InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 101. |
यदि `(a+bx)/(a-bx)=(b+cx)/(b-cx)=(c+dx)/(c-dx)=(xne0)` तो दिखाइए कि a, b, c, G.P. में है| |
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Answer» यदि `(a+bx)/underset((i))(a-bx)=(b+cx)/underset((ii))(b-cx)=(c+dx)/underset((iii))(c-dx)" ".......(1)` (i) और (ii) से, `(a+bx)/(a-bx)=(b+cx)/(b-cx)` `implies(2a)/(2bx)=(2b)/(2cx)" "` [by componendo and dividendo] `implies(a)/(b)=(b)/(c)` `implies(b)/(a)=(c)/(b)` (ii) और (iii) से, `(b+cx)/(b+x)=(c+dx)/(c-dx)" "......(2)` `implies(2b)/(2cx)=(2c)/(2dx)" "` [by componedo and dividendo] `implies(b)/(c)=(c)/(d)` `implies(c)/(b)=(d)/(c)` (2) और (3) से, हमें मिलता है `(b)/(a)=(c)/(b)=(d)/(c)" "......(3)` अतः a, b, c, d G.P. में से, |
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| 102. |
`(1)/(3),(1)/(9),(1)/(27),..... (1)/(19683)` है ? |
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Answer» Correct Answer - 9 |
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| 103. |
`G.P. 0*03,0*06,0*12.....3,*84` में कितने पद है ? |
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Answer» Correct Answer - 8 |
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| 104. |
यदि a,b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में है, तो सिध्द कीजिए कि- `(a^(2)+ac+c^(2))(b^(2)+bd+d^(2))=(ab+bc+cd)^(2)` |
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Answer» `b=ar,c=ar^(2),d=ar^(3)` बायाँ पक्ष `(a^(2)+a.ar^(2)+a^(2)r^(4))(a^(2)r^(2)+a^(2)r^(2)+a^(2)r^(6))=[a^(2)(1+r^(2)+r^(4))][a^(2)r^(2)(1+r^(2)+r^(4))]` `a^(4)r^(2)(1+r^(2)+r^(4))^(2)` `=(a^(2)r+a^(2)r^(3)+A^(2)r^(5))^(2)=(a.ar+ar.ar^(2)+ar^(2).ar^(3))^(2)` `=(ab+bc+cd)^(2)=दायाँ पक्ष` |
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| 105. |
यदि a,b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, सिध्द कीजिए कि `(b-c)^(2)+(c-a)^(2)+(d-b)^(2)=(a-d)^(2)` |
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Answer» माना a,b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, जिनका सार्वअनुपात r है, तब `" "b=ar,c=ar^(2),d=ar^(3)` माना, बायाँ पक्ष `=(b-c)^(2)+(c-a)^(2)+(d-b)^(2)` `=(Ar-ar^(2))^(2)+(Ar^(2)-a)^(2)+(ar^(3)-ar)^(2)` `={a(r-r^(2))}^(2)+{a(r^(2)-1)}^(2)+{a(r^(3)-r)}^(2)` `a^(2)={(r-r^(2))}^(2)+(r^(2)-1)^(2)+(r^(3)-r)^(2)}` `a^(2){(r^(2)+r^(4)-2r^(3))+(r^(4)+1-2r^(3))+(r^(6)+r^(2)-2r^(4))}` `=a^(2)(r^(6)-2r^(3)+1)=a^(2)(1-r^(3))^(2)` `=(a-ar^(3))^(2)=(a-d)^(2)`=दायाँ पक्ष |
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| 106. |
किसी समान्तर श्रेणी जिसका प्रथम पद 5 अंतिम पद 75 है की 15 पदों का योगफल हैA. 550B. 500C. 600D. 700 |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 107. |
किसी अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योग 2 तथा उसके घणो (Cubes)से बनी अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योग 24 है| श्रेणी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» प्रश्नानुसार `" "(a)/(1-r)=2` तथा `(a^(3))/(1-r^(3))=24" "r lt 1` `rArr " "(1-r^(3))/((1-r)^(3))=(8)/(24)` `rArr " "3(1+r+r^(2))=(1-r)^(2)=1-2r+r^(2)` `rArr " "2r^(2)+5r+2=0` `rArr ""(2r+1)(r+2)=0` `rArr " "r=-(1)/(2),-2` `rArr ""a=3,6` इसलिए वांछित श्रेणी `3-(3)/(2)+(3)/(4)-(3)/(8)+...," "3-6+12-24+...., " "6-12+24-48+..` और `6-3+(3)/(2)-(3)/(4)+...` हैं | |
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| 108. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1+(1+3)+(1+3+5)+……….` to n |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(6)n(n+1)(2n+1)` |
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| 109. |
निम्न श्रेणी का n पदों का योग ज्ञात कीजिए | `1.3.5+3.5.7+5.7.9+...` |
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Answer» माना दी गयी का nवाँ पद `T_(n)` है | इसलिए `T_(n)=(1,3,5...का n वाँ पद)xx (3,5,7...का n वाँ पद)xx(,7,9...का n वाँ पद)` ` =[1+(n-1)2][3+(n-1).2][5+(n-1)2]` `=(2n-1)(2n+1)(2n+3)=8n^(3)+12n^(2)-2n-3` `:. " "S_(n)=SigmaT_(n)=Sigma(8n^(3)+12n^(2)-2n-3)` `=8Sigma n^(3)+12Sigma n^(2)-2Sigma n-3 Sigma.1` `=(8n^(2)(n+1)^(2))/(4)+12(n(n+1)(2n+1))/(6)-(2n(n+1))/(2)-3n` `=n[2n(n+1)^(2)+2(n+1)(2n+1)-(n+1)-3]` `=n[2n^(3)+8n^(2)+7n-2]` |
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| 110. |
किसी समान्तर श्रेणी के p पदों का योगफल q है तथा q पदों का योगफल p है तो इसके (p+q) पदों का योगफल हैA. `P+q`B. `p-q`C. 0D. `-(p+q)` |
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Answer» Correct Answer - D |
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| 111. |
प्रथम `200` प्राकृत संख्याओं का योगफल हैA. 303600B. 20100C. 40200D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - B |
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| 112. |
x और y के बीच संबंध ज्ञात कीजिए यदि x और 2y के बीच में r वां माध्य वही है जो 2xऔर y के बीच में r वां माध्य , यदि प्रत्येक स्थिति में n माध्य रखे गये है |
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Answer» Correct Answer - `ry=(n+1-r)x` |
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| 113. |
दी गई परिभाषाओं के आधार पर निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद बताइए : `It_(n)=(n-3)/(4)` |
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Answer» Correct Answer - `-(1)/(2),-(1)/(4),0` |
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| 114. |
समान्तर अनुक्रम (A.P.) 3, 8, 13, 18,…… का 15वा पद निकालिए। क्या 214 इस A. P. का कोई पद है ? |
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Answer» दिये गये A.P. के लिए a=3, d=8-3=5 15 वा पद के लिए n=15 `:.` सूत्र `t_(n)=a+(n-1)d` से `t_(15)=3+(15-1)5=3+14xx5=3+70=73` अर्थात 15 वा पद =73 अगर संभव है, तो मान लिया कि 214, A.P. का r वा पद है। `:.214=3+(r-1)=5=3+5r-5=5r-2` `:.` 5r=216, जिससे `r=(216)/(5)=43(1)/(5)` जो धनात्मक पूर्णांक नहीं है। चूँकि पदों की संख्या r एक धनात्मक पूर्णांक होगा। अतः r का मान ऋणात्मक या भिन्नात्मक नहीं हो सकता है। `:.216` दिये हुए A.P. का कोई पद नहीं होगा। |
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| 115. |
समान्तर श्रेढ़ी `20 ,25`` ,30`,`……, 100` में कितने पद है ? |
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Answer» दिया गया A.P. है 20, 25, 30,…….,100 यहाँ a=20,t_(n)=100,d=5, n का मान निकलना है। सूत्र से, `t_(n)=a+(n-1)d` `:.100=20+(n-1)5=20+5n-5=15+5n` `:.5n=100-15=85:.n=17` अतः दिए गये A.P. में 17 पद है। |
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| 116. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1.2.3+2.3.4.+3.4.5+.............` to n terms. |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(4)n(n+1)(n+2)(n+3)` |
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| 117. |
अनुक्रम 2000 ,1995 ,1990 ,1985,………, का पहला ऋणात्मक पद निकालिए। |
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Answer» दिया गया A.P. है 2000, 1995, 1990, 1985,………….. यहाँ a=2000, d=-5 माना कि दिये गये A. P. का पहला ऋणात्मक पद nवा पद है। अब प्रश्न से `t_(n)lt0` `:.a+(n-1)dlt0" या "2000+(n-1)(-5)lt0` या `2005-5nlt0" या "2005lt5n` या `5ngt2005" या "gt401` अतः n का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान =402 अतः पहला ऋणात्मक पर `t_(402)=2000+(402-1)(-5)=-5` |
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| 118. |
प्राकृत संख्या a का मान ज्ञात कीजिए | यदि `Sigma_(k=1)^(n) f(a+k)=16(2^(n)-1)` जहाँ `" " f(x+y)=f(x).f(y).x,y in N` तथा f(1)=2 |
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Answer» दिया है : `" "f(x+y)=f(x).f(y)`व f(1)=2 `:. " " f(2)=f(1+1)=f(1).f(1)=2.2=2^(2)` `f(3)=f(2+1)=f(2).f(1)=2^(2).2=2^(3)` इस प्रकार `"" f(4)=2^(4)`....आदि `:. " " underset(k=1)overset(n)Sigma f(a+k)=underset(k=1)overset(n)Sigma f(a).f(k)=2^(a) underset(k=1)overset(n)Sigma f(k)=2^(a)(2+2^(2)+2^(3)+...2^(n))` `=2^(a+1)[1+2+2^(2)+....n पद]` ` =2^(a+1).(1.(2^(n)-1))/(2-1)` `16(2^(n)-1)=2^(a+1)(2^(n)-1)` `:. " "2^(a+1)=16=2^(4)` `rArr " "a+1=4` `rArr " "a=3` |
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| 119. |
श्रेणी `1, sqrt(3),3,...,` का कौन सा पद 81 होगा ? |
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Answer» यहाँ प्रथम पद, `a = 1 ` तथा सार्वअनुपात, ` r = sqrt (3 )` माना n वां पद 81 है, तो `T_(n)=81` `rArr a^(n-1)=81` `rArr 1(sqrt(3))^(n-1)=81` `rArr (3)^((1)/(2)(n-1))=(3)^(4)` घातों की तुलना करने पर, `rArr (1)/(2)(n-1)=4` `rArr n-1=8` `rArr n=8+1` `rArr n = 9` अतः श्रेणी का नौवाँ पद 81 होगा। |
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| 120. |
`1,-1,1-1,….(-1)^(n+1)` के n पदों का योग ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - 0,यदि n एक सम संख्या है तथा 1, यदि n विषम संख्या है | `S_(n)=(1[1-(-1)^(n)})/(1-(-1))={:{(0 यदि n सम है|),(1 यदि n विषम है |):}` |
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| 121. |
9 तथा `(1)/(9)` के बीच गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - 3,1,`(1)/(3)` माना 9 व `(1)/(9)` के बीच तीन गुणोत्तर माध्य `G_(1),G_(2),G_(3)`हैं, तब `9,G_(1),G_(2),G_(3),(1)/(9)`गुणोत्तर श्रेणी में हैं | यहाँ सार्वअनुपात =r, प्रथम पद =9 पदों की कुल संख्या =5 व पाँचवा पद `=(1)/(9)` अब `" " 5 वाँ पद =9r^(5-1)=(1)/(9) rArr " "9r^(4)=(1)/(9)` `r^(4)=(1)/(81) rArr r=(1)/(3)` `:. " "G_(1)=ar=9xx(1)/(3)=3` `G_(2)=ar^(2)=9xx(1)/(9)=1` `G_(3)=ar^(3)=9xx((1)/(3))^(3)=(9)/(27)=(1)/(3)` |
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| 122. |
श्रेणी 16, 8, 4, 2, ……. का कौन-सा पद `(1 )/(16 ) ` है ? |
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Answer» श्रेणी 16, 8, 4, 2, …... गुणोत्तर श्रेणी है । प्रथम पद `a = 16 `, सार्वअनुपात `r = (1 )/(2 ) ` माना n वां पद `(1 )/ (16 ) ` है, तब घातों की तुलना से, ` n - 1 = 8 ` या `n = 9 ` अतः अभीष्ट पद 9 वां है। |
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| 123. |
निम्नांकित श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए। `1+3x+9x^(2)+27x^(3)+......"to "oo` |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(1-3x)` |
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| 124. |
निम्नांकित श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए। `(-5)/(4)+(5)/(16)-(5)/(64)+............` |
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Answer» Correct Answer - `-1` |
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| 125. |
निम्नांकित श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए। `3-1+(1)/(3)-(1)/(2^(3))+............` |
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Answer» Correct Answer - `(125)/(56)` |
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| 126. |
निम्नांकित श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए। `1+(1)/(2)+2^(1/2)+(1)/(2^(3))+..........` |
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Answer» Correct Answer - 2 |
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| 127. |
निम्नांकित श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए। `1-(1)/(2)+(1)/(2^(2))-(1)/(2^(3))+.........` |
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Answer» Correct Answer - `(2)/(3)` |
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| 128. |
