If `A=[2-1 1-1 2-1 1-1 2]`. Verify that `A^3-6A^2+9A-4I=O`and hence find `A^(-1)`.

If `A=[2-1 1-1 2-1 1-1 2]`. Verify that `A^3-6A^2+9A-4I=O`and hence fi

1.	If `A=[2-1 1-1 2-1 1-1 2]`. Verify that `A^3-6A^2+9A-4I=O`and hence find `A^(-1)`.
Answer» `A=[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}],` `therefore" "A^(2)=A.A=[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}][{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]` `[{:(4+1+1+,-2-2-1,2+1+2),(-2-2-1,1+4+1,-1-2-2),(2+1+2,-1-2-2,1+1+4):}]=[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]` `A^(3)=A^(2).A=[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}][{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]` `[{:(12+5+5,-6-10-5,6+5+10),(-10-6-5,5+12+5,-5-6-10),(10+5+6,-5-10-6,5+5+12):}]` `[{:(22,-21,21),(-21,22,21),(21,-21,22):}]` `"Now L.H.S.=" A^(3)-6A^(2)+9A-4I` `[{:(22,-21,21),(-21,22,21),(21,-21,22):}]-6[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]` `+9[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]-4[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]` `=[{:(22,-21,21),(-21,22,21),(21,-21,22):}]+[{:(-36,30,-30),(30,-30,30),(-30,30,-30):}]` `+[{:(18,-9,9),(-9,18,-9),(9,9-,18):}]+[{:(-4,0,0),(0,-4,0),(0,0,-4):}]` `=[{:(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0):}]=0=R.H.S.` `"Now \|A\|="[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]` =2(4-1)-(-1)(-2+1)+1(1-2) `=6-1-1=ne0` `therefore A^(-1)`exists. We have proved that `A^(3)-6A^(2)+9A-4I=0` `rArr A^(-1)(A^(3)-6A^(2)+9A-4I)=A^(-1)0` `rArr" "A^(2)-6A+9I-4A^(-1)=0` `rArr" "4A^(-1)=A^(-1)A^(2)-6A+9I` `[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]-6[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]+9[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]` `[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]+[{:(-12,6,-6),(6,-12,6),(-6,6,-12):}]+[{:(9,0,0),(0,9,0),(0,0,9):}]` `A^(-1)=1/4[{:(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3):}]` `rArr" "A^(-1)=1/4[{:(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3):}]`