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1.

आव्यूह `A=[{:(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}]` का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

Answer» यहाँ `A=[{:(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}]`
`therefore |A|=[{:(,1,3,3),(,1,4,3),(,1,3,4):}]`
`Rightarrow |A|=1 |{:(4,3),(3,4):}|-3|{:(1,3),(1,4):}|+3|{:(1,4),(1,3):}|`
`Rightarrow |A|=1 (16-9)-3(4-3)+3(3-4)`
`Rightarrow A^(-1)` का अस्तित्व
माना A में अवयव `a_(ij)` का सहखण्ड `A_(ij)` है, तब
`A_11=(-1)^(1+1) |{:(4,3),(3,4):}|=(16-9)=7`
`A_12=(-1)^(1+2) |{:(1,3),(1,4):}|=-(4+3)=-1`
`A_13=(-1)^(1+3) |{:(1,4),(1,3):}|=3-4=-1`
`A_21=(-1)^(2+1) |{:(3,3),(3,4):}|=-(12-9)=-3`
`A_22=(-1)^(2+2) |{:(,1,3),(,1,4):}|=4-3=1`
`A_23=(-1)^(2+3) |{:(,1,3),(,1,3):}|=0`
`A_31=(-1)^(3+1) |{:(,3,3),(,4,3):}|=9-12=-3`
`A_32=(-1)^(3+2) |{:(,1,3),(,1,3):}|=0`
`A_33=(-1)^(3+3) |{:(,1,3),(,1,4):}|=1`
`therefore "adj A"=[{:(,A_11,A_12,A_13),(,A_21,A_22,A_23),(,A_31,A_32,A_33):}]`
`therefore "adj A"=[{:(,7,-1,-1),(,-3,1,0),(,-3,0,1):}]=[{:(,7,-3,-3),(,-1,1,0),(,-3,0,1):}]`
अंत: `A^(-1)=("adj A")/(|A|)=1/1 [{:(,7,-3,-3),(,-1,1,0),(,1,0,1):}]`
`Rightarrow A^(-1)=[{:(,7,-3,-3),(,-1,1,0),(,-1,0,1):}]`
सत्यापन
`A^(-1)A=[{:(,7,-3,-3),(,-1,1,0),(,-1,0,1):}][{:(,1,3,3),(,1,4,3),(,1,3,4):}]`
`=[{:(,7-3-3,21-12+9,21-9-12),(,-1+1+0,-3+4+0,-3+3+0),(,-1+0+1,-3+0+3,-3+0+4):}]`
`[{:(,1,0,0),(,0,1,0),(,0,0,1):}]=I_(3)` यही सिद्ध करना था
Discussion
2.

यदि `C=({:(,2,x),(,4,2):}), x ne 1` हो तो, मान ज्ञात कीजिएः (i) `C^(2)` (ii) `(C^(2))^(-1) (C^(2)"का प्रतिलोम"),` (iii) `(C^(2))^(-1)"के अस्तित्व का शर्त"`

Answer» `C^(2)=C.C=({:(,2,x),(,4,2):}) ({:(,2,x),(,4,2):})`
`Rightarrow C^(2)=({:(,4+4x,4x),(,16,4x+4):})`
`Rightarrow |C^(2)|=|{:(,4+4x,4x),(,16,4x+4):}|`
`Rightarrow |C^(2)|=(4+4x)^(2)-64x`
`Rightarrow |C^(2)|=16x^(2)+32x+16-64x`
`Rightarrow |C|^(2)=16x^(2)-32x+16`
`Rightarrow |C|^(2)=(4x-4)^(2) ne 0`
`C^(2)` के सहखण्ड है
`A_11=4x+4`
`A_12=-16`
`A_21=-4x`
`A_22=4+4x`
`therefore "adj"C^(2)=({:(,4x+4,-4x),(,-16,4+4x):})`
अंत: `(C^(-2))^(-1)"का प्रतिलोम "=("adj "C^(2))/(|C|^(2))`
स्पष्ट `(C^(-2)^(-1)` का अस्तित्व है यदि `|C^(2)| ne 0`
अर्थार्त `(4x-4)^(2)ne 0`
`Rightarrow 16(x-1)^2 ne 0`
`Rightarrow (x-1)^(2) ne 0`
`Rightarrow x-1ne 0`
`Rightarrow x ne 1`
Discussion
3.

