InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
यदि (If) `A= [(3,1),(7,-5)]` x तथा y निकाले ताकि `A^(2) + xI = yA "इससे " A^(-1)` निकाले । |
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Answer» `A[(3,1),(7,5)]rArr A^(2) = [(3,1),(7,5)][(3,1),(7,5)]= [(16,8),(56,32)]` अब ` A^(2) + I = yA " "`…(I) `rArr [(16,8),(56,32)] + x [(1,0),(0,1)]=y[(3,1),(7,5)]` ` rArr [(16+x,8),(56 , 32 + x)]= y [(3,1),(7,5)] = [(3y,y),(7y,5y)]` ` therefore 16 + x = 3y, 8 = y` ` 56 = 7y, 32 + x = 5y` इन समीकरणों को हल करने पर हमे मिलता है , ` y = 8, x= 8 ` क्योकि ` |A| = 15 - 7 = 8 ne 0 rArr A^(-1) ` का अस्तित्व है । (1) के दोनों पक्षों को `A^(-1)` से गुणा करने पर , ` (A^(2) + xI ) A^(-1) = yAA^(-1) ` ` rArr A + 8A^(-1) = 8 I " "[because x = y = 8 "तथा " AA^(-1) = I]` `8A^(-1) = 8I - A = 8 [(1,0),(0,1)]-[(3,1),(7,5)]= [(5,-1),(-7,3)]` ` therefore A^(-1) = (1)/(8) [(5,-1),(-7,3)]` . |
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| 2. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]` |
| Answer» `1/4[(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3)]` | |
| 3. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(1,2,3),(-3,5,0),(0,1,1)]` |
| Answer» `1/2[(5,1,-15),(3,1,-9),(-3,-1,11)]` | |
| 4. |
आव्यूहों का सहखंडज निकाले : `[(1,2,3),(2,3,2),(3,3,4)]` |
| Answer» `[(6,1,-5),(-2,-5,4),(-3,3,1)]` | |
| 5. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(-1,1,2),(3,-1,1),(-1,3,4)]` |
| Answer» `(1)/(3) [(-1,5,3),(-4,23,12),(1,-11,-6)]` | |
| 6. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(2,-3,3),(2,2,3),(3,-2,2)]` |
| Answer» `(1)/(5) [(-2,0,3),(-1,1,0),(2,1,-1)]` | |
| 7. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4)]` |
| Answer» `[(7,-3,-3),(-1,1,0),(-1,0,1)] ` | |
| 8. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले :`[(1,tanx),(-tanx ,1)]` |
| Answer» `cos^(2)x[(1,-tanx),(tanx ,1)]` | |
| 9. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले : `[(a,b),(c,d)]" जहाँ " ad -bc ne 0` |
| Answer» `(1)/(ad-bc)[(d,-b),(-c,a)]` | |
| 10. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले : जहाँ ` a^(2) + b^(2) + c^(2) + d^(2) = 1` |
| Answer» `[(a-ib,-c-"id"),(c-"id",a+ib)]` | |
| 11. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले :`[(2,-2),(1,3)]` |
| Answer» Correct Answer - `1/8[(3,2),(-1,2)]` | |
| 12. |
आव्यूहों का सहखंडज निकाले : `[(1,-1,2),(3,0,-2),(1,0,3)]` |
| Answer» `[(0,3,2),(-11,1,8),(0,-1,3)]` | |
| 13. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले : `[(2,5),(-3,1)]` |
| Answer» `1/17[(1,-5),(3,2)]` | |
| 14. |
आव्यूहों के परिवर्त तथा सहखंडज निकाले : `[(2,3),(5,1)]` |
| Answer» `[(2,5),(3,1)],[(1,-3),(-5,2)]` | |
| 15. |
आव्यूहों का सहखंडज निकाले : `[(1,-1,2),(2,3,5),(-2,0,1)]` |
| Answer» `[(3,1,11),(-12,5,-8),(6,2,5)]` | |
| 16. |
आव्यूहों के परिवर्त तथा सहखंडज निकाले : `[(1,2),(3,4)]` |
