "[(1)" से "]` `=2x((dy)/(dx)-sinx)-x^(2)y" "[(2)" से"]` `=2x(dy)/(dx)-2xsinx-x^(2)y=2x(dy)/(dx)-2y-x^(2)y" "[(1)" से"]` `:." "x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))-2x(dy)/(dx)+(x^(2)+2)y=0` |
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| 13. |
यदि (If) `y=e^(tanx)`, सिद्ध करें कि (prove that) `cos^(2)x(d^(2)y)/(dx^(2))-(1+sin2x)(dy)/(dx)=0` |
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Answer» दिया है, `y=e^(tanx)` `:." "logy=tanx" "...(1)` `:." "(1)/(y)(dy)/(dx)=sec^(2)x" या "(dy)/(dx)=y sec^(2)x" "...(2)` या `" "cos^(2)x(dy)/(dx)=y" "...(3)` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (Differentiate) करने पर, हमें मिलता है `cos^(2)x(d^(2)y)/(dx^(2))-2cosxsinx(dy)/(dx)=(dy)/(dx)` या `" "cos^(2)x(d^(2)y)/(dx^(2))-(1+sin2x)(dy)/(dx)=0` |
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| 14. |
दिया (If) `y=(sin^(-1)x)^(2)`, सिद्ध करें कि (prove that) `(1-x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))=x(dy)/(dx)+2` |
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Answer» दिया है, `y=(sin^(-1))^(2)" "...(1)` `:." "(dy)/(dx)=2sin^(-1)x.(1)/(sqrt(1-x^(2)))" ""या "sqrt(1-x^(2))(dy)/(dx)=2sin^(-1)x` दोनों तरफ वर्ग करने पर हमें मिलता है, `(1-x^(2))((dy)/(dx))^(2)=4(sin^(-1)x)^(2)=4y" "[(1)" से"]` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(1-x^(2))2(dy)/(dx).(d^(2)y)/(dx^(2))+(-2x)((dy)/(dx))^(2)=4(dy)/(dx)` दोनों तरफ `2(dy)/(dx)` से भाग देने पर हमें मिलता है, `(1-x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))=x.(dy)/(dx)+2` |
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| 15. |
यदि (If) `y=x sinx`, सिद्ध करें कि (prove that) `x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))-2x(dy)/(dx)+(x^(2)+2)y=0` |
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Answer» दिया है, `y=x sin x" "...(1)` `:." "(dy)/(dx)=x cos x+sin x" "...(2)` पुन: दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=x(-sinx)+1 cdot cosx+cosx=2cosx-xsinx` `x^(2)` से गुणा करने पर हमें मिलता है, `x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))=2x^(2)cosx-x^(2) cdot x sinx=2x^(2)cosx-x^(2)y" "[(1)" से "]` `=2x((dy)/(dx)-sinx)-x^(2)y" "[(2)" से"]` `=2x(dy)/(dx)-2xsinx-x^(2)y=2x(dy)/(dx)-2y-x^(2)y" "[(1)" से"]` `:." "x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))-2x(dy)/(dx)+(x^(2)+2)y=0` |
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| 16. |
यदि ` x = a ( cos t + log tan "" ( t ) / ( 2 ) ) , y = a sin t`, तब ` dy / dx ` का मूल्यांकन बिंदु ` t = ( pi ) /( 3 ) ` पर कीजिये | |
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Answer» यहाँ ` x = a ( cos t + log tan "" ( t ) / ( 2 ) ) ` दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` ( dx ) /(dt ) = a[ - sin t + ( 1 ) / (tan t//2 ) ( d ) / ( dt ) (tan "" ( t ) /( 2 )) ] ` ` rArr ( dx ) / (dt ) = a [ - sin t + ( 1 ) /( tan t//2 ) * sec ^ 2 "" ( t ) / ( 2 ) * ( 1 ) /( 2 ) ] ` ` rArr (dx ) / (dt ) = a [- sin t + ( 1 cos t//2 ) /( 2 sin t//2) * ( 1 )/ ( cos^ 2 t //2 ) ] ` ` rArr ( dx ) / (dt ) = a [ - sin t + ( 1 ) /( 2sin t //2 * cos t//2 ) ] ` ` rArr (dx ) / (dt ) = a [ - sin t + ( 1 ) /(sin t ) ], [ therefore sin 2 theta = 2 sin theta cos theta ] ` ` rArr (dx ) / ( dt ) = a [ ( 1 - sin ^2 t ) /( sin t )] ` ` rArr (dx ) /(dt ) = a * ( cos ^ 2 t ) / ( sin t ) ` और ` y = a sin t` दोनों पक्षों का t के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` (dy ) /(dt) = a cos t ` अब ` ( dy ) / ( dx ) = ( dy //dt ) /( dx //dt ) = ( a cos t ) /( a (( cos ^ 2 t ) /( sin t))) ` ` rArr ( dy ) / ( dx ) = ( sin t ) / ( cos t ) = tan t ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` (d^ 2 y ) / ( dx^ 2 ) = ( d ) / (dx ) ( tan t ) ` ` rArr ( d^ 2 y ) / ( dx ^ 2 ) = ( d ) /( dt ) (tan t ) (dt ) /(dx ) `, ` [ therefore (d ) /(dx ) (f (t )) = ( d ) / (dt ) f ( t ) * ( dt ) / (dx )] ` ` rArr ( d^2 y ) / ( dx ^ 2 ) = sec ^2 t * ( sin t ) / ( a cos ^ 2 t )`, ` [ therefore (dx ) / (dt ) = ( a cos ^2 t ) / ( sin t ) rArr (dt ) /(dx ) = (sin x ) /( a cos ^2 t ) ] ` ` rArr ( d^2 y ) /( dx ^ 2 ) = (sint sec^ 4 t ) /( a ) ` ` t = ( pi ) /( 3 ) ` पर, ` [ ( d^2y ) /( dx ^ 2 ) ] _ ( t = pi//3 ) = ( 1 ) /(a) sin ""( pi ) /( 3 ) *sec ^( 4 ) "" (pi ) / ( 3 ) ` ` rArr [ (d^2y ) /( dx ^2 ) ] _ ( t = pi //3 ) = ( 1 ) /( a ) xx ( sqrt 3 ) /( 2 ) xx ( 2 ) ^ 4 = ( 8 sqrt 3 ) /( a ) ` |
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| 17. |
यदि (If)`x=a(theta-sin theta),y=a(1-cos theta)` तो `(dy)/(dx)` निकालें साथ ही `(d^(2)y)/(dx^(2))` भी निकालें | |
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Answer» `(dx)/(d theta)=a(1-cos theta)" "...(1)` और `" "(dy)/(d theta)=a sin theta" "...(2)` अब `(dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx//d theta)=(a sin theta)/(a(1-cos theta))=(2 sin""(theta)/(2)cos""(theta)/(2))/(2 sin^(2)""(theta)/(2))=cot""(theta)/(2)" "...(3)` दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)(cot""(theta)/(2))=(d)/(d((theta)/(2)))(cot""(theta)/(2)).(d((theta)/(2)))/(dx)` `=-"cosec"^(2)(theta)/(2).(1)/(2).(d theta)/(dx)` `=-(1)/(2)"cosec"^(2)(theta)/(2).(1)/(a(1-costheta))" "[(1)" से"]` `=-(1)/(2)"cosec"^(2)(theta)/(2).(1)/(2asin^(2)""(theta)/(2))=-(1)/(4a)"cosec"^(4)(theta)/(2)` |
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| 18. |
यदि (If) `y=e^(ax)sin bx`, सिद्ध करें कि (prove that) `(d^(2)y)/(dx^(2))-2a(dy)/(dx)+(a^(2)+b^(2))y=0` |
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Answer» दिया है, `y=e^(ax)sin bx" "...(1)` `:." "(dy)/(dx)=e^(ax) cdot b cos bx+a cdot e^(ax)sin bx` `=be^(ax)cos bx+ay" "[(1)" से"]" "...(2)` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=bae^(ax)(cos bx)+be^(ax)cdot b(-sin bx)+a(dy)/(dx)` `=a(be^(ax)cosbx)-b^(2)(e^(ax)sin bx)+a(dy)/(dx)` `=a((dy)/(dx)-ay)-b^(2)y+a(dy)/(dx)" "[(1)" और "(2)" से "]` `=2a(dy)/(dx)-(a^(2)+b^(2))y` `:." "(d^(2)y)/(dx^(2))-2a(dy)/(dx)+(a^(2)+b^(2))y=0` |
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| 19. |
`y=cos (m sin^(-1)x)`,इन्मे से सही क्या है ?A. `(1-x^(2))y_(2)+xy_(1)-m^(2)y=0`B. `(1-x^(1))y_(2)-xy_(1)+m^(2)y=0`C. `(1+x^(2))y_(2)+xy_(1)+m^(2)y=0`D. `y_(2)-xy_(1)+m^(2)y=0` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 20. |
If `y^(2)=ax^(2)+2bx+c`, then `y^(3)(d^(2)y)/(dx^(2))=`A. `b^(2)-4ac`B. `b^(2)-ac`C. `ac-b^(2)`D. `4(b^(2)+ac)` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 21. |
