If sec¢ + tan¢ = p, show that p²-1 ÷ p²+1 = sin¢

1.	If sec¢ + tan¢ = p, show that p²-1 ÷ p²+1 = sin¢
Answer» We have,{tex}\\mathrm { LHS } = \\frac { p ^ { 2 } - 1 } { p ^ { 2 } + 1 } = \\frac { ( \\sec \\theta + \\tan \\theta ) ^ { 2 } - 1 } { ( \\sec \\theta + \\tan \\theta ) ^ { 2 } + 1 }{/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad \\mathrm { LHS } = \\frac { \\sec ^ { 2 } \\theta + \\tan ^ { 2 } \\theta + 2 \\sec \\theta \\tan \\theta - 1 } { \\sec ^ { 2 } \\theta + \\tan ^ { 2 } \\theta + 2 \\sec \\theta \\tan \\theta + 1 }{/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad \\mathrm { LHS } = \\frac { \\left( \\sec ^ { 2 } \\theta - 1 \\right) + \\tan ^ { 2 } \\theta + 2 \\sec \\theta \\tan \\theta } { \\sec ^ { 2 } \\theta + 2 \\sec \\theta \\tan \\theta + \\left( 1 + \\tan ^ { 2 } \\theta \\right) }{/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad \\mathrm { LHS } = \\frac { \\tan ^ { 2 } \\theta + \\tan ^ { 2 } \\theta + 2 \\sec \\theta \\tan \\theta } { \\sec ^ { 2 } \\theta + 2 \\sec \\theta \\tan \\theta + \\sec ^ { 2 } \\theta }{/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad \\mathrm { LHS } = \\frac { 2 \\tan ^ { 2 } \\theta + 2 \\tan \\theta \\sec \\theta } { 2 \\sec ^ { 2 } \\theta + 2 \\sec \\theta \\tan \\theta } = \\frac { 2 \\tan \\theta ( \\tan \\theta + \\sec \\theta ) } { 2 \\sec \\theta ( \\sec \\theta + \\tan \\theta ) } = \\frac { \\tan \\theta } { \\sec \\theta } = \\frac { \\sin \\theta } { \\cos \\theta \\cdot \\sec \\theta } = \\sin \\theta{/tex}=RHS

Discussion