1.

आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि `11^(n+2)+12^(2n+1),133` से विभाज्य है।

Answer» माना कि `f(n)=11^(n+2)+12^(2n+1)`
माना कि `P(n):f(n).133` से विभाज्य है।
अब `f(1)=11^(3)+12^(3)=(11+12)(11^(2)-11.12+12^(2))`
`=23.133` जो कि 133 से विभाज्य है।
अतः `f(1)` सत्य है।………..A
माना कि `P(m)` सत्य है तो ltbr `f(m)` अर्थात `11^(m+2)+12^(2m+1),133` से विभाज्य है।
साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात `f(m+1),133` से विभाज्य है।
अब `f(m+1)=11^(m+1+2)+12^(2(m+1)+1)`
`=11.11^(m+2)+12^(2).12^(2m+1)`
`=11.11^(m+2)+144.12^(2m+1)`
अब हम `f(m+1)` को `f(m)` से विभाजित करते हैं।
`{:(11^(m+2)+12^(2m+1)11.(11)^(m+2)+144.12^(2m+1)(11)),(" "11.(11)^(m+2)+11.12^(2m+1)),(" "-" "-),(" "bar(" "133.12^(2m+1)" ")):}`
`:.f(m+1)=11.f(m)+133.12^(2m+1)`……..1
चूंकि `f(m),133` से विभाज्य है तथा `133.12^(2m+1)` भी 133 से विभाज्य है इसलिए 1 से `f(m+1),133` से विभाज्य है।
अतः `P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा।………….B
A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।


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