गणितीय आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि `1/1.2 + 1/ 2.3 +..+1/(n(n+1))=n/(n+1)`

गणितीय आगमन सिद्धांत से सा

1.	गणितीय आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि `1/1.2 + 1/ 2.3 +..+1/(n(n+1))=n/(n+1)`
Answer» माना कि `P(n): 1/1.2+1/2.3+….+1/(n(n+1))=n/(n+1)` Step I. जब `n=1,L,H,S.=1/1.2=1/2` तथा `R.H.S=n/(n+1)=1/(1+1)=1/2` `:.L.H.S.=R.H.S` अतः `P(1)` सत्य है……A माना कि `P(m)` सत्य है तो `1/1.2+1/2.3+………+1/(m(m+1))=m/(m+1)`……1 साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात `1/1.2+1/2.3+….+1/(m(m+1))+1/(m(m+1))+1/((m+1)(m+2))=(m+1)/(m+2)`…2 1 के दोनों तरफ `1/((m+1)(m+2))` जोड़ने पर `1/1.2+1/2.3+….+1/(m(m+1))+1/((m+1)(m+2))` `=m/(m+1)+1/((m+1)(m+2))=(m+2)+1)/((m+1)(m+2))` `=(m^(2)+2x+1)/((m+1)(m+2))=((m+1)^(2))/((m+1)(m+2))=(m+1)/(m+2)`…..3 अतः `P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा।………….B अब A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्या `n` के लिए `P(n)` सत्य है।