InterviewSolution
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यदि `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)` हो,तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है- `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)` `u=y^(x),v=x^(y)` और `w=x^(x)` रखने पर, `u+v+w=a^(b)` `therefore(du)/(dx)+(dv)/(dx)+(dw)/(dx)=0` …(1) अब, `u=y^(x)` दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, `rArrlogu=logy^(x)` `rArrlogu=xlogy` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `1/u(du)/(dx)="x"xx1/y(dy)/(dx)+logyxx1` `rArr(du)/(dx)=u[x/y(dy)/(dx)+logy]` `rArr(du)/(dy)=y^(x)[x/y(dy)/(dx)+logy]` और `v=x^(y)` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `1/v(dv)/(dx)=yxx1/x+logx.(dy)/(dx)` `rArr(dv)/(dx)=v[y/x+logx(dy)/(dx)]` `rArr(dv)/(dx)=x^(y)[y/x+logx(dy)/(dx)]` ...(3) पुनः `w=x^(x)` दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, `logw=xlogx` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `1/w(dw)/(dx)="x"xx1/x+log"x"xx1` `rArr(dw)/(dx)=w[1+logx]` `rArr(dw)/(dx)=x^(x)[1+logx]` ...(4) समी. (1),(2),(3) और (4) से, `y^(x)(x/y(dy)/(dx)+logy)+x^(y)(y/x+logx(dy)/(dx))+x^(x)(1+logx)=0` `rArr(y^(x).x/(y)+x^(y)logx)(dy)/(dx)` `=-x^(x)(1+logx)-y^(x)logy-x^(y).y/x` `rArr(xy^(x-1)+x^(y)logx)(dy)/(dx)` `=-[x^(x)(1+logx)+y^(x)logy-y.x^(y-1)]` `rArr(dy)/(dx)=([-x^(x)(1+logx)+y^(x)logy-yx^(y-1)])/(xy^(x-1)+x^(y)logx)` |
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