आव्यूह `[{:(,0,1,1),(,1,0,1),(,1,1,0):}]` का प्रतिलोम ज्ञात कीजिएः तथा दर्शाइए की `SAS^(-1)` एक विकर्ण आव्यूह है जहाँ `[{:(,b+c,c-a,b-a),(,c-b,c+a,a-b),(,b-c,a-c,a+b):}]`

Answer» यहाँ ` S= [ {:( 0,,1,,1), ( 1,,0,1) , ( 1,,1,,0) :}] `
` therefore |S| = | {:(0 , 1, 1 ) , ( 1, 0 ,1) ,( 1, 1, 0 ) :} | `
` rArr |S| = - 1 ( 0 - 1 ) + 1( 1 - 0 ) ` ,
[ ` R _ 1 ` के अनुदिश प्रसार करने पर ]
` rArr |S| = 2 ne 0 `
` rArr S^( - 1 ) ` का अस्तित्व है |
माना S के अवयवों का सहखंड ` S_ (ij ) ` है , तब
` S _ ( 11 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 1 ) | {:(0,1) ,(1,0):}| = ( 0 - 1 ) = - 1 `
` S _ ( 12 ) = ( - 1 ) ^ ( 1 + 2 ) |{:( 1 , 1 ) , ( 1 , 0 ) :}| = - ( 0 - 1 ) = 1 `
` S_ ( 13 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 3 ) |{:( 1 , 0 ) , ( 1, 1 ) :}| = ( 1 - 0 ) = 1 `
` S _ ( 21 ) = ( - 1 ) ^( 2 + 1 ) |{:( 1, 1 ) ,( 1, 0 ) :} | = - ( 0 -1 ) = 1 `
` S _ ( 22 ) = ( - 1 ) ^( 2 + 2 ) |{:( 0,1) , ( 1, 0 ) :}| = ( 0 - 1 ) = - 1 `
` S _ ( 23 ) = ( - 1 ) ^ ( 2 + 3 ) |{:( 0 , 1 ) , ( 1, 1 ) :}| = - ( 0 - 1 ) = - 1 `
` S _ ( 31 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 1 ) |{:( 1 , 1 ) , ( 0 , 1 ) :}| = ( 1 - 0 ) = 1 `
` S _ ( 32 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 2 ) |{:( 0 , 1 ) ,( 1, 1 ) :} | = - ( 0 - 1 ) = 1 `
` S_ ( 33 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 3 ) |{:( 0 , 1 ) , ( 1, 0 ) :}| = ( 0 - 1 ) = - 1 `
` therefore adj S = [{:( - 1, 1, 1 ) , ( 1, - 1 , 1 ) , ( 1, 1 , - 1 ) :}] `
अतः ` S^( - 1 ) = ( adj S ) /( |S| ) = ( 1 ) /( 2 ) [{:( - 1, 1, 1 ) , ( 1 , - 1, 1 ) ,( 1, 1 , - 1 ) :}] `
अब `SA = [{:( 0 , 1, 1 ) , ( 1, 0 , 1 ) , ( 1, 1, 0 ):}] xx ( 1 ) /( 2 ) [{:( b + c, c - a, b - a ) ,( c - b , c + a , a - b ) , ( b - c , a - c , a + b ) :}] `
` = ( 1 ) /( 2) [{:( 0 + c- b + b - c ,, 0 + ( c + a ) + ( a - c ) ,, 0 + ( a - b ) + ( a + b ) ), ( ( b + c ) + 0 + ( b - c ) ,, ( c - a ) + 0 + ( a - c ) ,, ( b - a ) + 0 + ( a + b )) , ( ( b + c ) + ( c - d ) + 0 ,, ( c - a ) + ( c + a ) + 0 ,, ( b - a ) + ( a - b ) + 0 ) :}]`
` = ( 1 ) /( 2 ) [{:( 0 , 2a , 2a ) , ( 2b, 0 , 2b ) , ( 2c, 2c , 0 ) :}] = [{:( 0 , a, a ) , ( b, 0 , b ) , ( c, c, 0 ):}] `
` therefore SAS^( - 1 ) = ( 1 ) /( 2 ) xx [ {:( 0 , a , a ) , ( b , 0 , b ), ( c , c , 0 ) :}][{:( - 1,1, 1) , ( 1, - 1 , 1 ) , ( 1, 1 , - 1 ) :}] `
` = ( 1 ) /( 2 ) [{:( 0 + a + a , 0 - a + a , 0 + a - a ) , ( - b + 0 + b , b + 0 + b , b + 0 - b ) , ( - c + c + 0 , c - c + 0 , c + c - 0 ) :}] `
` = ( 1 ) /( 2 ) [{:( 2a, 0 , 0 ) ,( 0 , 2b , 0 ) , ( 0 , 0 , 2c ) :}] `
` = [{:( a, 0 , 0 ) , ( 0 , b , 0 ) , ( 0 , 0 , c ) :} `
` rArr SAS^( - 1 ) ` एक विकर्ण आव्यूह है | यही सिद्ध करना था |
Discussion
4.

