InterviewSolution
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| 1. |
निम्नांकित वक्रों पर उनके सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिये - (iv) वक्र `x^(3)-y^(3)=35` के बिन्दु (2, -3) पर |
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Answer» Correct Answer - `9x+4y=6` `y=e^(x)implies(dy)/(dx)=e^(x)," "(0, 1)" पर "(dy)/(dx)=e^(0)=1` `:.` अभिलम्ब का समीकरण `y=y_(1)=(-1)/(dy//dx)(x-x_(1))` `implies" "y-1=-1(x-0)impliesx+y=1` |
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| 2. |
निम्नांकित वक्रों पर उनके सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिये - (iii) वक्र `x^(2)+y^(2)=19` के बिन्दु `(3, sqrt(7))` पर |
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Answer» Correct Answer - `sqrt(7)x-3y=0` `y=e^(x)implies(dy)/(dx)=e^(x)," "(0, 1)" पर "(dy)/(dx)=e^(0)=1` `:.` अभिलम्ब का समीकरण `y=y_(1)=(-1)/(dy//dx)(x-x_(1))` `implies" "y-1=-1(x-0)impliesx+y=1` |
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| 3. |
निम्नांकित वक्रों पर उनके सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिये - (ii) वक्र `y^(2)=4ax` के बिन्दु `(at^(2),2at)` पर |
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Answer» Correct Answer - `tx+y=2at+at^(3)` `y=e^(x)implies(dy)/(dx)=e^(x)," "(0, 1)" पर "(dy)/(dx)=e^(0)=1` `:.` अभिलम्ब का समीकरण `y=y_(1)=(-1)/(dy//dx)(x-x_(1))` `implies" "y-1=-1(x-0)impliesx+y=1` |
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| 4. |
सिद्ध कीजिए कि परवलय `y^(2)=4ax` पर स्थित बिन्दु `((a)/(m^(2)),(2a)/(m))` पर खींची गई स्पर्शी का समीकरण `y=mx+(a)/(m)` हैं | |
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Answer» `y^(2)=4ax" "implies" "(dy)/(dx)=(2a)/(y)` अब, `" "(dy)/(dx)""_(((a)/(m^(2)),(2a)/(m))_("पर"))=m` `:.` स्पर्श-रेखा का अभीष्ट समीकरण `y-(2a)/(m)=m(x-(a)/(m^(2)))` `implies" "y=mx-(a)/(m)+(2a)/(m)` `implies" "y=mx+(a)/(m)` |
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| 5. |
निम्नांकित वक्रों पर उनके सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिये - (i) वक्र `y=e^(x)` के बिन्दु x = 0 पर |
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Answer» Correct Answer - `x+y=1` `y=e^(x)implies(dy)/(dx)=e^(x)," "(0, 1)" पर "(dy)/(dx)=e^(0)=1` `:.` अभिलम्ब का समीकरण `y=y_(1)=(-1)/(dy//dx)(x-x_(1))` `implies" "y-1=-1(x-0)impliesx+y=1` |
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| 6. |
सिद्ध कीजिये कि वक्र `x^(2)-y^(2)=16" तथा "xy=15`, एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं | |
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Answer» `x^(2)-y^(2)=16implies(dy)/(dx)=(x)/(y)=m_(1)" तथा "xy=15implies(dy)/(dx)=-(y)/(x)=m_(2)` अब `m_(1)m_(2)=(x)/(y)(-(y)/(x))=-1` |
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| 7. |
सिद्ध कीजिये कि वक्र `x^(2)+y^(2)+x+2y=0` तथा `xy+2x-y=0`, मूल बिन्दु पर एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं | |
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Answer» `x^(2)+y^(2)+x+2y=0` `implies" "(dy)/(dx)=-((2x+1))/((2y+2))=-(1)/(2)," "(0,0)" पर "` तथा `xy+2x-y=0` `implies" "(dy)/(dx)=(-(y+2))/(x-1)=(-2)/(-1)," "(0,0)" पर "` अब, `" "m_(1)m_(2)=-(1)/(2)xx2=-1` |
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| 8. |
सिद्ध कीजिये कि वक्र `y=6+x-x^(2)" तथा "y(x-1)=x+2`, बिन्दु (2, 4) से गुजरते हैं, तथा उस बिन्दु पर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है | इस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये | |
| Answer» Correct Answer - `y+3x=10` | |
| 9. |
निम्नांकित वक्रों के प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिये - (ii) `x^(2)=4y" तथा "x=2y^(2)` |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)(3//5)` | |
| 10. |
निम्नांकित वक्रों के प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिये - (iii) `y=x^(2)" तथा "y=x^(3)` |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)((1)/(7))` | |
| 11. |
निम्नांकित वक्रों के प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिये - (v) `x^(2)=4ay" तथा "2y^(2)=ax` |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)(3//5)` | |
| 12. |
निम्नांकित वक्रों के प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिये - (iv) `2y^(2)=x^(3)" तथा "y^(2)=32x` |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)((1)/(2))` | |
| 13. |
निम्नलिखित वक्रों पर उनके सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर स्पर्शी के समीकरण लिखिये- (iii) वक्र `y^(2)(x-1)=4x^(2)`, बिन्दु (5, 5) पर |
| Answer» Correct Answer - `8y-3x=25` | |
| 14. |
निम्नलिखित वक्रों पर उनके सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर स्पर्शी के समीकरण लिखिये- (iv) वक्र `2y=3-x^(2)`, के बिन्दु (1, 1) पर |
| Answer» Correct Answer - `x+y=2` | |
| 15. |
निम्नलिखित वक्रों पर उनके सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर स्पर्शी के समीकरण लिखिये- (v) वक्र `5x^(2)+5y^(2)-11x-9y-12=0`, बिन्दु (1, 3) पर |
| Answer» Correct Answer - `21y=x+62` | |
| 16. |
वक्र `y=x^(3)-3x` के बिन्दु (2, 3) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिये | |
| Answer» Correct Answer - `x+9y=29` | |
| 17. |
वक्र `y=sqrt(5x-3)-2`, पर उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा `4x-2y+3=0` के समान्तर हैं | |
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Answer» दिया गया वक्र `y=sqrt(5x-3)-2` जो रेखा `4x-2y+3=0` अर्थात `y=2x+(3)/(2)` के समानान्तर है | यहाँ रेखा का ढाल = 2 तथा स्पर्श रेखा का ढाल = 2 माना वक्र पर बिन्दु `x_(1)` व `y_(1)` हैं | अब माना `y=sqrt(5x-3)-2` x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=(5)/(2.sqrt(5x-3))` बिन्दु `(x_(1),y_(1))` पर `((dy)/(dx))` `((dy)/(dx))_((x_(1)","y_(1)))=(5)/(2sqrt(5x_(1)-3))` `implies" "(5)/(2.sqrt(5x_(1)-3))=2` दोनों ओर का वर्ग करने पर `implies" "(25)/(4(5x_(1)-3))=4impliesx_(1)=(73)/(80)` अब `y_(1)=sqrt(5x_(1)-3)-2=sqrt((5xx(73)/(80)-3))-2=-(3)/(4)` अत: बिन्दु `((73)/(80),-(3)/(4))` पर स्पर्श रेखा का समीकरण `((y+(3)/(4)))/((x-(73)/(80)))=2` `implies" "80x-40y-103=0` जो स्पर्श रेखा का अभीष्ट समीकरण है | |