If `x=a(cos theta+theta sin theta),y=a(sin theta-theta cos theta)`, then `(d^(2)y)/(dx^(2))=`A. `(sec^(3)theta)/(a theta)`B. `(sec^(2)theta)/(theta)`C. `a theta cos^(3)theta`D. `(sec^(2)theta)/(a)` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 22. |
यदि `x=3sin t-sin3t,y=3cos t-cos 3t`, तो `t=(pi)/(3)` पर `(d^(2)y)/(dx^(2))` ज्ञात करें | |
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Answer» `x=3sint-sin 3t` `implies" "(dx)/(dt)=3cost-3 cos 3t" "…(1)` पुन: `" "y=3" cost "t-cos 3t` `implies" "(dy)/(dt)=-3sint+3sin3t" "...(2)` अब `(dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)=(sin3t-sint)/(cost-cos 3t)` `=(2cos2t sint)/(2 sin 2t sin t)=cot (2t)` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (Differentiate) करने पर हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=-2" cosec"^(2)2t.(dt)/(dx)` `=-2" cosec"^(2)2t.(1)/(3(cos t-cos 3t))" "[(1)" से"]` `t=(pi)/(3)` पर, `(d^(2)y)/(dx^(2))=-2" cosec"^(2)(2pi)/(3).(1)/(3(cos""(pi)/(3)-cos""(2pi)/(3)))` `=-2((2)/(sqrt(3)))^(2).(1)/(3((1)/(2)+(1)/(2)))=-(8)/(9)` |
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| 23. |
यदि ` y = cosec ^( -1 ) x , x gt 1 ` हो , तो दर्शाइए कि ` x ( x ^ 2 - 1 ) ( d^ 2 y ) / ( dx ^ 2 ) + ( 2x ^ 2 - 1 ) ( dy ) /( dx ) = 0 `. |
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Answer» ` y = cosec ^( -1) x , x gt 1 ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` ( dy ) /( dx ) = ( - 1 ) /( x sqrt ( x ^2 - 1 ) ) ` ` rArr xsqrt ( x ^ 2 - 1 ) * ( dy ) /(dx ) = - 1 ` दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, ` x ^ 2 ( x ^2 - 1 ) ( ( dy ) /(dx) ) ^ 2 = 1 ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` x ^ 2 ( x ^ 2 - 1 ) * 2 ( dy ) /( dx ) ( d^ 2 y ) / ( dx^ 2 ) + (( dy ) / ( dx ))^ 2 ( d ) /( dx ) [ x^ 2 ( x^ 2 - 1 ) ] = 0 ` ` rArr 2 x ^2 ( x ^ 2 - 1 ) ( dy ) / ( dx ) * ( d ^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) + [ x ^ 2 xx 2x + ( x ^2 - 1 ) xx 2x ] ((dy ) /( dx )) ^ 2 = 0 ` ` rArr x ( x ^ 2 - 1 ) (d^ 2 y ) /(dx^ 2 ) + ( 2x ^ 2 - 1 ) ( dy ) / ( dx ) = 0 ` |
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| 24. |
यदि ` y = e ^( a cos ^( - 1 ) x ) , -1 le x le 1 ` हो, तो दर्शाइए कि ` ( 1 - x ^ 2 ) ( d^2 y ) /( dx^ 2 ) - x ( dy ) /( dx ) - a ^2 y = 0 ` |
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Answer» यहाँ ` y = e ^( a cos ^( -1 ) x ) , - 1 le x le 1" " `...(1) दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` ( dy ) / ( dx ) = e ^( a cos ^( - 1 ) x )* ( d ) /( dx) ( a cos^( - 1 ) x ) ` ` rArr ( dy ) / ( dx ) = e ^( a cos ^( - 1 ) x ) * ( -a ) / ( sqrt ( 1 - x ^ 2 ) ) ` ` sqrt ( 1 - x ^ 2 ) ( dy )/ ( dx ) = - ae ^ ( a cos ^( - 1 ) y ) ` ` rArr sqrt ( 1 - x ^ 2 ) ( dy ) /( dx ) = - ay ` दोनों पक्षों वर्ग करने पर, ` ( 1 - x ^ 2 ) ((dy ) / (dx )) ^ 2 = a ^ 2 y ^ 2 ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( 1 - x ^ 2 ) * 2((dy ) /(dx)) ((d^ 2 y ) /(dx^ 2 )) - 2x ((dy)/(dx))^ 2 = 2a^ 2 y ((dy)/(dx))` ` rArr ( 1 - x ^ 2 ) ( d^ 2y ) /( dx^ 2 ) - x ( dy ) /( dx ) - a ^ 2 y = 0 ` |
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| 25. |
यदि ` x = tan ((1 ) /(a ) log y ) ` हो, तो दर्शाइए कि ` ( 1 + x ^ 2 ) ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) + ( 2x - a ) ( d y ) /( dx ) = 0 ` |
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Answer» यहाँ ` x = tan ( ( 1 ) / ( a ) log y ) ` ` rArr tan ^( -1 ) x = ( 1 ) /( a ) log y ` ` rArr log y = a tan^( - 1 ) x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` ( 1 ) /( y ) ( dy ) /( dx ) = a xx ( 1 ) /( 1 + x ^ 2) ` ` rArr ( 1 + x ^ 2 ) ( d y ) /( dx ) = ay ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( 1 + x ^ 2 ) ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) + 2 x ( dy ) /( dx ) = a ( dy ) /( dx) ` ` rArr ( 1 + x ^2 ) ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) + (2x - a ) ( d y ) / ( dx ) = 0 ` |
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| 26. |
यदि ` y = sin^( - 1 ) x ` हो, तो दर्शाइए कि - ` ( 1 - x ^ 2 ) y _ 2 - x y _ 1 = 0 ` |
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Answer» यहाँ ` y = sin ^( - 1 ) x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` y _ 1 = ( 1 ) /( sqrt ( 1 - x ^ 2 )) ` ` rArr sqrt ( 1 - x ^ 2 ) y _ 1 = 1 ` दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, ` ( 1 - x ^ 2 ) y _ 1 ^ 2 = 1 ` दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, ` ( 1 - x ^ 2 ) y _ 1 ^ 2 = 1 ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( 1 - x ^ 2 ) 2 y _ 1 y _ 2 + ( - 2x ) y _ 1 ^ 2 = 0 ` ` rArr ( 1 - x ^ 2 ) y _ 2 - x y _ 1 = 0 ` |
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| 27. |
यदि `y = ( tan ^( - 1 ) x ) ^ 2 ` हो , तो दर्शाइए कि - ` ( x ^ 2 + 1 ) ^ 2 y _ 2 + 2 x ( x ^ 2 + 1 ) y _ 1 = 2 `. |
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Answer» ` y = ( tan ^( - 1 ) x ) ^ 2 ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` y _1 = 2 ( tan ^( - 1 ) x ) * ( 1 ) /( 1 + x ^ 2 ) ` ` rArr ( 1 + x ^ 2 ) y _ 1 = 2 tan ^( - 1 ) x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( 1 + x^ 2 ) y _ 2 + 2 x y _ 1 = 2 * ( 1 )/ ( 1 + x ^ 2 ) ` ` rArr ( 1 + x ^ 2 ) ^ 2 y _ 2 + 2 x ( 1 + x ^ 2 ) y _ 1 = 2 ` |
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| 28. |
इन फलनों की द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये ` y = x ^ 3 + tan x ` |
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Answer» ` y = x ^ 3 + tan x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` ( dy ) /( dx ) = ( d )/( x ) ( x ^ 3 + tan x ) ` ` rArr ( dy ) /( dx ) = 3 x ^ 2 + sec ^ 2 x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर ` ( d ) /( dx ) ( (dy ) / ( dx ) ) = ( d ) /( dx ) ( 3x ^ 2 + sec ^ 2 x ) ` ` rArr ( d^ 2 y ) /( d x ^ 2 ) = 6x + 2sec x * sec x tan x ` ` rArr ( d ^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) = 6x + 2sec ^ 2 x * tan x ` |
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| 29. |
इन फलनों का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये - ` tan ^( - 1 ) x ` |
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Answer» Correct Answer - ` ( - 2x ) /( ( 1 + x^ 2 )^ 2 ) ` |
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| 30. |
इन फलनों का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये - ` e ^ x sin 5 x ` |
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Answer» Correct Answer - ` 2 e^ x ( 5cos 5 x - 12 sin 5x ) ` |
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| 31. |
इन फलनों की द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये ` y = e ^ ( 6x ) cos 3x ` |
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Answer» ` y = e^ (6x) cos 3x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` (dy ) /( dx ) = e ^ (6x ) ( - 3 sin 3x ) + 6 e ^ ( 6x ) cos 3 x ` ` rArr (dy ) /( dx ) = - 3 e ^ ( 6x ) sin 3x + 6e^ ( 6x ) cos 3x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) = - 3 [ e ^( 6x) * ( 3 cos 3x ) + sin 3x * 6 x ^( 6 x ) ] + 6 [ e ^( 6x ) ( - 3 sin 3x ) + 6 e^( 6x ) cos 3x ] ` `rArr ( d^2 y ) / ( dx ^ 2 ) = e ^ ( 6x) [ -9 cos 3x - 18 sin 3x - 18 sin 3x + 36 cos 3x] ` ` rArr ( d^ 2 y ) /( d x ^ 2 ) = e ^ ( 6x ) [ 27 cos 3x - 36 sin 3x ] ` |
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| 32. |
इन फलनों का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये - ` tan ^( - 1 ) x ` |
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Answer» Correct Answer - ` ( - 2x ) /( ( 1 + x^ 2 )^ 2 ) ` |
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| 33. |
इन फलनों का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये - ` log (sin x ) ` |
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Answer» Correct Answer - ` - cosec ^ 2 x ` |
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| 34. |
इन फलनों की द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये ` y = x ^ 3 log x ` |
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Answer» ` y = x^ 3 log x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` (dy ) /( dx ) = x ^ 3 * ( 1 ) /( x ) + 3x^ 2 * log x ` ` rArr ( dy ) /( dx ) = x ^ 2 + 3x ^ 2 log x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` (d^ 2 y )/ ( d x ^ 2 ) = 2x + 3 [ x ^ 2 * ( 1 ) / ( x ) + 2x * log x ] ` ` rArr ( d ^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) = 2 x + 3 x + 6x log x ` ` rArr ( d ^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) = 5x + 6 x log x ` |
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| 35. |
इन फलनों की द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये ` log ( log x ) ` |
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Answer» ` y = log ( log x ) ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` (dy ) /( dx ) = ( 1 ) /( log x ) * ( 1 ) /( x )= ( 1 ) /( log x ) ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( d ^2 y ) /( dx ^ 2 ) = ( 1 ) /( log x ) * ( - ( 1 ) / ( x ^ 2 )) + ( 1 )/( x ) * ( - ( 1 ) /( ( log x ) ^ 2 ) * ( 1 ) /( x ) ) ` ` rArr ( d^ 2 y ) / ( dx ^ 2 ) = - ( 1 ) /( x ^ 2 ) * [ ( 1 ) /( log x ) + ( 1 ) /( ( log x ) ^ 2 )] ` |
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| 36. |
इन फलनों की द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिये ` cos ^ 2 x + 3 ^ x ` |
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Answer» ` y = cos ^ 2 x + 3 ^ x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` (dy ) / ( dx ) = 2 cos x ( - sin x ) + 3 ^ x log 3 ` ` rArr ( d y ) /( dx ) = - 2 sin x cos x + 3 ^x log 3 ` ` rArr ( d y ) /( dx )= - sin 2x + 3^ x log 3 ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) = - 2 cos 2 x + 3 ^ x ( log 3 ) ^ 2 `. |
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| 37. |
यदि ` y = Acos ( log x ) + B sin ( log x ) ` हो , सिद्ध कीजिये कि ` x ^ 2 ( ( d ^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) ) + x ( dy ) / ( dx ) + y = 0 ` |
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Answer» ` y = Acos ( log x ) + B sin ( log x ) " " `...(1) दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` (dy ) /(dx ) = - A sin ( log x ) * ( 1 ) / ( x ) + B cos ( log x ) * ( 1 ) / ( x ) ` ` rArr x ( dy ) / ( dx ) = - A sin ( log x ) + B cos ( logx ) ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` x ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) + ( d y ) /( dx ) = - A cos ( log x ) * ( 1 ) / ( x ) - B sin ( log x ) * ( 1 ) / ( x ) ` `rArr x ^ 2 ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) + x (( d y ) /( dx) ) = - [ A cos ( log x ) + B sin ( log x ) ] ` ` rArr x ^ 2 ( d ^ 2 y ) / ( dx ^ 2 ) + x (( dy ) / ( dx ) ) = - y " " ` [समी. (1 ) से] ` rArr x ^ 2 ( d^2y ) /( dx^ 2 ) + x ( ( dy ) / ( dx ) ) + y = 0 ` |
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| 38. |
यदि ` y = x ^ x ` हो , तो सिद्ध कीजिये कि - ` ( d^2 y ) / ( dx ^ 2 ) - ( 1 ) /( y ) ( ( dy ) / ( dx )) ^ 2 - ( y ) /( x ) = 0 ` |
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Answer» ` y = x ^ x ` दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, ` logy = x log x ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, ` ( 1 ) /( y ) * ( dy ) / ( dx ) = x * ( 1 ) /( x ) + log x ` ` rArr ( 1 ) /( y ) ( dy ) / ( dx ) = 1 + log x ` ` rArr ( d y ) /( dx ) = y ( 1 + log x )" " `...(1) दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर, ` ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) = y xx ( 0 + ( 1 )/( x )) + ( dy ) / (dx ) ( 1 + log x ) ` ` rArr ( d ^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) = ( y ) /( x ) + ( 1 + log x ) ( dy ) /( dx ) " " `...(2) अब, ` ( d^ 2 y ) / ( dx ^ 2 ) - ( 1 ) /( y ) (( dy ) / ( dx ) ) ^ 2 - ( y ) / ( x ) ` ` = ( y ) / ( x ) + ( 1 + log x ) ( dy ) / ( dx ) - ( 1 ) /( y ) [ y ( 1 + log x ) ] ^ 2 - ( y ) / ( x ) ` [ समी. (1 ) और (2 ) से ] ` = ( y ) / (x ) + ( 1 + log x ) y ( 1 + log x ) - y ( 1 + log x ) ^ 2 - ( y ) / ( x ) ` ` = ( y ) / ( x ) + y ( 1 + logx ) ^2 - y ( 1 + log x ) ^ 2 - ( y ) / ( x ) ` ` = 0 ` . अतः ` ( d ^2 y ) / ( dx ^ 2 ) - ( 1 ) /( y ) ((dy ) /( dx) ) ^ 2 - ( y ) / ( x ) = 0 ` |
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| 39. |
निम्नलिखित फलनों के द्वितीय अवकलज ज्ञात करें | `y=x^(2)logx` |
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Answer» माना कि `y=x^(3)logx" "...(1)` `:. (dy)/(dx)=x^(3).(1)/(x)+3x^(2).logx=x^(2)+3x^(2)logx" "...(2)` पुन: x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर, हमें मिलता है, `(d^(2)y)/(dx^(2))=2x+3x^(2).(1)/(x)+6x.logx=5x+6xlogx` |
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