आव्यूह `A=[{:(,a,b),(,c,(1+bc)/(a)):}]` का व्यत्क्रम ज्ञात कीजिएः और दर्शाइए की `aA^(-1)=(a^(2)+bc+1)1-aA.`

Answer» दिया गया है :
` A = [{:(a,, b ) , ( c, ( 1 + bc ) /( a ) ) :}] `
` therefore |A| = |{:(a, b ) , ( c , ( 1 + bc ) /( a ) ) :}| `
` rArr |A| = a ( (1 + bc ) /( a )) - bc `
`rArr |A| = 1 + bc - bc = 1 ne 0 `
` rArr A^( - 1 ) ` का अस्तित्व है |
A के अवयवों के सहखण्ड है -
` A _ (11 ) = ( 1 + bc ) /( a ) , A _ ( 12 ) = - c , A _ ( 21 ) = - b , A _ ( 22 ) = a `
` therefore adj A = [{:( ( 1 + bc ) / ( a ) ,, - b ) , ( - c,, a ) :}] `
अतः ` A^( - 1 ) = ( adj A ) /( | A| ) = [{:( ( 1 + bc ) /( a ) , - b ) , ( - c , a ) :}] `
अब ` aA^( - 1 ) = a [{:( ( 1 + bc ) /( a ) , - b ) , ( - c , a ) :}] =[{:( 1 + bc, - ab ) , ( - ac , a ^ 2):}]" " `...(1) साथ ही `(a^(2)+bc+1)I-aA`
`=(a^(2)+bc+1)[{:(,1,0),(,0,1):}]-a [{:(,a,b),(,c,(1+bc)/(a)):}]`
`[{:(a^(2)+bc+1-a^(2),0-ab),(0-ac,a^(2)+bc+1-bc):}]`
`=[{:(,1+bc,-ab),(,-ac,a^(2)):}]`......(2)
सेमि (1) और (2) से `(a^(2)+bc+1)I-aA=aA^(-1)`
Discussion
5.

आव्यूह `A=[{:(,-1,5),(,-3,2):}]` का व्यत्क्रम ज्ञात कीजिएः

Answer» यहाँ `A=[{:(,-1,5),(,-3,2):}]`
`therefore |A|=|{:(,-1,5),(,-3,2):}|`
`therefore |A|=|{:(,-1,5),(,-3,2):}|`
`Rightarrow A^(-1)` का अस्तित्व है
माना A में अवयव `a_(ij)` का सहखण्ड `A_(ij)` है, तब
`A_(11)=(-1)^(1+1)2=2`
`A_(12)=(-1)^(1+2)(-3)=3`
`A_(21)=(-1)^(2+1)5=-5`
`A_(22)=(-1)^(2+2)(-1)=-1`
`therefore "adj A"=[{:(,A_11,A_12),(,A_21,A_22):}]`
`Rightarrow "adj A"=[{:(,2,3),(,-5,-1):}] =[{:(,2,-5),(,3,-1):}]`
अंत: `A^(-1)=("adj A")/(|A|)=1/(13) [{:(,2,-5),(,3,-1):}]`
Discussion
6.

