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1.

दर्शाइए की `[0, oo)` पर `f(x)=x^(2)` प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है।

Answer» माना `x_(1),x_(2) in [ 0,oo)` इस पक्रार है की `x_(1) lt x_(2)` तब
`x_(1) lt x_(2)`
`rArrx_(1)^(2) lt x_(1) x_(2) " "...(1)`
[ दोनों पक्षों को `x_(1)` से गुणा करने पर]
पुनः `x_(1) lt x_(2)`
`rArr x_(1)x_(2) lt x_(2)^(2)" "..(2)`
[ दोनों पक्षों को `x_(2)` से गुणा करने पर]
समी (1) और (2) समी से
`x_(1) lt x_(2)`
`rArr x_(1)^(2) lt x_(2)^(2)`
`rArr f(x_(1)) lt f(x_(2))`
अतः `f(x),[0,oo]` पर एक नितन्तर वर्धमान फलन है।
Discussion
2.

सिद्ध कीजिए की `f(x)=e^(2x),R` पर एक निरंतर वर्धमान फलन है ।

Answer» माना `2x_(1), 2x_(2) x_(2) in R` इस पक्रार है की `2x_(1) lt 2x_(2)`, तब
`2x_(1)= lt 2x_(2)`
`rArr e^(2x_(1)) lt e^(2x_(2))`
`[ :. e gt 1` और `2x_(1) lt 2x_(2) rArr 2^(2x_(1)) lt 2^(2x_(2)]`
`rArr f(x_(1)) lt f(x_(2))`
अतः `f(x),R` पर एक नितन्तर वर्धमान फलन है।
Discussion
3.

सिद्ध कीजिए की `f(x)=7x-3` पर एक निरंतर वर्धमान फलन है ।

Answer» माना `x_(3), x_(2) in r` इस पक्रार है की `x_(1) lt x_(2)` तब ltbgt `x_(1 ) gt x_(2)`
`rArr 7x_(1) lt 7x_(2)`
`rArr 7x_(1)-3 lt 7 x_(2)-3`
अतः `f(x),R` पर एक निरंतर फलन है।
Discussion
4.

सिद्ध कीजिये की `[0, (pi)/(2)]` में `y=(4 sin theta)/(2+ cos theta)- theta, theta` का एक वर्धमान फलन फलन है|

Answer» `y=(4 sin theta)/(2+ cos theta)- theta`
`rArr (dy)/(d theta)=((2+ cos theta)(A cos theta)-(4 sin theta)(-sin theta))/((2+ cos theta)^(2))`
`rArr (dy)/(d theta)=( 8 cos theta+ 4 cos^(2) theta+4 sin^(2) theta)/((2+ cos theta)^(2))-1`
`rArr (dy)/(d theta)=(8 cos theta+4)/((2+ cos theta)^(2))-1`
`rArr (dy)/(d theta)=(8 cos theta+4-(2+ cos theta)^(2))/((2+cos theta)^(2))`
`rArr (dy)/(d theta)=( 8 cos theta+4-4 cos^(2) theta-4cos theta)/((2+ cos theta)^(2))`
` rArr (dy)/(d theta) (cos theta (4- cos theta))/((2+ cos theta)^(2)) " "....(1)`
अब, `cos theta ge 0 AA theta in [ 0, (pi)/(2)]`
और `(2+ cos theta)^(2) ge 0 AA theta in [0, (pi)/(2)]`
सभी `theta in [ 0, (pi)/(2)]` के लिए,
हम जानते है की `0 le cos theta le 1`
`:. 4-cos theta gt 0` सभी ` theta in [ 0, (pi)/(2)]` के लिए
`:. (cos theta(4- cos theta))/((2+cos theta)^(2)) le 0 AA in [ 0, (pi)/(2)]`
`rArr (dy)/(d theta) le 0 AA theta in [ 0, (pi)/(2)]`
`rArr y` अंतराल `[0, (pi)/(2)]` पर वर्धमान फलन है ।
Discussion