InterviewSolution
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| 51. |
एक समांतर श्रेणी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अन्तिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - 12 | |
| 52. |
यदि a,b,c समान्तर में हों, तो सिध्द कीजिए कि- `(a(b+c))/(bc),(b(c+a))/(ca),(c(a+b))/(ab)` भी समान्तर श्रेणी में होंगे | |
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Answer» दिया है-a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं | `rArr " "2b=a+c rArrb=(a+c)/(2)` `(a(b+c))/(bc),(b(c+a))/(ca),(c(a+b))/(ab)` को समान्तर श्रेणी में सिध्द करने के लिए हमें सिध्द करना है कि `(2b(c+a))/(ca)=(a(b+c))/(bc)+(c(a+b))/(ab)` `rArr " "2b^(2)(c+a)=a^(2)(b+c)+C^(2)(a+b)` `rArr ""2((a+c)^(2))/(4)(c+a)=a^(2)((a+c)/(2)+c)+c^(2)(a+(a+c)/(2))` `rArr " "((a+c)^(3))/(2)=a^(2)((a+3c)/(2))+c^(2)((3a+c)/(2))` `rArr " "(a+c)^(3)=a^(2)(a+3c)+C^(2)(3a+c)` `rArr a^(3)+c^(3)3a^(2)c+3ac^(2)=a^(3)c+3ac^(2)+c^(3)` `rArr ""0=0`, जोकि सत्य है | इसलिए दी गई संख्याएँ श्रेणी में होंगी | |
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| 53. |
श्रेणी 4, 2, 1, ……. का 10 वां पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दी गयी श्रेणी है - 4, 2, 1, …….. इसका प्रथम पद a = 4 तथा सार्वअंतर `r=(2)/(4)=(1)/(2)` श्रेणी का 10 वां पद `=T_(10)=ar^(10-1)` `=4((1)/(2))^(9)` `=4xx(1)/(512)=(1)/(128)`. |
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| 54. |
समांतर श्रेणी की उन पाँच संख्याओं को ज्ञात करो जिनका योगफल 25 और जिनके वर्गों का योगफल 135 हो। |
| Answer» Correct Answer - 3, 4, 5, 6, 7 या 7, 6, 5, 4, 3 | |
| 55. |
यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल `(pn +qn ^(2 ))` है, जहाँ p तथा q अचर हों, तो सार्वअंतर ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - 2q | |
| 56. |
यदि `a^(2)(b+c),b^(2)(c+a),c^(2)(a+b)` A. P. में हो तो या तो a, b, c A. P. में है या ab+bc+ca=0 |
| Answer» Add `ab+bc+ca-a^(2)-b^(2)-c^(2) to each term and proceed | |
| 57. |
यदि `(b-c)^(2),(c-a)^(2),(a-b)^(2)` समांतर श्रेणी में हो, तो सिद्ध करो कि `(1)/(b-c),(1)/(c-a),(1)/(a-b)` भी समांतर श्रेणी में है। |
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Answer» चूँकि `(b-c)^(2),(c-a)^(2),(a-b)^(2)` समान्तर श्रेणी में हैं। इसलिए `(c-a)^(2)-(b-c)^(2)=(a-b)^(2)-(c-a)^(2)` `hArr (a-b)(a+b-2c)=(b-c)(b+c-2a)` `hArr (a+b-2c)/(b-c)=(b+c-2a)/(a-b)` `hArr ((b-c)+(c-a))/((b-c)(c-a))=((c-a)+(b-a))/((a-b)(c-a))` `hArr (1)/(c-a)-(1)/(b-c)=(1)/(a-b)-(1)/(c-a)` `therefore (1)/(b-c),(1)/(c-a),(1)/(a-b)` समान्तर श्रेणी में हैं। |
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| 58. |
यदि n एक विषम संख्या हों, तो निम्नलिखित श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए- `1^(2)+2.2^(2)+3^(2)+2.4^(2)+5^(2)+2.6^(2)+….` |
