1.

By using properties of determinants. Show that:(i) `|x+4 2x2x2xx+4 2x2x2xx+4|=(5x-4)(4-x)^2`(ii)`|y+k y y y y+k y y y y+k|=k^2(2ydotk)^2`

Answer» `|{:(x+4,2x,2x),(2x,x+4,2x),(2x,2x,x+4):}|=|{:(5x+4,2x,2x),(2x,x+4,2x),(2x,2x,x+4):}|`
`(R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3))`
`=(5x+4)|{:(1,1,1),(2x,x+4,2x),(2x,2x,x+4):}|`
`=(5x+4)|{:(0,0,1),(0,4-x,2x),(x-4,x-4,x+4):}|`
`(C_(1)toC_(1)-C_(3),C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(5x+4)(40x)(4-x)|{:(0,0,1),(0,1,2x),(-1,-1,x+4):}|`
`=(5x+4)(4-x)^(2).1|{:(0,1),(-1,-1):}|`
`=(5x+4)(e-x)^(2)`
=R.H.S.
(ii) `L.H.S.=|{:(y+k,y,y),(y,y+k,y),(y,y,y+k):}|`
`=|{:(3y+k,3y+k,3y+k),(y,y+k,y),(y,y,y+k):}|`
`(R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(2))`
`=(3y+k)|{:(1,1,1),(y,y+k,y),(y,y,y+k):}|`
`=(3y+k)|{:(1,0,1),(0,k,y),(-k,-k,y+k):}|`
`(C_(1)toC_(1)-C_(3),C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(3y+k).1|{:(0,k),(-k,-k):}|`
(Expanding along `R_(1)`)
`=(3y+k)(0+K^(2))`
`=K^(2)(3y+k)=R.H.S`


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