InterviewSolution
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| 1. |
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए - `f(x) = {{:(x",","यदि",x ge 0),(x^(2)",","यदि",x lt 0):}` |
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Answer» स्पष्टत: f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है । माना a कोई वास्तविक संख्या है । स्थिति I. जब `a gt 0` चूँकि `f(x) = x`, यदि `x ge 0` तब `f(a) = a` अब `underset(x rarr a)(lim)f(x) = underset(x rarr a)(lim) x = a = f(a)` अत: शून्य से बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है । स्थिति II. जब `a lt 0` चूँकि `f(x) = x^(2)`, यदि `x lt 0` तब `f(a) = a^(2)` अब `underset(x rarr a)(lim)f(x) = underset(x rarr a)(lim)x^(2)=a^(2)=f(a)` अत: शून्य से छोटी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है । स्थिति III. जब a = 0 चूँकि `f(x) = x`, यदि `x = 0` तब `f(a) = a` अर्थात `f(0) = 0` अब `underset(x rarr 0^(-))(lim)f(x) = underset(h rarr 0)(lim) f(0-h)` `= underset(h rarr 0)(lim)(0-h)^(2)," "[because x = 0 - h lt 0]` = 0 और `underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(0 + h)` `=underset(h rarr 0)(lim)(0+h)," "[because x = 0 + h gt 0]` = 0 `therefore" "underset(x rarr 0^(-))(lim)f(x)=underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=f(0)` अत: f(x) बिन्दु x = 0 पर संतत है । अतएव f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है । |
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