| Answer» `[(1,3),(2,4)],[(4,-2),(-3,1)]` | |
| 17. |
आव्यूहों के परिवर्त तथा सहखंडज निकाले : `[(2,3),(-4,-6)]` |
| Answer» `[(2-4),(3-6)],[(-6,-3),(4,2)]` | |
| 18. |
आव्यूहों के परिवर्त तथा सहखंडज निकाले : `[(sec theta ,"cosec"theta ),(sin theta ,cos theta)]` |
| Answer» `[(sec theta , sin theta),("cosec" theta ,cos thet )],[(cos theta ,"cosec"theta ),(-sin theta ,sec theta)]` | |
| 19. |
यदि (If)` A [(3,-4),(-1,2)]`, एक आव्यूह B निकाले ताकि AB = I. |
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Answer» दिया है ,AB = I `therefore B = A` का inverse = ` A^(-1) ` दिया है , ` A [(3,-4),(-1,2)]therefore "adj A" = [(2,4),(1,3)]` तथा `।A।= 3 xx 2- (-1) (-4) = 2 ne 0 ` ` therefore A^(-1) = (1)/(।A।)"adj A" = (1)/(2) [(2,4),(1,3)]=[(1,2),((1)/(2) ,(3)/(2))]` Second method : माना कि `B= [(a,b),(c,d)]` दिया है , AB = I `rArr [(3,-4),(-1,2)][(a,b),(c,c)]=[(1,0),(0,1)]` ` rArr [(3a-4c,3b -3d),(-a + 2c , -b + 2d)]=[(1,0),(0,1)]` ` therefore 3a - 4c = 1 `।।।(1) `3b - 4d = 0 ` ...(2) ` - a + 2c = 0 ` ...(3) ` - b + 2d = 1 ` ।।।(4) (1) तथा (3) को हल करने पर , हमे मिलता है , `a= 1, c = (1)/(2)` (2) तथा (4) को हल करने पर , हमे मिलता है , `b= 2, d = (3)/(2)` अतः ` B= [(1,2),((1)/(2) ,(3)/(2))]` |
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| 20. |
यदि `(If) A= [(3,7),(2,5)] "तथा " B = [(6,8),(7,9)]` तो सत्यापित करे कि `(AB)^(-1) = B^(-1) A^(-1)` |
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Answer» दिया है , ` A= [(3,7),(2,5)] therefore ।A।= 15 -14 = 1 ne 0 therefore A^(-1) ` का अस्तित्व है अब `A^(-1) = (adj A)/(।A।) = (adj A)/(1) = adj A = [(5,-7)/(-2,3)]` पुनः `B = [(6,8),(7,9)] because ।B। = 54 - 56 = - 2 ne 0 ` `therefore B^(-1) ` का अस्तित्व है तथा `B^(-1) = (ad B)/(।B।) = (1)/((-2))[(9,-8),(-7,6)]` पुनः `AB= [(3,7),(2,5)][(6,8),(7,9)]=[(18+49,24 + 63),(12 + 35 , 16 + 45)]=[(67, 87),(47,61)]` ।।।(2) (1 ) तथा (2 ) से , यह स्पष्ट है कि ` (AB)^(-1)= B^(-1) A^(-1)` . |
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| 21. |
यदि (IF) ,` A = [(cos theta , sin theta),(-sin theta, cos theta)]` सत्यापित करे कि `(A^(-1)) ^(-1) = A ` । |
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Answer» दिया है , ` A = [(cos theta , sin theta),(-sin theta, cos theta)]` अब `।A।= ।(cos theta , sin theta),(-sin theta, cos theta)।= cos ^(2) theta + sin^(2) theta = 1 ne 0 ` अतः `A^(-1)` का अस्तित्व है । अब `A_(11) = a_(11) "अर्थात " cos theta ` का सहखण्ड (cofacot ) ` = (-1)^(1+1) cos theta = cos theta ` ` A_(12) = a_(12) "अर्थात" sin theta ` सहखण्ड (cofacot ) `= (-1)^(2 +1) (-sin theta) = sin theta ` ` A_(21) = a_(21)"अर्थात" - sin theta ` सहखण्ड (cofacot ) `= 9-1)^(2+1) sin theta = - sin theta ` ` A_(22) = a_(22) "अर्थात" cos theta ` सहखण्ड (cofacot ) `= (-1)^(2+2) cos theta = cos theta ` अब adj `A= [(A_(11) ,A_(12)),(A_(21),A_(22))]"का transpose " = [(A_(11) ,A_(12)),(A_(21),A_(22))]=[(cos theta , - sin theta ),(sin theta , cos theta )]` ` therefore A^(-1) = (adi A)/(|A|) = (adi A)/(1) = [(cos theta , - sin theta ),(sin theta , cos theta )]` ` therefore (A^(-1)) = [(cos theta , -(- sin theta) ),(-sin theta , cos theta )]=[(cos theta , sin theta ),(-sin theta , cos theta )]` ` therefore (A^(-1))^(-1)=(adj (A^(-1)))/(।A^(-1)।) = (adj (A^(-1)))/(1) ` ` = adj(A^(-1))=[(cos theta , sin theta ),(- sin theta , cos theta )]=A ` ltबरgtअतः `(A^(-1))^(-1) = A ` |
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| 22. |
आव्यूह समीकरण `[(2,1),(3,2)].A.[(-3,2),(5,-3)]=[(1,0),(0,1)]` को संतुष्ट करता हुआ आव्यूह A ज्ञात करे । |
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Answer» माना कि `B=[(2,1),(3,2)]" तथा "C=[(-3,2),(5,-3)]` अब `।B।=।(2,1),(3,2)।= (4 - 3) = 1 ne 0` ` ।C।=।(-3,2),(5,-3)।= (9-10) = - 1ne 0` अतः `B^(-1) "तथा " C^(-1)` का अस्तित्व है । `therefore` दिया गया आव्यूह समीकरण हो जाता है , `BAC = I_(2)` अब ` BAC = I_(2) rArr B^(-1) (BAC)C^(-1) = B^(-1) I_(2) C^(-1)` ` rArr (B^(-1) B) A(CC^(-1)) = B^(-1) (I_(2) C^(-1))` ` rArr I_(2) Al_(2) = B^(-1) V^(-1)` ` rArr A= B^(-1) C^(-1)` ...(I) B के अवयवो के सहखण्ड (cofactors ) है , ` B_(1) = 2, B_(12) = - 3, B_(21) = - 1l B_(22) = 2` ` therefore " adiB " = [(2,-3),(-1,2)] "का transpose " = [(2,-1),(-3,2)]` `therefore B^(-1) = (1)/(।B।)।"adi B"= [(2,-1),(-3,2)]" " [because ।B। = 1]` पुनः C के अवयवों के सहखण्ड (cofactors ) है , `C_(11) = - 3, C_(12) = - 5, C_(21) = - 2, C_(22) = - 3 ` `therefore "adi C " = [(-3,-5),(-2,-3)]" का transpose "= [(-3,-3),(-5,-3)]` ` therefore C^(-1) = (1)/(।C।)। "adi C" = [(3,2),(5,3)]"" [ because ।C। = - 1]` अब (1 ) से , `A = B^(-1)_C^(-1) = [(2,-1),(-3,2)][(3,2),(5,3)]=[(1,1),(1,0)]` . |
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| 23. |
दिखाएँ कि आव्यूह `A=[(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1)]` समीकरण `A^(2) - 4A- 5I_(3) = O ` को संतुष्ट करता है और इससे ` A^(-1)` |
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Answer» `A^(2) = [(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)][(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)]` `=[(1.1+2.2+2.2,1.2+ 2.1+ 2.2,1.2+ 2.2+ 2.1),(2.1+1.2+2.2,2.2+1.1 + 2.2,2.2 + 1.2+2.1),(2.1 + 2.2 + 1.2,2.2 + 2.1 + 1.2,2.2 + 2.2 + 1.1)]=[(9,8,8),(8,9,8),(8,8,9)]` अब `A^(2) - 4A - 5I_(3) =[(9,8,8),(8,9,8),(8,8,9)]- [(4,8,8),(8,4,8),(8,8,4)]-[(5,0,0),(0,5,5),(0,0,5)]` ` [(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)]= O` तथा `|A|[(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)]= 1 (1-4)-2(2-4)+ 2(4-2)` ` = - 3 + 4 + 4 = 5 ne 0 ` अतः `A^(-1)` अस्तित्व है । अब `A^(-1) - 4A - 5I_(3) = O rArr A^(2) - 4A = 5I_(3)` ` rArr A^(-1) , A^(2) - 4A^(-1) . A= 5A^(-1) , I_(3)` [दोनों तरफ `A^(-1)` को बाएँ तरफ रखकर गुणा करने पर ] ` rArr (A^(-1) . A ) A- 4I_(3) = 5A^(-1)` ` rArr A- 4I_(3) = 5A^(-1) rArr A - 1 = (1)/(5) (A - 4I_(3))` `= (1)/(5) .{[(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)]-[(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4)]} = (1)/(5) . [(-3,2,2),(2,-3,2),(2,2,-3)]` . |
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| 24. |
यदि `(If)A= [(2,3),(1,2)]`, दिखाएँ की `A^(2) - 4A + I = O` तथा इससे`A^(-1)` निकले । |
| Answer» Correct Answer - `[(2,-3),(-1,2)]` | |
| 25. |
यदि `(If)= A [-1,-1),(2,-2)]`, दिखाएँ की `A^(2) +3A +4I_(2) = O ` तथा इससे`A^(-1)` निकले । |
| Answer» `[(-(1)/(2),(1)/(4)),(-(1)/(2),-(1)/(4))]` | |
| 26. |
आव्यूहों A निकाले ताकि `[(3,2),(1,-1)]=[(4,1),(2,3)]` |
| Answer» Correct Answer - `[(1,1),(1,-1)]` | |
| 27. |
आव्यूहों A निकाले ताकि `[(5,-7),(-2,3)]A=[(-16,-6),(7,2)]` |
| Answer» Correct Answer - `[(1,-4),(3,-2)]` | |
| 28. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(2,1,3),(4,-1,0),(-7,2,1)]` |
| Answer» `-(1)/(3)[(-1,5,3),(0,5,-4),(6,-11,-6)]` | |
| 29. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(1,0,0),(3,3,0),(5,2,-1)]` |
| Answer» `-(1)/(3)[(-3,0,0),(3,-1,0),(-9,-2,3)]` | |
| 30. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,5)]` |
| Answer» `[(-2,0,1),(9,2,-3),(6,1,-2)]` | |
| 31. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | diag `[132]` |
| Answer» `diag[1(1)/(3)(1)/(2)]` | |
| 32. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(1,2,3),(0,2,4),(0,0,5)]` |
| Answer» `1/10[(10,-10,2),(0,5,-4),(0,0,2)]` | |
| 33. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(1,0,0),(0 , cos alpha,sin alpha),(3,-2,3)]` |
| Answer» `[(1,0,1),(0, cosalpha , sin alpha),(0 , sin alpha, - cosalpha )]` | |
| 34. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(2,-3,3),(2,2,3),(-3,-2,2)]` |
| Answer» `[(-2,0,3),(-1,1,0),(2,1,-2)]` | |
| 35. |
यदि `(IF) A= [(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]` तो सत्यापित करे की ` A^(3) - 6A^(2) + 9A - 4I` तथा इससे `A^(-1)` निकले । |
| Answer» `(1)/(4)[(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3)]` | |
| 36. |
यदि (If) ` A = [(3,2),(1,1)] ` a और b का मान निकाले ताकि `A^(2) + aA = bI= O " इससे " A^(-1) ` निकाले । |
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Answer» जहाँ `A = [(3,2),(1,1)]rArr ।A। = ।(3,2),(1,1)।= 3 xx 1 - 1 xx 2 = 1 ne 0 ` ` rArr A^(-1)` का अस्तित्व है । साथ ही `A^(2) = A । A = [(3,2),(1,1)]।[(3,2),(1,1)]= [(9+2,6+2),(3 + 1, 2 + 1)] = [(11,8),(4,3)]` अब `A^(2) + aA + bI = O ` `rArr [(11,8),(4,3)]+ a [(3,2),(1,1)] + b [(1,0),(0,1)]= [(0,0),(0,0)]` ` rArr [(11 + 3a + b,8 + 2a),(4 + a,3 + a + b)]=[(0,0),(0,0)]` `therefore 11 + 3a + b = 0, 8 + 2a = 0 ` ` 4 + a + , 3 + a + b = 0 ` ` rArr a + - 4 , b = 1` Second part : (I) से , ` A^(2) - 4A + I = 0` ` rArr I = 4A - A^(2) " " [ A^(-1) ` से गुणा करने पर ] ` rArr A^(-1) = 4I - A " " [ because AA^(-1)= I]` `= 4 [(1,0),(0,1)]-[(3,2),(1,1)]= [(1,-2),(-1,3)]`. |