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Answer» `therefore ` n एक विषम संख्या है। माना n = 2p + 1 , जहाँ p कोई पूर्णांक है। अतः श्रेणी के n पदों का योग = श्रेणी के `(2p +1 ) ` पदों का योग = श्रेणी के `{(p +1 ) +p } ` पदों का योग `=[1^(2)+3^(2)+5^(2)+...(p+1) " पद"]+2[2^(2)+4^(2)+6^(2)+...p" पद"]` `=(1)/(3)(p+1)*[4(p+1)^(2)-1+4p(2p+1)]` `=(1)/(3)(p+1)*[4p^(2)+8p+4-1+8p^(2)+4p]` `(1)/(3)(p+1)(12p^(2)+12p+3)` `=(p+1)(4p^(2)+4p+1)` `=(p+1)(2p+1)^(2)` `=[(n-1)/(2)+1]n^(2)," " because n=2p+1, therefore p=(n-1)/(2)` `=(1)/(2)(n+1)n^(2).` |
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| 59. |
श्रेणी 3+5+9+15+23+……… का 30 वां पद होगा…………. |
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Answer» Correct Answer - 873 माना कि `S=3+5+9+15+23+.........+t_(n)" ".......(1)` पुनः `S=3+5+9+15+23+......+t_(n-1)+t_(n)" ".......(2)` (1) में से (2) को घटाने पर, `0=3+[2+4+6+......(n-1)` पदों तक ] `-t_(n)` या `t_(n)=3+(n-1)/(2)[2xx2+(n-2)2]` `=3+(n-1)n=n^(2)-n+3` `:.t_(30)=30^(2)-30+3=873` |
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| 60. |
यदि एक समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों के योगफल क्रमशः a, b, c हों, तो सिद्ध करो कि `(a)/(p)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)=0.` |
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Answer» मानलो x प्रथम पद और d सार्वअंतर है, तब `a=(1)/(2)p{2x+(p-1)d}" " `...(1) `b=(1)/(2)q{2x+(q-1)d} " " `...(2) `c=(1)/(2)r{2x+(r-1)d} " " `...(3) (1 ) को `qr (q - r ) ` से , (2 ) को `rp (r - p ) ` से और (3 ) को `pq (p - q ) ` से गुना करने पर, `aqr(q-r)=pqr{x(q-r)+(1)/(2)(p-1)(q-r)d}` `brp(r-p)=pqr{x(r-p)+(1)/(2)(q-1)(r-p)d}` `cpq(p-q)=pqr{x(p-q)+(1)/(2)(r-1)(p-q)d}` इन्हें जोड़ने पर, `aqr(q-r)+brp(r-p)+cpq(p-q)=0` pqr से भाग देने पर `(a)/(p)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)=0.` |
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| 61. |
यदि किसी समांतर श्रेणी के p वें, q वें, r वें पद क्रमशः a , b , c हों, तो सिद्ध करों कि `a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0.` |
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Answer» मानलो दी हुई श्रेणी का प्रथम पद x और सार्वअन्तर y है, तो `a=x+(p-1)y " "`...(1) `b=x+(q-1)y " "`...(2) `c=x+(r-1)y " "` ...(3) (1) से (2) को घटाने पर, `a-b=(p-q)y " " `...(4) (2) से (3) को घटाने पर, `b-c=(q-r)y " "`...(5) `therefore` (4) में (5) से भाग देने पर, `(a-b)/(b-c)=(p-q)/(q-r)` अर्थात `(a-b)(q-r)=(p-q)(b-c)` अर्थात `a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0.` |
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| 62. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=3^(n)` |
| Answer» Correct Answer - 3, 9, 27, 81, 243 | |
| 63. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=(-1)^(n).n^(2)` |
| Answer» Correct Answer - `-1, 4, -9, 16, -25` | |
