1.

आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि`cos alpha+cos 2 alpha +…..+cos n alpha = "sin"(n alpha)/2 "cosec" (alpha)/2 "cos"((n+1)alpha)/2`

Answer» माना कि `P(n):cos alpha+cos 2 alpha +………..+cos n alpha`
`= "sin"(n alpha)/2 "cosec"( alpha)/2 "cos"((n+1) alpha)/2`
Step I जब `n=1` L.H.S `= cos alpha` तथा R.H.S `= "sin" (alpha)/2, "cosec" (alpha)/2 cos alpha= cos alpha`
`:.` L.H.S `=` R.H.S ………….A
अतः `P(1)` सत्य है
Step II माना कि `P(m)` सत्य है तो
`cos alpha +cos 2 alpha +………..+ cos m alpha`= "sin"(m alpha)/2 "cosec"(alpha)/2 "cos"((m+1)alpha)/2`…..1
साबित करना है कि
`cos alpha+cos 2 alpha+………+cos m alpha +cos (m+1) alpha`
`="sin"((m+1)alpha)/2 "cosec"(alpha)/2 "cos"((m+2)alpha)/2`…..2
1 के दोनों तरफ `cos (m+1) alpha` जोड़ने पर
`cos alpha + cos 2 alpha+…..+cos malpha +cos (m+1)alpha`
`= "sin"(m alpha)/2 "cosec" (alpha)/2 "cos"((m+1)alpha)/2+cos (m+1)alpha`
`= "cosec" (alpha)/2["sin"(m alpha)/2 "cos"((m+1)alpha)/2+cos (m+1)alpha . "sin"(alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2[ 2 cos ((m+1)alpha)/2 "sin"(m alpha)/2 +cos (m+1) alpha. "sin"(alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2["sin"((2m+1)alpha)/2 –"sin"(alpha)/2+sin(m+1+1/2)alpha-sin(m+1-1/2)alpha]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2[ "sin"((2m+1)alpha)/2- "sin"(alpha)/2+ "sin"(2m+3)/2 alpha-"sin"((2m+1)alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2["sin"(2m+3)/2 alpha-"sin"(alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2 .2 cos ((2m+3+1)/4)alpha.sin((2m+2)/4)alpha]`
`= "cosec"(alpha)/2 ."cos"((m+2)alpha)/2 "sin"((m+1)alpha)/2`………3
अतः `P(m)` सत्‍य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा………b
A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।


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