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| 18. |
वक्र `sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a)` पर स्थित वें बिन्दु ज्ञात कीजिये जिन पर खिंचा गया अभिलम्ब x-अक्ष के समानान्तर है | |
| Answer» Correct Answer - `(0, a)` | |
| 19. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)+6x-8y+5=0` पर खींची गई उन स्पर्शियों के समीकरण ज्ञात कीजिये जो सरल रेखा `x+2y-3=0` के समानान्तर है | |
| Answer» Correct Answer - `x+2y=15" तथा "x+2y+5=0` | |
| 20. |
वह कोण ज्ञात कीजिए जिस पर वक्र `y=2x-x^(2)` की स्पर्श रेखा x-अक्ष को काटती है | |
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Answer» वक्र का समीकरण `" "y=2x-x^(2)" "…(1)` ` because` वक्र x-अक्ष को काटता है, इसलिए समीकरण (1) में y = 0 रखने पर `0=2x-x^(2)` `implies" "x(2-x)=0impliesx=0,2` इसलिए वक्र और x-अक्ष के प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) और (2, 0) हैं | समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=2-2x` माना बिन्दु (0, 0) पर वक्र की स्पर्शी का x-अक्ष से झुकाव `theta_(1)` है, तब `tan theta_(1)=((dy)/(dx))_((0","0))=2-2xx0=0` `implies" "theta_(1)=tan^(-1)2` पुन: माना बिन्दु (2, 0) पर वक्र की स्पर्शी का x-अक्ष से झुकाव `theta_(2)` है | तब `tan theta_(2)=((dy)/(dx))_((2","0))=2-2xx2=-2` `:." theta_(2)= tan^(-1)(-2)` अत: वक्र x-अक्ष को `tan^(-1)2` और `tan^(-1)(-2)` कोणों पर काटता है | |
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| 21. |
वक्र `y=x^(2)+7x+1` पर वें बिन्दु ज्ञात कीजिये जिन पर प्रवणता 0, 1 तथा 7 हैं | |
| Answer» Correct Answer - `(-(7)/(2),-(45)/(4)),(-3,-11)" तथा "(0,1)` | |
| 22. |
वक्र `x=a(tetha +sin theta),y=a(1-cos theta)` के बिन्दु `theta=(pi)/(2)` पर स्पर्शी का समीकरण ज्ञात कीजिये | |
| Answer» Correct Answer - `y-a=x-a(1+pi//2)` | |
| 23. |
बिन्दु (1, 1) से वक्र `f(x)=x^(2)+bx-b` पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं तथा अक्षों के बिच प्रथम चतुर्थांश में बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 2 मात्रक है, तो b का मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिया है : `" "y=f(x)=x^(2)=x^(2)+bx-b` x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=2x+b` `((dy)/(dx))_((1","1)" पर")=2+b` बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण `y-1=(2+b)(x-1)` अक्षों पर y = 0 व x = 0 से अन्त : खण्ड `A=1-(1)/(2+b)=(b+1)/(b+2)` `B=1-(2+b)=-(b+1)` हम जानते हैं कि `Delta` का क्षेत्रफल `=(1)/(2) AB=2" "("दिया है")` `:." "AB=4` `implies" "-(b+1)(b+1)=4(b+2)` `implies" "b^(2)+6b+9=0` `implies" "(b+3)^(2)=0impliesb=-3` |
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| 24. |
निम्नलिखित वक्रों के सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्शियों की प्रवणतायें ज्ञात कीजिये - (i) वक्र `y^(2)=16x` के बिन्दु (2, 3) पर |
