InterviewSolution
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| 1. |
यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः `(1,1), (2-3)` तथा `(3,4)` है तो त्रिभुज का केन्द्रक तथा अन्तःकेंद्र ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना त्रिभुज ABC में भुजाओं AB,बस तथा CA के मध्य बिन्दु क्रमशः P,Q व R है | प्रश्नानुसार, ` P -= P(1,1), Q - = Q(2,-3)` तथा `R -=(3,4)` `A -= A(x_(1), y_(1)) , B-=(x_(2), y_(2)), C -= (x_(3), y_(3))` `because` P भुजा AB का मध्य बिन्दु है इसलिए `(x_(1) + x_(2))/(2) = 1, (y_(1) + y_(2))/(2) = 1` `rArr x_(1) + x_(2) = 2, y_(1) + y_(2) = 2" "...(i)` इसी प्रकार, Q भुजा BC का मध्य बिन्दु है | `rArr (x_(2) + x_(3))/(2) = 2, (y_(2) + y_(3))/(2) = -3` `rArr x_(2) + x_(3) = 4` तथा `y_(2) + y_(3) = -6" "...(ii)` तथा R भुजा AC का मध्य बिन्दु है | `rArr (x_(1) + x_(3))/(2) = 3` तथा `(y_(1) + y_(3))/(2) = 4` `rArr x_(1) + x_(3) = 6` तथा `y_(1) + y_(3) = 8 " "...(iii)` समी० (i),(ii) व (iii) को हल करने पर, `x_(1) = 2, y_(1) = 8, x_(3) = 4, y_(3) = 0, x_(2), y_(2) = -6` `therefore` त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक `A -= (2,8), B -=B(0,-6)` तथा `C -= C(4,0)` है | अब `a = BC = sqrt((4-0)^(2) + (0+6)^(2)) = 2sqrt(13)` `b = AC = sqrt((4-2)^(2)+(0-8)^(2)) = 2sqrt(17)` `c = AB = sqrt((2-0)^(2) + (8+6)^(2)) = 10sqrt(2)` `therefore` केन्द्रक ` = ((x_(1) + x_(2) + x_(3))/(3), (y_(1)+y_(2)+y_(3))/(3))=((2+0+4)/(3), (8-6+0)/(3)) = (2,(2)/(3))` तथा `triangle ABC` के अन्तः केंद्र ` ((ax_(1)+bx_(2)+cx_(3))/(a+b+c)),((ay_(1)+by_(2)+cy_(3))/(a+b+c))` ` = (((2)^(2) sqrt(13) + (2sqrt(17)) xx0+10(sqrt(2))xx4)/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2)),((2)^(4)sqrt(13) + (2sqrt(17))(-6)+(10sqrt(2))xx)/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2)))` ` = ((4sqrt(13) + 40sqrt(2))/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2)),(16sqrt(13) -12sqrt(17))/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2))) = ((2sqrt(13) + 20sqrt(2))/(sqrt(13) + sqrt(17) + 5sqrt(2)),(8sqrt(13) - 6sqrt(17))/(sqrt(13)+sqrt(17) + 5sqrt(2)))` |
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