InterviewSolution
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| 1. |
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए - `f(x) = {{:(x+2",",x le 1),(x-2",",x gt 1):}` |
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Answer» स्पष्टत: f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है । माना a कोई वास्तविक संख्या है । स्थिति I. जब `a lt 1` चूँकि `f(x) = x+2` यदि `x le 1` तब `f(a) = a + 2` अब `underset(x rarr a)(lim)f(x)=underset(x rarr a)(lim)x + 2 = a + 2 = f(a)` अत: 1 से छोटी वास्तविक संख्याओं के लिए f(x) संतत है । स्थिति II. जब `a gt 1` चूँकि `f(x)=x-2` यदि `x gt 1` तब `f(a)=a - 2` अब `underset(x rarr a)(lim)f(x)=underset(x rarr a)(lim)x - 2 = a - 2 = f(a)` अत: 1 से बड़ी वास्तविक संख्याओं के लिए f(x) संतत है । स्थिति III. जब a = 1 चूँकि `f(x)=x+2` यदि `x = 1` तब `f(a) = a+2` या `f(1) = 1 + 2 = 3`. अब `underset(x rarr 1^(-))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(1-h)` `= underset(h rarr 0)(lim) (1 - h + 2), " "[because x = 1 - h lt 1]` = 3 और `underset(x rarr 1^(+))(lim)f(x) = underset(h rarr 0)(lim) f(1 + h)` `= underset(h rarr 0)(lim)(1+h-2)," "[because x = 1 + h gt 1]` = -1 `therefore" "underset(x rarr 1^(-))(lim)f(x) ne underset(h rarr 1^(+))(lim)f(x)` अत: f(x) बिन्दु `x = 1` पर संतत नहीं है अर्थात x = 1 फलन का असांतत्य बिन्दु है । |
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