| 64. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=n(n-1)` |
| Answer» Correct Answer - 0, 2, 6, 12, 20 | |
| 65. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=(n -1)/(n+1)` |
| Answer» Correct Answer - `0,(1)/(3),(1)/(2),(3)/(5),(2)/(3)` | |
| 66. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=(3n +1)/(5)` |
| Answer» Correct Answer - `(4)/(5),(7)/(5),2,(13)/(5),(16)/(5)` | |
| 67. |
`sum_(r=5)^(10)(r^(2)-2r+1)` का मान हैA. 285B. 271C. 371D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - B |
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| 68. |
`sum_(r=1)^(n)(3^(r)-2^(r))=.............` |
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Answer» Correct Answer - A::B::C `sum_(r=1)^(n)(3^(r)-2^(r))=sum_(r=1)^(n)3^(r)-sum_(r=1)^(n)2r` `=(3+3^(2)+3^(3)+.........+3^(n))=(3(3^(n)-1))/(3-1)=(2(2^(n)-1))/(2-1)` `=(3^(n+1))/(2)-(3)/(2)-2^(n+1)+2(2+2^(2)+2^(3)+..........+2^(n))` `=(3^(n+1))/(2)-2^(n+1)+(1)/(2)=(3^(n+1)-2^(n+2)+1)/(2)` |
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| 69. |
दिए अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए जिनका n वाँ पद दिए हैं - (a) `a_(n)=4n-3, a_(17),a_(24)` (b) `a_(n)=(n(n-2))/(n+3),a_(20)` (c) `a_(n)=(-1)^(n-1)n^(3),a_(9)` (d) `a_(n)=(n^(2))/(2^(n)),a_(7)` |
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Answer» (a ) दिया है - `a_(n)=4n-3` `n=17` रखने पर `a_(17)=4xx17-3` `=68-3` `a_(17)=65.` `n=24` रखने पर `a_(24)=4xx24-3` `=96-3` `a_(24)=93.` (b) `a_(n)=(n(n-2))/(n+3)` `n=20` रखने पर `a_(20)=(20(20-2))/(20+3)` `=(20xx8)/(23)=(360)/(23)` `a_(20)=(360)/(23)` (c) `a_(n)=(-1)^(n-1)n^(3)` `n=9` रखने पर , `a_(9)=(-1)^(8)(9)^(3)` `=9xx9xx9` `=729` अतः `a_(9)=729.` (d) `a_(n)=(n^(2))/(2^(n))` `n=7` रखने पर, `a_(7)=(7^(2))/(2^(7))` अतः `=(49)/(128).` |
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| 70. |
यदि a, b, c, G. P. में है तो `a^(2),ab,ac` G. P. में होंगेA. TrueB. FalseC.D. |
| Answer» a, b, c, G. P. में है `impliesa.a,a.b,a.c` G. P. में है | |
| 71. |
यदि तीन संख्याएँ A. P. में हो तो उनका वर्ग G. P. में नहीं हो सकताA. TrueB. FalseC.D. |
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Answer» माना कि A. P. में तीन संख्याएँ `alpha-beta,alpha,alpha+beta` है अब `(alpha-beta)^(2),alpha^(2),(alpha+beta)^(2)` G. P. में है `impliesalpha^(4)=(alpha^(2)-beta^(2))^(2)impliesalpha^(4)+beta^(4)-2alpha^(2)beta^(2)impliesbeta^(2)(beta^(2)-alpha^(2))=0` `impliesbeta=0" या "beta=pmsqrt2alpha` `beta=0` लेने पे तीनो संख्याएँ `alpha,alpha,alpha` होगी जो A. P. में है तथा उनका वर्ग `alpha^(2),alpha^(2),alpha^(2)` G. P. में होगी । |
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| 72. |
समांतर श्रेणी के तीन संख्याओं का योग 15 है । इन संख्याओं में क्रमानुसार 1, 4, 19 जोड़ने पर ये गुणोत्तर श्रेणी में हो जाती है। संख्याऍं ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - 2, 5, 8 या 26, 15, -16 | |