आव्यूह `A=[{:(,3,2),(,1,1):}]` के लिए संख्याएँ और b इस प्रकार ज्ञात कीजिएः की `A^(2)+a A+bI=0` इसकी सहायता से `A^(-1)` ज्ञात कीजिएः

Answer» यहाँ
` A = [{:(3,,2),(1,,1):} ]`
` therefore A^ 2 = A.A= [ {:(3,,2),(1,,1):}][{:(3,,2),(1,,1):}] `
`rArr A^ 2 = [{:(11,,8) ,(4,,3) :}] `
अब ` A^ 2 + aA + bI = 0 `
` rArr [{:( 11,8) ,(4, 3 ) :}] + a [{:(3, 2 ) , ( 1, 1 ) :}] + b [{:(1, 0 ) , ( 0 , 1 ) :}] = [{:( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) :}] `
`rArr [ {:( 11,8) ,( 4, 3 ) :}]+ [{:( 3a, 2a ) , ( a, a ) :}] + [{:( b , 0 ) , ( 0 , b ) :}] = [{:( 0 , 0 ) , ( 0, 0):}] `
` rArr [{:( 11 + 3a + b, 8 + 2a ) , ( 4 + a, 3 + a + b ) :}] = [{:( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) :}] `
` rArr 11 + 3a + b = 0 " " `...(1 )
` 8 + 2a = 0 " " `...(2)
` 4 + a = 0 " " `... ( 3 )
` 3 + a + b = 0 " " `...(4)
` therefore a = - 4 , b = 1 ` [सही (3 ) और (4 ) से ]
अब ` a = - 4 ` और ` b = 1 ` संबंध `A^ 2 + aA + bI = 0 ` में रखने पर,
` A^ 2 - 4 A + I = 0 `
` rArr A^( - 1 ) A^ ( 2 ) -4 A^( - 1 ) A + A^( - 1 ) I = 0 `
`[A^( - 1 ) ` से दोनों पक्षों में पूर्व गुणन करने पर ]
` rArr A - 4I + A^( - 1 ) = 0 `
` rArr 4I - A = A^( - 1 ) `
` [ because AA^( -1 ) = I ` और ` A.I = A ]`
` rArr A^( - 1 ) = 4 [ {:( 1,0 ) , ( 0 , 1 ) :}] - [{:( 3, 2 ) , ( 1, 1 ) :}] `
` rArr A^( - 1 ) = [{:( 4, 0 ) , ( 0 , 4 ) :}] - [{:( 3, 2 ) , ( 1, 1 ) :}] `
` rArr A^( - 1 ) = [{:( 1 , - 2 ) , ( - 1, 3 ) :}] `
Discussion
7.

आव्यूह `A=[{:(,cos alpha,-sin alpha,0),(,sin alpha,cos alpha,0),(,0,0,1):}]` के लिए सत्यापित कीजिएः -A(adj A)=|A| I.