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Answer» Correct Answer - `(8)/(3)` (i) `y^(2)=16x" "implies" "2y(dy)/(dx)=16" "implies" "(dy)/(dx)=(8)/(y)` अब, `(dy)/(dx)(2,3)" पर "=(8)/(3)` |
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| 25. |
वक्र `x^(2//3)+y^(2//3)=2` के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्शी व अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिये | |
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Answer» Correct Answer - `y+x-2=0, y-x=0` `x^(2//3)+y^(2//3)=2" "implies" "(dy)/(dx)=-(y^(1//3))/(x^(1//3))` बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा की ढाल = -1 तथा अभिलम्ब की ढाल = 1 `:.` स्पर्श रेखा का समीकरण `y+x-2=0` है | तथा अभिलम्ब का समीकरण `y-1=1(x-1)` `implies" "y-x=0` |
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| 26. |
सिद्ध कीजिए कि वक्रों `x=3 cos t-cos^(3) t` तथा `y=3 sin t-sin^(3) t` के बिन्दु t पर अभिलम्ब का समीकरण `4(y cos^(3) t-x sin^(3) t)=3 sin 4t` हैं | |
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Answer» दिये गये वक्रों के समीकरण `x=3 cos t-cos^(3)t` तथा `" "y=3 sin t-sin^(3) t` अब, t के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dx)/(dt)=3(d)/(dt)(cos t)-(d)/(dt)(cos^(3) t)` तथा `" "(dy)/(dt)=3(d)/(dt)(sin t)-(d)/(dt)(sin^(3) t)` `implies" "(dx)/(dt)=3xx(-sin t)-3 cos^(2)t(d)/(dt)(cos t)` तथा `" "(dy)/(dt)=3xx(cos t)-3 sin^(2)t(d)/(dt)(sin t)` `implies" "(dx)/(dt)=-3sint-3cos^(2)txx(-sint)` तथा `" "(dy)/(dt)=3cost-3sin^(2)txx(cost)` `implies" "(dx)/(dt)=-3sintxxsin^(2)t` तथा `" "(dy)/(dt)=3cost(1-sin^(2)t)` `implies" "(dx)/(dt)=-3 sintxxsin^(2)t` तथा `" "(dy)/(dt)=3 costxxcos^(2)t` `implies" "(dx)/(dt)=-3sin^(3)t" तथा"(dy)/(dt)=3cos^(3)t` अब, `" "(dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)=(3cos^(3)t)/(-3sin^(3)t)=-cot^(3)t` `:.` अभिलम्ब का समीकरण `y-(3sint-sin^(3)t)=(1)/(-cot^(3)t)[x-(3cost-cos^(3)t)]` `[becausey-y_(1)=-(1)/(dy//dx)(x-x_(1))]` `(y-3sint+sin^(3)t)=(sin^(3)t)/(cos^(3)t)(x-3cost+cos^(3)t)` `implies" "ycos^(3)t-3sintcos^(3)t+sin^(3)tcos^(3)t` `=xsin^(3)t-3sin^(3)tcost+sin^(3)tcos^(3)t` `implies" "ycos^(3)t-xsin^(3)t=3sintcos^(3)t-3sin^(3)t cos t` `implies" "ycos^(3)t-xsin^(3)t=3sint cost(cos^(2)t-sin^(2)t)` `=3 sint cost(cos2t)xx(2)/(2)" "[becausecos^(2)t-sin^(2)t=cos2t]` `=(3)/(2)sin2txxcos2t" "[because2sintcost=sin2t]` `=(3)/(2)sin2txxcos2txx(2)/(2)` `=(3)/(4)sin4t" "[because2sin2tcos2t=sin4t]` `:.4(ycos^(3)t-xsin^(3)t)=3sin4t` |
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| 27. |
बिन्दु `(a cos theta, b sin theta)` पर दीर्घवृत्त `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` के अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिये | |
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Answer» दिया है : `" "(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(2x)/(a^(2))+(2y)/(b^(2)).(dy)/(dx)=0` `implies" "(dy)/(dx)=-(x)/(y).(b^(2))/(a^(2))` `implies" "((dy)/(dx))_((a cos theta, b sin theta)" पर")=(-acos theta.b^(2))/(b sin theta. a^(2))` `=(-b cos theta)/(a sin theta)` `:.` बिन्दु `(a cos theta,b sin theta)` पर, अभिलम्ब का समीकरण `y-b sin theta=(a sin theta)/(b cos theta)(x-a cos theta)` `implies" "by cos theta-b^(2)sin theta cos theta=ax sin theta-a^(2) sin theta cos theta` `implies" "by cos theta-ax sin theta=(b^(2)-a^(2))sin theta cos theta` `implies" "(ax)/(cos theta)-(by)/(sin theta)=a^(2)-b^(2)` |
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| 28. |
वक्र `y(x-2)(x-3)-x+7=0` से उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ वक्र x-अक्ष को काटता है | |
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Answer» दिया गया वक्र `y(x-2)(x-3)-x+7=0" "…(1)` अब, दिया गया है कि वक्र x-अक्ष को काटता है, तब y = 0 `:.` समीकरण (1) से, x = 7 अत: बिन्दु 7 तथा 0 हैं `implies" (7, 0)` अब, `y(x-2)(x-3)-x+7=0` `y(x^(2)-5x+6)-x+7=0` x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(x^(2)-5x+6)(dy)/(dx)+y(2x-5)-1=0` `(dy)/(dx)=(1+5y-2xy)/(x^(2)-5x+6)` अब `((dy)/(dx))` बिन्दु (0, 7) पर, `((dy)/(dx))_((7","0))=((1+5xx0-2xx7xx0)/(49-35+6))=(1)/(20)` अब, बिन्दु (7, 0) पर स्पर्श रेखा का समीकरण `(y-0)/(x-7)=(1)/(20)impliesx-20y-7=0` तथा बिन्दु (7, 0) पर अभिलम्ब का समीकरण `(y-0)/(x-7)=-20` `implies" "20x+y-140=0` |
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| 29. |
वक्र `y=x^(2)-2x+7` से स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए | जो (i) रेखा `2x-y+9=0` के समानान्तर है | (ii) रेखा `5y-15x=13` के लम्बवत है | |
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Answer» दिया है - `y=x^(2)-2x+7" "…(1)` `implies" "(dy)/(dx)=2x-2" "…(2)` (i) यदि स्पर्श रेखा `2x-y+9=0` रेखा के समानान्तर है तब इसकी ढाल = 2 अब समीकरण (2) से, `2x-2=2" "implies" "x=2` व समीकरण (1) से, `y=2^(2)-2xx2+7=7` इसलिए समीकरण (1) से बिन्दु (2, 7) पर स्पर्श रेखा जिसकी ढाल = 2 `y-7=2(x-2)` `implies" "2x-y+3=0` (ii) यदि स्पर्श रेखा, रेखा के लम्बवत है | `5y-15x=3` इसकी ढाल `=(15)/(5)=3` समीकरण (2) से, `(2x-2)xx3=-1` `implies" "2x-2=-(1)/(3)impliesx=(5)/(6)` समीकरण (1) से, `y=((5)/(6))^(2)-2xx(5)/(6)+7=(217)/(36)` अत: समीकरण (1) से बिन्दु `((5)/(6),(217)/(36))` पर स्पर्श रेखा जिसकी ढाल 2 है | `y-(217)/(36)=-(1)/(3)(x-(5)/(6))` `implies" "36y-217=-12x+10` `implies" "12x+36y=227` |
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| 30. |
वक्र `(x^(2))/(9)+(y^(2))/(4)=1` की बिन्दु P(0, 2) पर स्पर्शी का समीकरण ज्ञात कीजिये | |
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Answer» दिया है : `(x^(2))/(9)+(y^(2))/(4)=1implies4x^(2)+9y^(2)=36` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `8x+18y(dy)/(dx)=0` `implies" "(dy)/(dx)=-(4)/(9).(x)/(y)` `implies" "((dy)/(dx))_((0, 2)" पर")=-(4)/(9)xx(0)/(2)=0` `:.` स्पर्शी का समीकरण `y-2=0(x-0)` `implies" "y=2` |