| 73. |
ये a, b, c समांतर श्रेणी में है, तो श्रेणी `(a)/(bc), (1)/(c ),(2)/(b)` होगी -A. समांतर श्रेणीB. कोई श्रेणी नहींC. गुणोत्तर श्रेणीD. हरात्मक श्रेणी |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 74. |
यदि `(3+5+7+....+n)/(5+8+11+....10 "पद")=7`, तो n का मान होगा -A. 35B. 36C. 37D. 40 |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 75. |
श्रेणी `(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(6)+……..` के 9 पदों का योग होगा -A. `-(5)/(6)`B. `-(1)/(2)`C. 1D. `-(3)/(2)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 76. |
यदि a, b, c, d, e समांतर श्रेणी में है, तो e - c का मान होगा -A. 2 (c - a)B. 2 (d - c)C. 2 (f - d)D. (d - c) |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 77. |
श्रेणी 1+5+11+19+2+29+...के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए | |
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Answer» स्पष्टतः श्रेणी के क्रमागत पदों के अन्तर 4,6,8,10... हैं जो समान्तर श्रेणी में है | माना `" "S_(2)=1+5+11+19+...t_(n)" "`.....(i) पुनः माना `""S_(n)=1+5+11+...t_(n-1)+t_(n)" "`....(ii) समीरकण (i)में से (ii)को घटाने पर `t_(n)=1+{4+6+8+....(n-1)पद}` `=1+(n-1)/(2)[2xx4+(n-1-1)2]` `=1+(n+1)(n+2)=1+n^(2)+n-2` `=n^(2)+n-1` अब `" "S_(n)=Sigma t_(n)=Sigma (n^(2)+n-1)=Sigma n^(2)+Sigma +n-Sigma 1` `=(n(n+1)(2n+1))/(6)+(n(n+1))/(2)-n` `=(n(n^(2)+3n-1))/(3)` |
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| 78. |
3 तथा 19 के बीच 3 समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना 3 व 19 के बीच 3 समान्तर माध्य `A_(1),A_(2)` व `A_(3)` होंगे | परिभाषानुसार `3,A_(1),A_(2),A_(3),19` समान्तर श्रेणी में होंगे | यहाँ कुल पदों की संख्या=5 a=3 `:. ""3+4d=19 rArr d=4` `:. " "A_(1)=a+d=3+4=7` `A_(2)=a+2d=3+8=11` तथा `" "a_(3)=a+3d=3+12=15` |
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| 79. |
स श्रेणी के 8 पदों का योगफल है 64 और 19 पदों का क्षेत्रफल 36 है तो n पदों का योगक्फल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `n^(2)` |
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| 80. |
किसी समान्तर श्रेणी के दो पदों के का अन्तर 6 है तथा उनके बीच समान्तर माध्य का मान 8 है,तो पदों के मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना a व b दो संख्याएँ है तथा `a gt b" "`.....(i) तथा `" " (a+b)/(2)=8` `rArr" "a+b=16" "`.....(ii) समीकरण (i) व (ii)को हल करने पर a=11,b=5 `rArr` 11 व 5 वांछित संख्याएँ है | |
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| 81. |