Answer» यहाँ `A=[{:(,cos alpha,-sin alpha,0),(,sin alpha,cos alpha,0),(,0,0,1):}]`
माना A में अवयव `a_(ij)` का सहखण्ड `A_(ij)` है तब
`A_(11)-|{:(cos alpha,0),(0,1):}|=cos alpha`
`A_(12)=-|{:(,sin alpha, 0),(,0,1):}|=-(sin alpha-0)=-sin alpha`
`A_(13)=-|{:(,sin alpha, cos alpha),(,0,0):}|=0`
`A_(21)=-|{:(,sin alpha,0),(,0,1):}|=-(sin alpha-0)=-sin alpha`
`A_(22)=-|{:(,cos alpha,0),(,0,1):}|=cos alpha`
`A_(23)=-|{:(,cos alpha,-sin alpha),(,0,1):}|=0`
`A_(31)=-|{:(,-sin alpha,0),(,cos alpha,0):}|=0`
`A_(32)=-|{:(,-cosalpha,0),(,sin alpha,0):}|=0`
`A_(33)=-|{:(,cos alpha,-sin alpha),(,sin alpha, cos alpha):}|=cos^(2)alpha+sin^(2)alpha=1`
`therefore adj A=[{:(,A_11,A_12,A_13),(,A_21,A_22,A_23),(,A_31,A_32,A_33):}]`
`therefore adj A=[{:(,A_11,A_21,A_31),(,A_12,A_22,A_32),(,A_13,A_23,A_33):}]`
`therefore adj A=[{:(,cos alpha,sinalpha,0),(,-sin alpha,cos alpha,0),(,0,0,1):}]`
अब `|A|=|{:(,cos alpha,-sin alpha,0),(,sin alpha,cos alpha,0),(,0,0,1):}|`
`=1xx |{:(,cos alpha,-sin alpha),(,sin alpha,cos alpha):}|=cos^(2)alpha+sin^(2)alpha=1`
और `"A.(adj A)"=[{:(,cos alpha,-sin alpha,0),(,sin alpha,cos alpha,0),(,0,0,1):}][{:(,cos alpha,sin alpha,0),(,-sin alpha,cos alpha,0),(,0,0,1):}]`
`Rightarrow "A.(adj A)"=[{:(,1,0,0),(,0,1,0),(,0,0,1):}]=I`
`Rightarrow "A.(adj A)"=1.I=|A|I.` यही सिद्ध करना था
Discussion
8.

आव्यूह `[{:(,-1,-2,-2),(,2,1,-2),(,2,-2,1):}]` का सहखंडज ज्ञात कीजिएः तथा दर्शाइए की- A(adj a)=|A| `I_(3)`

Answer» यहाँ A `[{:(,-1,-2,-2),(,2,1,-2),(,2,-2,1):}]`
माना `A_(ij)" अवयव "a_(ij)` का A में सहखण्ड है तब
`A_(11)=|{:(,1,-2),(,-2,1):}|=1-4=-3`
`A_(12)=|{:(,2,-2),(,2,1):}|=-(2+4)=-6`
`A_(13)=|{:(,2,1),(,2,-2):}|=-(4-2)=-6`
`A_(21)=|{:(,-2,-2),(,-2,1):}|=-(-2-4)=6`
`A_(22)=|{:(,-1,-2),(,2,1):}|=-(-1+4)=3`
`A_(23)=|{:(,-1,-2),(,2,-2):}|=(-1+4)=3`
`A_(31)=|{:(,-2,-2),(,1,-2):}|=(4+2)=6`
`A_(32)=|{:(,-1,-2),(,2,-2):}|=-(2+4)=6`
`A_(33)=|{:(,-1,-2),(,2,1):}|=(-1+4)=3`
`therefore "adj A"=[{:(,A_11,A_12,A_13),(,A_21,A_22,A_23),(,A_31,A_32,A_33):}]=[{:(,A_11,A_21,A_31),(,A_12,A_22,A_32),(,A_13,A_23,A_33):}]`
`Rightarrow "adj A"=[{:(,-3,6,6),(,-6,3,-6),(,-6,-6,3):}]`
अब `|A|=|{:(,-1,-2,-2),(,2,1,-2),(,2,-2,1):}|`
`=-1(1+4)+2(2+4)-2(-4-2)`
`=-1(-3)+2(6)-2(-6)`
`=3+12+12=27`
`"A(adj A)"=[{:(,-1,-2,-2),(,2,1,-2),(,2,-2,1):}]=[{:(,-3,6,6),(,-6,3,-6),(,-6,-6,3):}]`
`=[{:(,3+12+12,-6-6+12,-6+12-6),(,-6-6+12,12+3+12,12-6-6),(,-6+12-6,12-6-6,12+12+3):}]`
`=[{:(,27,0,0),(,0,27,0),(,0,0,27):}]=27[{:(,1,0,0),(,0,1,0),(,0,0,1):}]`
`=27I_(3)`
`=|A|I_(3)`
अंत: `"A.(adj A)"=|A|I_(3)`. यही सिद्ध करना था
Discussion
9.

