1.

`(logx)^(x)+x^(logx)` का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

Answer» माना `y=(logx)^(x)+x^(logx)`
`(logx)^(x)=u` और `x^(logx)=v` रखने पर,
y=u+v
`rArr(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)` ..(1)
अब, `u=(logx)^(x)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`rArrlogu=log(logx)^(x)`
`rArrlogu=xlog(logx)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u(du)/(dx)=x.(1)/(logx).(1)/x+log(logx).1`
`rArr(du)/(dx)=u[1/(logx)+log(logx)]`
`rArr(du)/(dx)=(logx)^(x)[1/(logx)+log(logx)]` ...(2)
और `v=x^(logx)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`rArrlogv=log(x^(logx))`
`rArrlogv=logxlogx=(logx)^(2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/v(dv)/(dx)=2logx.(1)/x`
`rArr(dv)/(dx)=v[2/xlogx]`
`rArr(dv)/(dx)=x^(logx)[2/xlogx]`
समी. (1),(2) और (3) से,
`(dy)/(dx)=(logx)^(x)[1/(logx)+log(logx)]`
`+x^(logx)[2/xlogx]`


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