श्रेणी `5+11+19+29+41+………………..` के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» मान लीजिए श्रेणी के n पदों का योगफल S है, तब `{:(,S=5+11+19+29+41+......+T_(n)),("और ",S=" "+5+11+19+29+......+T_(n)-1+T_(n)),("घटाने पर,",bar(0=5+6+8+10+12+......+(T_(n)-T_(n-1))-T_(n))):}` या `T_(n)=5+[6+8+10+12+......(n-1) "पदों तक"]` `=5+[(n-1)/(2){2xx6+(n-1-1)2}]` `=5+ [(n-1)/(2){12+(n-2)2}]` `=5+[(n-1)/(2){2n+8}]` `=5+(n-1)(n+4)` `=5+n^(2)-n+4n-4` `=n^(2)+3n+1` अब n पदों का योगफल, `S= Sigma(n^(2)+3n+1)` `=Sigman^(2)+3Sigman+Sigma1` `=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)+(3)/(2)(n^(2)+n)+n` `=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)+(3)/(2)n(n+1)+n` `=(n(n+1)(2n+1)+9n(n+1)+6n)/(6)` `=(n(2n^(2)+3n+1)+9n^(2)+15n)/(6)` `=(2n^(3)+3n^(2)+n+9n^(2)+15n)/(6)` `=(2n^(3)+12n^(2)+16n)/(6)=(n(n+2)(n+4))/(3).` |
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| 82. |
निम्नांकित श्रेणी के n पदों का योगफल निकालिए 1+5+11+19+29+……. |
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Answer» माना कि श्रेणी का n वां पद `=t_(n)` तथा n पदों का योगफल `S_(n)` है। `:.S_(n)=1+5+11+19+............+t_(n-1)+t_(n)" ".......(1)` `S_(n)=1+5+11+............+t_(n-1)+t_(n)" ".......(2)` घटाने पर, `0=1+4+6+8+.........n` पदों तक `-t_(n)` =1+[4+6+8+.........(n-1) पदों तक ]`-t_(n)` या `t_(n)=1[4+6+8+...............(n-1)` पदों तक] `=1+(n-1)/(2)[2xx4+(n-2).2]` `=1+(n-1)(n+2)=1+n^(2)+2n-n-2=n^(2)+n-1` `:.S_(n)=sumt_(n)=sum(n^(2)+n-1)=sumn^(2)+sumn-sum1` `=[(n(n+1)(2n+1))/(6)+(n(n+1))/(2)-n]` `=(n(n+1))/(2)[(2n+1)/(3)+1]-n=(n(n+1)(2n+4))/(6)-n` `=(n(n+1)(n+2))/(3)-n=(n(n^(2)+3n-1))/(3)` |
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| 83. |
यदि किसी श्रेणी के n पदों का योगफल `5n^(2)+3n`है, तो श्रेणी के प्रथम 5 पदों को ज्ञात कीजिए |
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Answer» दिया है, `" "S_(n)=5n^(2)+3n` `:. " "S_(n-1)=5(n-1)^(2)+3(n-1)` अब `" "T_(n)=S_(n)-S_(n-1)` `=5n^(2)+3n-[5(n-1)^(2)+3(n-)]` `=5n^(2)+3n-[5n^(2)-10n+53n-3]` `=5n^(2)+3n-[5n^(2)-7n+2]` `=5n^(2)+3n-5n^(2)+7n-2` `10n-2` `:. " " T_(1)=10.1-2=8` `T_(2)=10.2-2=18` `T_(3)10.3-2=28` `T_(4)=10.4-2=38` `T_(5)=10.5-2=48` |
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| 84. |
श्रेणी के n पदों तक का जोड़ ज्ञात कीजिए 2+5+14+41+………… |
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Answer» Correct Answer - `(3)/(4)(3^(n)-1)+(n)/(2)` |
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| 85. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1^(2)-2^(2)+3^(2)-4^(2)+.......` to n |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(2)n(n+1)` जब n विषम है और `-(1)/(2)n(n+1)` जब n सम है |
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| 86. |
निम्लिखित श्रेणी के n पदों का योगफल निकालिए `1+(2+3)+(4+5+6)+..........` |