आव्यूह `[{:(,2,3),(,-4,-6):}]` का सहखंडज ज्ञात कीजिएः तथा सत्यापित कीजिएः- A(adj A)=(adj A)A=|A|I.

Answer» यहाँ `A=[{:(,2,-3),(,-4,-6):}]` माना A से अवयव `A_(y)` का सहखंड है, तब
`A_(11)=2 "का सहखण्ड" =-6`
`A_(12)=3"का सहखण्ड" =-(-4)=4`
`A_(21)=-4 "का सहखण्ड" =-3`
`A_(22)=-6 "का सहखण्ड" =2`
`therefore A=[{:(,A_(11),A_(12)),(,A_(21),A_(22)):}]=[{:(,A_(11),A_(12)),(,A_(12),A_(22)):}]=[{:(,-6,-3),(,4,2):}]`
अब `A(adj A)=[{:(,2,3),(,-4,-6):}]=[{:(,-6,-3),(,4,2):}]`
`=[{:(,-12+12,-6+6),(,24-24,12-12):}]=[{:(,0,0),(,0,0):}]...(1)`
अब `"A(adj A)A"=[{:(,-6,-3),(,4,2):}] [{:(,2,3),(,-4,-6):}]`
`=[{:(-12+12,-18+18),(8-8,12-12):}]=[{:(,0,0),(,0,0):}]`......(2)
`|A|=|{:(,2,3),(,-4,-6):}|=-12-(-12)=0`
`therefore |A|=I=0[{:(,1,0),(,0,1):}]=[{:(,0,0),(,0,0):}]`....(3)
सेमि (1), (2) और (3) से
A(adj A)=(adj A)A=|A|I. यही सिद्ध करना था
Discussion
10.

यदि `A=[{:(,1,-2,1),(,-2,3,1),(,1,1,5):}]` हो, तो सत्यापित कीजिएः `-(adj A)^(-1)=adj A^(-1)`.

