InterviewSolution
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InterviewSolution
| 1. |
If a, b, c, d are in GP, prove that `(b-c)^(2)+(c-a)^(2)+(d-b)^(2)=(a-d)^(2)`. |
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Answer» Let r be the common ratio of the GP a, b, c, d. Then. `b=ar, c=ar^(2)` and `d=ar^(3)`. `:. LHS =(b-c)^(2)+(c-a)^(2)+(d-b)^(2)` `=(ar-ar^(2))^(2)+(ar^(2)-a)^(2)+(ar^(3)-ar)^(2)` `={a(r-r^(2))}^(2)+{a(r^(2)-1)}^(2)+{a(r^(3)-r)}^(2)` `=a^(2)(r-r^(2))^(2)+a^(2)(r^(2)-1)^(2)+a^(2)(r^(3)-r)^(2)` `=a^(2).{(r-r^(2))^(2)+(r^(2)-1)^(2)+(r^(2)-r)^(2)}` `=a^(2).{(r^(2)+r^(4)-2r^(3))+(r^(4)+1-2r^(2))+(r^(6)+r^(2)-2r^(4))}` `=a^(2).(r^(6)-2r^(3)+1)=a^(2) (1-r^(3))^(2)` `=(a-ar^(3))^(2)=(a-d)^(2)=RHS`. Hence, `(b-c)^(2)+(c-a)^(2)+(d-b)^(2)=(a-d)^(2)`. |
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