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Answer» यहाँ पहले ब्रैकेट में पदों कि संख्या =1 दूसरे ब्रैकेट में पदों कि संख्या =2 तीसरे ब्रैकेट में पदों कि संख्या =3 `...................` n वे ब्रैकेट में पदों कि संख्या =n `:.` ब्रैकेट हटाने पर बने श्रेणी में पदों की संख्या `=1+2+3+............+n=(n(n+1))/(2)` अब `1+(2+3)+(4+5+6)+.........n` पदों तक `1+2+3+4+5+6+.......(n(n+1))/(2)` पदों तक `=((n(n+1))/(2){(n(n+1))/(2)+1})/(2)` `=(n(n+1))/(2).{(n(n+1)+2)/(2)}.(1)/(2)=(n(n+1)(n^(2)+n+2))/(8)` |
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| 87. |
एक समांतर श्रेणी के चौथे एवं सोलहवें पदों का योगफल 8 है। इस श्रेणी के 19 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सर्वान्तर d है, तब चौथे पद + सोलहवां पद = 8 `(a+3d)+(a+15d)=8` `2a+18d=8` अब श्रेणी के 19 पदों का योगफल `=(19)/(2)[2a+(19-1)d]` `=(19)/(2)[2a+18d]` `=(19)/(2)xx8" "`( उपरोक्त से ) `=76.` |
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| 88. |
यदि p, q, r, s गुणोत्तर श्रेणी में हो, सिद्ध कीजिए कि `(1)/(p^(2)+q^(2)),(1)/(q^(2)+r^(2)),(1)/(r^(2)+s^(2))` भी गुणोत्तर श्रेणी में होंगे । |
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Answer» p, q, r, s गुणोत्तर श्रेणी में दिये हैं। अतः `(q)/(p)=(r)/(q)=(s)/(r)` या `(q^(2))/(p^(2))=(r^(2))/(q^(2))=(s^(2))/(r^(2))` समानुपात के नियम से, `(q^(2)+r^(2))/(p^(2)+q^(2))=(r^(2)+s^(2))/(q^(2)+r^(2))` या `(q^(2)+r^(2))^(2)=(p^(2)+q^(2))(r^(2)+s^(2))` या ` (1)/((q^(2)+r^(2))^(2))=(1)/((p^(2)+q^(2))+(r^(2)+s^(2)))` अतः `(1)/(p^(2)+q^(2)),(1)/(q^(2)+r^(2)),(1)/(r^(2)+s^(2))` गुणोत्तर श्रेणी में हैं। |
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| 89. |
श्रेणी के n पदों तक का जोड़ ज्ञात कीजिए 1+5+13+29+61+………. |
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Answer» Correct Answer - `4(2^(n)-1)-3n` |
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| 90. |
श्रेणी के n पदों तक का जोड़ ज्ञात कीजिए 3+5+9+17+33+…………… |
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Answer» Correct Answer - `2^(n+1)+n-2` |
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| 91. |
श्रेढ़ी `1.4+3.7+5.10+..........` के n पदों का योगफल हैA. `(n^(2)(n+1)^(2))/(4)`B. `(n^(2)(4n^(2)+5n-1))/(2)`C. `(n(4n^(2)+5n-1))/(2)`D. `(4n^(2)+5n-1)/(2)` |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 92. |
श्रेढ़ी `1+(1+2)+(1+2+3)+..........` n के पदों का योगफल हैA. `(n(n+1)(n+2))/(6)`B. `(n(n+1))/(2)`C. `(n(n+1)(n+2))/(12)`D. `(n(n+1)(2n+1))/(6)` |
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Answer» Correct Answer - A |
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| 93. |
यदि किसी A. P. के प्रथम 10 पदों का योग 140 तथा प्रथम 16 पदों का योग 320 हो तो उस A. P. के प्रथम n पदों का योगफल निकालिए। |
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Answer» माना कि A. P. का प्रथम पद a तथा पदान्तर d है प्रश्न से, `S_(10)=140,S_(16)=320,S_(n)=?` सूत्र `S_(n)=(n)/(2)[2a+(n-1)d]` से, `140=(10)/(2)[2a+9d]" या "2a+9d=28" ".......(1)` पुनः `320=(16)/(2)(2a+15d)" या "2a+15d=40" ".......(2)` (2) में से (1) घटाने पर, `6d=12impliesd=2` (1) से, `2a=28-d=28-18=10:.a=5` अब `S_(n)=(n)/(2)[2.5+(n-1)2]=n(n+4)=n^(2)+4n`. |
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| 94. |
32 को ऐसे चार पदों में विभाजित कीजिए कि चारों भाग समान्तर श्रेणी में हो तथा दोनों बाह्य पदों का गुणनफल,अन्दर के दोनों पदों के गुणनफल का अनुपात `7:15` हों | |
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Answer» माना समान्तर श्रेणी के चार पद निम्न प्रकार है | `(a-3d),(a-d)` तथा (a+3d) प्रश्नानुसार `" "32=(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)` `rArr " "32=4a` `rArr " "a=8` तथा `""((a-3d)(a+3d))/((a-d)(a+d))=(7)/(15)` `rArr " " (a^(2)-9d^(2))/(a^(2)-d^(2))=(7)/(15)` `rArr " "(64-9d^(2))/(64-d^(2))=(7)/(15)` `rArr " " 128d^(2)=512` `rArr " "d^(2)=4` `rArr " "d=-+2` इसलिए, 32 के चार पद 2,6,10,14 या 14,10,6,2 होंगे | |
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| 95. |
अनन्त श्रेणी `a^(2)x^(2)+(a^(2)x^(2))/(1-x)+(a^(2)x^(4))/((1-x)^(2))+.......` का योगफल बताओ, जबकि `x lt (1)/(2).` |
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Answer» यहाँ सार्वअनुपात `=(a^(2)x^(3))/(1-x)divide a^(2)x^(2)=(x)/(1-x),` जो 1 से कम है, क्योंकि `x lt (1 )/(2).` `therefore` अभीष्ट योगफल `=(a^(2)x^(2))/(1-(x)/(1-x))=(a^(2)x^(2)(1-x))/(1-2x)`. |
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| 96. |
श्रेणी 1+3+6+10+………… के 10 पदों तक का योग निकालिए। |
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Answer» Correct Answer - 165 |
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| 97. |
श्रेणी `log_(e )a+log_(e )(a^(2))/(b)+log(a^(3))/(b^(2))`+.... के प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए | |
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Answer» स्पष्टतः दी गयी श्रेणी एक समान्तर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद `A=log_(e )a` तथा सार्वअन्तर (D)`=log_(e )(a^(2))/(b)-log_(e )a=log_(e )a=log_(e )((a^(2))/(b).(1)/(a))=log_(e )((a)/(b))` `:.` श्रेणी के प्रथम n पदों का योग `=(n)/(2)[2A+(n-1)D]` `=(n)/(2)[2log_(e )a+(n-1)log_(e )(a)/(b)]` `=(n)/(2)[2 log_(e )a+(n-1)(log_(e )a-log_(e )b)]` `=(n)/(2)[2log_(e )a+(n-1)log_(e )a-(n-1)log_(e )b]` `=(n)/(2)[(2+n-1)log_(e )a-(n-1)log_(e )b]` `=(n)/(2)[(n+1)log_(e )a-(n-1)log_(e )b]` |
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| 98. |
किसी समांतर श्रेणी के पांचवें और नवें पद क्रमशः 11 और 7 है, सोलहवां पद ज्ञात करो । |
| Answer» Correct Answer - `T_(16)=0` | |
| 99. |
निम्नांकित श्रेणी का n वां पद ज्ञात कीजिए 2+4+7+11+16+………. |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(2)(n^(2)+n+2)` |
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| 100. |
`7(1)/(3), 9(1)/(2), 11(1)/(4), ……` का 99 वां पद ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `179(1)/(4)` | |