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| 31. |
वक्र `y=x^(3)+2x-4` के उस स्पर्शी का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा `x+14y-3=0` पर लम्बवत है | |
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Answer» दिये गये वक्र का समीकरण `y=x^(3)+2x-4` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=3x^(2)+2` `:.` माना अभीष्ट स्पर्शी की प्रवणता `m_(1)` है, तब `(dy)/(dx)=3x^(2)+2` अब, रेखा की प्रवणता `x+14y-3=0` या `" "y=-(x)/(14)+(3)/(14),m_(2)=-(1)/(14)` यहाँ, अभीष्ट स्पर्शी, रेखा `x+14y-3=0` पर लम्बवत है | `:." "m_(1)m_(2)=-1` `implies" "(3x^(2)+2)xx(-(1)/(14))=-1` `implies" "3x^(2)+2=14` `implies" "3x^(2)=12impliesx^(2)=4` `implies" "x=+-2` अब x = 2, तब `y=2^(3)+2xx2-4implies8+4-4=8` जब x = -2, तब `y=(-2)^(3)+2xx(-2)-4=-8-4-4=-16` इसलिए स्पर्श बिन्दु (2, 8) तथा (-2, -16) हैं | अब बिन्दु (2, 8) पर स्पर्शी का समीकरण `y-8=((dy)/(dx))_((2","8))(x-2)` `implies" "y-8=(3xx2^(2)+2)(x-2)` `implies" "y-8=14(x-2)` `implies" "y=14x-20` तथा बिन्दु (-2, -16) पर स्पर्शी का समीकरण `y+16=(dy)/(dx)""_((-2","-16))(x+2)` `implies" "y+16=[3(-2)^(2)+2](x+2)` `implies" "y+16=14(x+2)` `implies" "y=14x+12` अत: स्पर्शी के अभीष्ट समीकरण `y=14x-20` तथा `y=14x+12` हैं | |
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| 32. |
वक्र `(x^(2))/(36)-(y^(2))/(25)=1` के ऐसे स्पर्शी का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सरल रेखा `y=xsqrt(3)+2` के समानान्तर है | |
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Answer» दिया है : `(x^(2))/(36)-(y^(2))/(25)=1` `implies" "25x^(2)-36y^(2)=900" "…(1)` समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `50x-72y(dy)/(dx)=0` `implies" "(dy)/(dx)=(50)/(72)(x)/(y)=(25)/(36)(x)/(y)` प्रश्नानुसार, स्पर्शी, सरल रेखा `y=xsqrt(3)+2` के समानान्तर है | इसलिए `" "(25x)/(36y)=sqrt(3)" "...(2)` समीकरण (1) व (2) को हल करने पर, `x=(36sqrt(3))/(sqrt(83)),y=(25)/(sqrt(83))` `:.` स्पर्शी का समीकरण `y-(25)/(sqrt(83))=sqrt(3)(x-(36sqrt(3))/(sqrt(83)))` `implies" "y=sqrt(3)x+(1)/(sqrt(83))(25-108)` `implies" "y=sqrt(3)x+((-83)/(sqrt(83)))` `implies" "y=sqrt(3)x-sqrt(83)` |
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| 33. |
`t=(pi)/(4)` के लिए वक्र `x=sin 3t, y=cos 2t` से स्पर्श रेखा व अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» यहाँ, दिये गये वक्र `x=sin 3t` व `y=cos 2t` अब, दोनों समीकरणों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(dx)/(dt)=3 cos 3t` व `(dy)/(dt)=-2 sin 2t` `implies" "(dy)/(dx)=((dy)/(dt)xx(dt)/(dx))=-(2sin 2t)/(3 cos 3t)` अब बिन्दु `t=(pi)/(4)` पर `((dy)/(dx))` `((dy)/(dx))_(t=pi//4)=(-2sin(2xx(pi)/(4)))/(3cos(3xx(pi)/(4)))=(-2sin((pi)/(2)))/(-3cos((pi)/(4)))=(2sqrt(2))/(3)` यदि `x=pi//4` तब x व y का मान `x=sin""(3pi)/(4)=sin(pi-(pi)/(4))=sin""(pi)/(4)=(1)/(sqrt(2))` तथा `" "y=cos""(2pi)/(4)=cos""(pi)/(2)=0` यहाँ, बिन्दु हैं `(1)/(sqrt(2))` व `0" "implies((1)/(sqrt(2)),0)` अत: स्पर्श रेखा का समीकरण `(y-0)/(x-(1)/(sqrt(2)))=(2sqrt(2))/(3)` `3sqrt(2)y=4x-2sqrt(2)` `2sqrt(2)x+4y-3=0` अब अभिलम्ब का समीकरण `(y-0)/(x-(1)/(sqrt(2))=-(3)/(2sqrt(2))` `implies" "4y=-3sqrt(2)x+3` `implies" "3sqrt(2)x+4y-3=0` |
