InterviewSolution
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सिद्ध कीजिए कि `int_(0)^(pi//2)(sin^(2)x)/((1+sinxcosx))dx=(pi)/(3sqrt3)` |
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Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)(sin^(2)x)/((1+sinx cosx))dx" …(1)"` `=int_(0)^(pi//2)(sin^(2)[(pi//2)-x])/([1+sin[(pi//2)-x]cos[(pi//2)-x])dx` `I-int_(0)^(pi//2)(cos^(2)x)/((1+sinx cosx))dx" ...(2)"` अब समीकरण (1 ) व (2 ) को जोड़ने पर `2I=int_(0)^(pi//2)((sin^(2)x+os^(2)x))/((1+sinx cosx))dx=int_(0)^(pi//2)(dx)/((1+sin x cosx))` अब अंश व हर को `cos^(2)x,` से भाग देने पर `int_(0)^(pi//2)(dx)/((1+sinx cosx))=int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/((sec^(2)x+tanx))dx` यदि `t=tan x rArr dt = sec^(2) xdx` तथा सीमाएँ `t=0` पर `x=0` व `t=oo` पर `x=(pi)/(2)`, तब `int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/((1+tan^(2)x+tanx))dx=int_(0)^(oo)(dt)/((t^(2)+t+1))` `=int_(0)^(oo)(dt)/((t+(1)/(2))^(2)+((sqrt3)/(2))^(2))` `=[(2)/(sqrt3)tan^(-1)((2t+1)/(sqrt3))]_(0)^(oo)` `=(2)/(sqrt3)[tan^(-1)(oo)-tan^(-1)((1)/(sqrt3))]` `=(2)/(sqrt3).((pi)/(2)-(pi)/(6))=(2pi)/(3sqrt3)` `rArr" "I=(pi)/(3sqrt3)` |
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