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| 37. |
यदि `(If)A = [(6,5),(7,6)]`, दिखाएँ कि ` A^(2) - 12 A + I = O` . इससे `A^(-1)` निकाले । |
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Answer» यहाँ `A = [(6,5),(7,6)] therefore A^(2) [(6,5),(7,6)][(6,5),(7,6)]= [(71,60),(84,71)]` अब `A^(2) - 1 3 A + I` ltबरgt`=[(71,60),(84,71)]- 12 [(6,5),(7,6)] + [(1,0),(0,1)]` `[(71,60),(84,71)]-[(72,60),(84,72)]+ [(1,0),(0,1)]` `=[(71-72+1,60-60+0),(84- 84 + 0 ,71-72+1)]= [(0,0),(0,0)] = O = RHS ` Second part : `|A| = |(6,5),(7,6)| = 6xx6- 7 xx5 = 1 ne 0 rArrA^(-1)` का अस्तित्व है । अब `A^(2) - 12 A + I = 0 ` ` rArr I = 12 A - A^(2)` ` rArr IA^(-1) = (12 A - A^(2)) A^(-1) " "[ A^(-1) ` से दोनों तरफ गुणा करने पर ] ` 12 AA^(-1) - A (AA^(-1))` `12I - AI` `12I - A ` `= 12 [(1,0),(0,1)]-[(6,5),(7,6)]=[(12,0),(0,12)]- [(6,5),(7,6)]= [(6,-5),(-7,6)]` |
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| 38. |
यदि `(IF) A= [(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)]` दिखाएँ की ` A^(2) - 6A^(2) + 5A + 11 O = O ` तथा इसके निकले । |
| Answer» `(1)/(11)[(-3,4,5),(9,-1,-4),(5,-3,-1)]` | |
| 39. |
निकाले `(AB)^(-1)` ,जहाँ `A= [(5,0,4),(2,3,2),(1,2,1)]. B^(-1)= [(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4)]` |
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Answer» हम जानते है कि `(AB)^(-1) = B^(-1) A^(-1)` ….(1) अब `|A|=|(5,0,4),(2,3,2),(1,2,1)| = 5 (3-4)-0(2-2) + (4 -3)= - 1 ne 0` अतः `A^(-1)` का अस्तित्व है । माना कि आव्यूह A के i पंक्ति और j वे स्तम्भ के अवयव का सहखण्ड (cofactor ) `A_(if)` है , तो `A_(11) = (-1)^(1+1) |(3,2),(2,1)| = - 1 , A_(12) = (-1)^(1 + 2) |(2,2),(1,1)| = 0 ` `A_(13) = (-1)^(1+3) |(2,3),(1,2)| = 1 , A_(21) = (-1)^(2+ 1) |(0,4),(2,1)| = 8 ` `A_(22) = (-1)^(2+2) |(5,4),(1,1)| = 1 , A_(23) = (-1)^(2+ 3) |(5,0),(1,2)| = -10 ` `A_(31) = (-1)^(3+1) |(0,4),(3,2)| =-12 , A_(32) = (-1)^( 3+2) |(5,4),(2,2)| = -2 ` `A_(33) = (-1)^(3+3) |(5,0),(2,3)|=15` अब adj `A=[(-1,0,1),(8,1,-10),(-12,-2,15)]"का परिवर्त "=[(-1,8,-12),(0,1,-2),(1,-10,15)]` `therefore A^(-1) = (1)/(|A|) "adj A "= (1)/((-1)) "adj A = - adj A " = [(1 ,-8,12),(0,-1,2),(-1,10,-15)]` (1) से `(AB)^(-1) = B^(-1) A^(-1)` `[(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4)][(1,-8,12),(0,-1,2),(-1,10,-15)]` `=[(1+0-3, -8 - 3 + 30, 12 + 6-45),(1 +0-3,-8-4+30,12 +8-45),(1+0-4,-8-3 + 40, 12 + 6-60)]=[(-2,19,-27),(-2,18,-25),(-3,29,-42)]`. |
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| 40. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(0,1,-1),(4,-3,4),(2,3,-1)]` |
| Answer» `[(0,1,-1),(4,-3,4),(3,-3,4)]` | |
| 41. |
आव्यूहों के प्रतिलोम निकाले | `[(1,2,5),(1,-1,-1),(2,3,-1)]` |
| Answer» `1/27[(4,17,3),(-1,-11,6),(5,1,-3)]` | |