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| 34. |
सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो वक्र `x=3t^(2),y=2t^(3)` के एक बिन्दु पर स्पर्श रेखा है तथा दूसरे बिन्दु पर अभिलम्ब है | |
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Answer» माना वह सरल रेखा बिन्दु `A(3t^(2),2t^(3))` पर स्पर्श रेखा तथा बिन्दु `B(3t_(1)^(2),2t_(1)^(3))` पर अभिलम्ब है | `:. ` A पर स्पर्श रेखा का झुकाव `=(dy)/(dt)//(dx)/(dt)=t` इसका समीकरण `y-2t^(3)=t(x-3t^(2))` `implies" "y=tx-t^(3)" "...(1)` अब, बिन्दु B पर अभिलम्ब का झकाव `=-(1)/(t_(1))` प्रश्नानुसार, ये समान रेखा को निरूपित करती है, तब `t=-(1)/(t_(1))impliestt_(1)=-1` अब, बिन्दु A पर स्पर्श रेखा `tx-y-t^(3)=0` `because` यह बिन्दु B से गुजरती है `:." "t.3t_(1)^(2)-2t_(1)^(3)-t^(3)=0` `implies" "3t_(1)^(2)(t-t_(1))-(t^(3)-t_(1)^(3))=0` `" "[t_(1)^(3)" जोड़ने व घटाने पर"]` `implies" "3t_(1)^(2)(t-t_(1))-(t-t_(1))(t^(2)+tt_(1)+t_(1)^(2))=0` `implies" "(t-t_(1))(3t_(1)^(2)-t^(2)-tt_(1)-t_(1)^(2))=0` `implies" "(t-t_(1))(2t_(1)^(2)-tt_(1)-t^(2))=0` `implies" "(t-t_(1))(t_(1)-t)(2t_(1)+t)=0` `implies" "t=-2t_(1)=-2xx(-1)/(t)` `implies" "t^(2)=2impliest=+-sqrt(2)` समीकरण (1) में t का मान रखने पर, सरल रेखा का समीकरण `y=+-sqrt(2)(x-2)` |
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| 35. |
निम्न वक्रों पर स्पर्शी के समीकरण ज्ञात कीजिये - (i) `x=cos theta,y=sin theta, theta=(pi)/(4)` पर (ii) `xy=4" बिन्दु "(1,4)" पर "` |
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Answer» (i) दिया है : `x=cos theta, y=sin theta` `theta=(pi)/(4)," पर "x=cos(pi)/(4)=(1)/(sqrt(2))` तथा `y=sin""(pi)/(4)=(1)/(sqrt(2))` `:." "(x,y)=((1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2)))` अब `" "(dx)/(d theta)=-sin theta" तथा "(dy)/(d theta)=cos theta` `implies" "(dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx//d theta)=(cos theta)/(-sin theta)=-cot theta` `:." "((dy)/(dx))_(theta=(pi)/(4)("पर"))=-cot""(pi)/(4)=-1` `implies ` स्पर्शी का समीकरण `y-(1)/(sqrt(2))=-1(x-(1)/(sqrt(2)))` `implies" "y-(1)/(sqrt(2))=-x+(1)/(sqrt(2))` `implies" "y+x=(2)/(sqrt(2))` `implies" "x+y=sqrt(2)` (ii) दिया है : `xy=4` `implies" "x(dy)/(dx)+y=0` `implies" "(dy)/(dx)=-(y)/(x)` `:." "((dy)/(dx))_((1","4)" पर")=-(4)/(1)=-4` `:. ` स्पर्शी का समीकरण `y-4=-4(x-1)` `implies" "y+4x=8` |
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| 36. |
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जिसकी प्रवणता 2 हो एवं वक्र `y=(2)/(x-3)` की स्पर्शी हो | |