Answer» यहाँ `A=[{:(,1,-2,1),(,-2,3,1),(,1,1,5):}]`
`therefore |A|=|{:(,1,-2,1),(,-2,3,1),(,1,1,5):}|`
`=1(15-1)+2(-10-1)+1(-2-3)`
`Rightarrow |A|=14-22-5=13 ne 0`
`Rightarrow A^(-1)` का अस्तित्व है
माना A में `a_(ij) `का सहखण्ड `A_(ij) `है, तब
`A_(11)=(-1)^(1+1)|{:(,3,1),(,1,5):}|=15-1=14`
`A_(12)=(-1)^(1+2)|{:(,-2,1),(,1,5):}|=-(-10-1)=11`
`A_(13)=(-1)^(1+3)|{:(,-2,3),(,1,1):}|=-(-2-3)=5`
`A_(21)=(-1)^(2+1)|{:(,-2,1),(,1,5):}|=-(-10-1)=11`
`A_(22)=(-1)^(2+2)|{:(,1,1),(,1,5):}|=-(5-1)=4`
`A_(23)=(-1)^(2+3)|{:(,1,-2),(,1,1):}|=-(1+2)=-3`
`A_(31)=(-1)^(3+1)|{:(,-2,1),(,3,1):}|=-(2-3)=-5`
`A_(32)=(-1)^(3+2)|{:(,1,1),(,-2,1):}|=-(1+2)=-3`
`A_(33)=(-1)^(3+3)|{:(,1,-2),(,-2,3):}|=-(3-4)=-1`
`therefore "adj A"=[{:(,14,11,-5),(,11,4,-3),(,-5,-3,-1):}]=[{:(,14,11,-5),(,11,4,-3),(,-5,-3,-1):}]`
अंत: `A^(-1) =("adj A")/(|A|)=(1)/(-13)[{:(,14,11,-5),(,11,4,-3),(,-5,-3,-1):}]`
`Rightarrow A^(-1) =[{:(,14/13,(-11)/13,5/13),(,(-11)/(13),(-4)/(13),(-3)/13),(,5/13,3/13,1/13):}]`
`A^(-1)` के अवयवों का सहखण्ड है
`C_11=(-1)^(1+1)|{:(,(-4)/(13),(3)/(13))/(,(3)/(13),(1)/(13)):}|=-(1)/(13)`
`C_12=(-1)^(1+2)|{:(,(-11)/(13),(3)/(13))/(,(5)/(13),(1)/(13)):}|=(2)/(13)`
`C_13=(-1)^(1+3)|{:(,(-11)/(13),(-4)/(13))/(,(5)/(13),(1)/(13)):}|=-(1)/(13)`
`C_21=(-1)^(2+1)|{:(,(-11)/(13),(5)/(13))/(,(3)/(13),(1)/(13)):}|=(2)/(13)`
`C_22=(-1)^(2+2)|{:(,(-14)/(13),(5)/(13))/(,(5)/(13),(1)/(13)):}|=-(3)/(13)`
`C_23=(-1)^(2+3)|{:(,(-14)/(13),(-11)/(13))/(,(5)/(13),(3)/(13)):}|=-(1)/(13)`
`C_31=(-1)^(3+1)|{:(,(-11)/(13),(5)/(13))/(,(-4)/(13),(3)/(13)):}|=-(1)/(13)`
`C_32=(-1)^(3+2)|{:(,(-14)/(13),(5)/(13))/(,(-11)/(13),(3)/(13)):}|=-(1)/(13)`
`C_33=(-1)^(3+3)|{:(,(-14)/(13),(-11)/(13))/(,(-11)/(13),(4)/(13)):}|=-(5)/(13)`
`therefore "adj "A^(-1)=[{:(,-(1)/(13),(2)/(13),(-1)/(13)),(,(2)/(13),(-3)/(13),(-1)/(13)),(,(-1)/(13),(-1)/(13),(-5)/(13)):}]`
`therefore "adj "A^(-1)=[{:(,-(1)/(13),(2)/(13),(-1)/(13)),(,(2)/(13),(-3)/(13),(-1)/(13)),(,(-1)/(13),(-1)/(13),(-5)/(13)):}]`
अब: (adj A) `("adj A"^(-1))` `=[{:(,14,11,-5),(,11,4,-3),(,-5,-3,-1):}] [{:(,-(1)/(13),(2)/(13),(-1)/(13)),(,(2)/(13),(-3)/(13),(-1)/(13)),(,(-1)/(13),(-1)/(13),(-5)/(13)):}]`
`Rightarrow ("adj A")("adj A"^(-1))=|{:(,1,0,0),(,0,1,0),(,0,0,1):}|=I_(3)`
इसी प्रकार `("adj A"^(-1))("adj A)=I_(3)`
`therefore (adj A")("adj A"^(-1))=I_(3)=(adj A^(-1)(adj A)`
`Rightarrow ("adj A"^(-1))=("adj A"^(-1))=|{:(,-1/13,2/13,(-1)/13),(,2/13,(-3)/13,(-1)/13),(,(-1)/13,(-1)/13,(-5)/13):}|` यही सिद्ध करना था
Discussion
11.

आव्यूह A के लिए `A^(3)=I,` तब `A^(-1)=`A. AB. `A^(3)`C. `A^(2)`D. I

Answer» Correct Answer - C
Discussion
12.

सममित आव्यूह का व्यत्क्रम होता हैA. सममितB. विषम सममितC. विकर्ण आव्यूहD. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
13.

यदि A एक अव्यतक्रमणीय आव्यूह हो, तो adj A होगाA. अव्यतक्रमणीयB. व्यत्क्रमणीयC. सममितD. अपरिभाषित

Answer» Correct Answer - A
Discussion
14.

यदि A एक व्युत्क्रमीय आव्यूह हो, तो `det.(A^(-1))` बराबर होगाA. det. (A)B. `(1)/(det. (A))`C. 1D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion