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1.

`x=0` पर `f(x)` की संतता की विवेचना करें यदि `f(x)={:(2x-1,xlt0),(2x+1,xge0):}`

Answer» `f(x)=2x+1,xge0`
`:.f(0)=2xx0+1=1`……………..1
R.H. Limit: इस स्थिति में `xlt0:.f(x)=2x+1`
`:.f(0+)=lim_(xto0^(+))f(x)=lim_(xto0^(+))(2x+1)=1`
L.H. Limit: इस स्थिति में `x lt0:.f(x)=2x-1`
`:.f(0-)=lim(_xto0^(-))f(x)=lim_(xto0^(-))(2x-1)=-1`………..2
इस प्रकार `f(0)=f(0+)!=f(0-)`
`:.f(x),x=0` पर संतत नहीं है।
Discussion
2.

फलन `f` के संतता की जांच करें जो निम्न प्रकार से परिभाषित है, `f(x)={(2x,यदिxlt0),(0,यदि0lexle1),(4x,यदिxgt1):}`

Answer» `f(x)` के संतता के लिए संदेहात्मक बिंदु केवल `x=0` तथा `x=1` है।
`x=0` पर संतता
दिया है `f(x)=0,` य‌दिह‌ `0lexle1 :.f(0)=0`
L.H. limit: इस स्थिति में
`:.lim_(xto0^(-))f(x)=lim_(xto0^(-))(2x)=2.0=0`
R.H. limit: इस स्थिति में `xgt0` (लेकिन 0 के बहुत निकट) `:.f(x)=0`
`:.lim_(xto0^(+))f(x)=lim+(xto0^(+))(0)=0`
चूंकि `lim_+(xto0^(-))f(x)=lim_(xto0^(+))f(x)=f(0)` अतः `f(x),x=0` पर संतत है।
`x=1` पर संतता
दिया है `f(x)=0` यदि `0lexle1:.f(1)=0`
L.H.limt: इस स्थिति में `xlt1 :.f(x)=0`
`:.lim_(xto1-0)f(x)=lim_(xto1-0)(0)=0`
R.H. limit: इस स्थिति में `xgt1 :.f(x)=4x`
`:.lim_(xto1+0)f(x)=lim_(xto1+0)(4x)=4xx1=4`
चूंकि `lim_(xto1+0)f(x)!=f(1)` अतः `f(x),x=1` पर संतत नहीं है।
इस प्रकार `f(x)` केवल `x=1` पर असंतत है और अन्य सभी बिंदुओं पर संतत है।
Discussion
3.

दिखाएं कि `g(x)=x-[x]` से परिभाषित फलन सभी पूर्णांकों पर असंतत है जहां `[x]` महत्तम पूर्णांक फलन है।

Answer» दिया है `g(x)=x-[x]`…………1
माना कि `r` कि पूर्णांक है।
अब `g(r)=r-[r]=r-r=0`.
L.H. limit: इस स्थिति में `xltr` (यहां `x,r` के बहुत निकट भी है) `:.[x]=r-1`
अब `lim_(xtor-0)g(x)=lim_(xtor-0)(x-[x])=r-(r-1)=1`
R.H. limit : इस स्थिति में `xgtr` ( यहां `x,r` के बहुत निकट भी है) `:.[x]=r`
`:.lim_(xtor+0)g(x)=lim_(xtor+0)(x-[x])=r-r=0`
चूंकि `lim_(xtor-0)g(x)!=lim_(xtor+0)g(x)`, इसलिए `g(x)` प्रत्येक पूर्णांक `r` के लिए `x=r,` पर असंतत हैं
Discussion
4.

यदि फलन `f(x)={(3ax+b,xgt1),(11,x=1),(5ax-2b,xlt1):}` `x=1` पर संतत है तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।

Answer» दिया हुआ फलन `f(x),x=1` पर संतत है
`:f(1-)=f(1+)=f(1)`………..1
अब `f(1-)=lim_(xto1-)f(x)=lim_(xto1-)(5ax-2b)=5a-2b`……2
साथ ही `f(1)=11`……………3
तथा `f(1+)=lim_(xto1+)f(x)=lim_(xto1+)(2ax+b)=3a+b`
2,3 तथा 4 से बराबर करने पर हमें मिलता है।
`5a-2b=11`………..4
तथा `3a+b=11`……………5
4 तथा 5 को हल करने पर हमें मिलता है `a=3,b=2`………..6
Discussion