| Answer» Correct Answer - `y-2x+10=0" और "2x-y-2=0` | |
| 37. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)=25` पर वो बिन्दु ज्ञात कीजिये जहाँ स्पर्शी, रेखा `4x-3y=0` के समानान्तर है | |
| Answer» Correct Answer - `(4, -3), (-4, 3)` | |
| 38. |
`t=(pi)/(4)` पर वक्र `x=sin 3t, y=cos 2t` की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - `4x-3sqrt(2).y-2sqrt(2)=0` | |
| 39. |
वक्र `x=a(cos theta+theta sin theta), y=a(sin theta-theta cos theta)` के किसी बिन्दु `theta` पर अभिलम्ब इस प्रकार हैं कि-A. यह x-अक्ष के साथ अचर कोण बनाता है |B. यह मूलबिन्दु से होकर जाता है |C. यह मूलबिन्दु से अचर दूरी पर है |D. उपरोक्त में से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 40. |
निम्न वक्रों के अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिये- `y^(3)+x=4`, बिन्दु (3, 1) पर |
| Answer» Correct Answer - `y=3x-8` | |
| 41. |
निम्न वक्रों के अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिये- `y=x+(2)/(x)`, बिन्दु (2, 3) पर |
| Answer» Correct Answer - `2x+y=7` | |
| 42. |
निम्न वक्रों के स्पर्शी का समीकरण ज्ञात कीजिये - (ii) `y=e^(x)`, बिन्दु (0, 1) पर |
| Answer» Correct Answer - `x-y+1=0` | |
| 43. |
निम्नलिखित वक्रों के सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्शियों द्वारा x-अक्ष से बने कोण का परमाणु ज्ञात कीजिये- (iv) वक्र `(x^(2))/(16)+(y^(2))/(12)=1` के बिन्दु (6, 4) पर, |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)((-9)/(8))` | |
| 44. |
निम्नलिखित वक्रों के सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्शियों द्वारा x-अक्ष से बने कोण का परमाणु ज्ञात कीजिये- (v) वक्र `(x^(2))/(8)-(y^(2))/(5)=1` के बिन्दु (3, -1) पर |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)((-15)/(8))` | |
| 45. |
किन बिन्दुओं पर वक्र `y=2x^(2)-6x-4` की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानान्तर है ? |
| Answer» Correct Answer - `((3)/(2),-(17)/(2))` | |
| 46. |
वक्र `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` पर स्थित बिन्दु `(x_(1),y_(1))` पर खींची गई स्पर्शी का समीकरण ज्ञात कीजिये | |
| Answer» Correct Answer - `(xx_(1))/(a^(2))+(yy_(1))/(b^(2))=1` | |
| 47. |
यदि वक्र `y^(2)=px^(3)+q` के बिन्दु (2, 3) पर स्पर्श रेखा `y=4x-5` हो तो -A. `p=2, q=-7`B. `p=-2, q=7`C. `p=-2, q=-7`D. `p=2, q=7` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 48. |
वक्र पर P(x, y) से खिंचा गया अभिलम्ब, `C_(1)` पर x-अक्ष पर मिलता है| यदि मूलबिन्दु से `C_(1)` की दूरी P के भुज की दो गुनी है, तो वक्र है -A. दीर्घवृत्तB. परवलयC. वृत्तD. अतिपरवलय |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 49. |
वक्र `y=(x-1)/(x-2),xne2` के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - `-(1)/(64)` | |
| 50. |
निम्नलिखित वक्रों के सम्मुख अंकित बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्शियों की प्रवणतायें ज्ञात कीजिये - (v) वक्र `(x^(2))/(6)-(y^(2))/(3)=1` के बिन्दु (5, 7) पर |
| Answer» Correct Answer - `(5)/(14)` | |