दी गई परिभाषाओं के आधार पर निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद बताइए : `t_(n)=n^(2)+1` |
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Answer» Correct Answer - 2, 5, 10 |
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| 129. |
निम्नांकित श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए। `(1)/(5)+(1)/(7)+(1)/(5^(2))+(1)/(7^(2))+.........." to "oo` |
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Answer» Correct Answer - `(5)/(12)` अभीष्ट योगफल `=((1)/(5)+(1)/(5^(2))+(1)/(5^(3))+......." to "oo)+((1)/(7)+(1)/(7^(2))+(1)/(7^(3))+..........+" to "oo)]` |
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| 130. |
वह सo श्रेo निकालिए जिसका 7वा तथा 13वा पद क्रमशः 34 और 64 है। |
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Answer» सूत्र से, `t_(n)=a+(n-1)d" "…….(1)` प्रश्न से जब n =7, `t_(n)=34` तथा जब n=13, `t_(n)=64` `:.34=a+6d" "......(2)` `64=a+12d" "......(3)` (3) में से (2) को घटाने पर 30=6d `:.d=5` (2) में d का मान रखने पर, a = 4 अतः अभीष्ट सo श्रेo है 4, 9, 13, 18,....... |
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| 131. |
यदि 20 और 80 के बीच n समान्तर माध्य रखे जाएँ ताकि प्रथम माध्य : अन्तिम माध्य =1:3 तो n निकालए । |
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Answer» माना कि 20 और 80 के बीच n समान्तर माध्य `A_(1),A_(2),A_(3),.......,A_(n)` है। तो `20, A_(1),A_(2),.......,A_(n)80A.P` में होंगे जिसमे पदों की संख्या =n+2 `:.d(A.P.` का पदान्तर) `=(80-20)/(n+1)=(60)/(n+1)` अब `A_(1)`= पहला सo माo `=a+d=20+(60)/(n+1)=(20n+80)/(n+1)" ".......(1)` तथा `A_(n)` = अन्तिम माध्य =nवां माध्य =(n +1) वां पद `=a+nd=20+n(60)/(n+1)=(80n+20)/(n+1)" ".......(2)` प्रश्न से, `(A_(1))/(A_(n))=(1)/(3):.(20n+80)/(80n+20)=(1)/(3)" या "(n+4)/(4n+1)=(1)/(3)` `implies3n+12=4n+1impliesn=11` |
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| 132. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1+(1)/(1+2)+(1)/(1+2+3)+............` to n terms |
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Answer» Correct Answer - `(2n)/(n+1)` `t_(n)=(1)/(1+2+.........+n)=(2)/(n(n+1))` |
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| 133. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `(3^(3)-2^(3))+(5^(3)-4^(3))+(7^(3)-6^(3))+...............` to 10 terms. |
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Answer» Correct Answer - 4960 |
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| 134. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1^(2)+(1^(2)+2^2)+(1^(2)+2^(2)+3^(2))+............` to n terms. |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(12)n(n+1)^(2)(n+2)` |
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| 135. |
समान्तर श्रेढ़ी 40, 38, 36, 34,……… का महत्तम योगफल निकालिए |
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Answer» योगफल महत्तम होगा जब केवल धनात्मक पदों का योगफल लिया जाय । माना कि प्रथम ऋणात्मक पद nवा पद है `a=40,d=-2,t_(n)lt0,n=?` अब `t_(n)lt0implies40+(n-1)(-2)lt0` `implies42-2nlt0implies2ngt42impliesngt21` `:.` पहला ऋणात्मक पद 22वा पद होगा अतः अभीष्ट महत्तम योगफल `=(21)/(2)[2.40+(21-1)(-2)]=21xx20=420` |
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| 136. |
यदि किसी श्रेणी का n वां पद `3.2^(n)-4` है तो इसके 100 पदों का जोड़ ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `6(2^(100)-1)-400` |
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| 137. |
कोई व्यक्ति 3600 रु का ऋण 40 वार्षिक किस्तों में चुकाने का प्रबन्ध करता है जो समान्तर श्रेढ़ी में है। 30 किस्त देने के बाद उस व्यक्ति की मृत्यु हो जाती है और ऋण का एक तिहाई नहीं चूका पता है जो आठवीं किस्त का मान ज्ञात कीजिए। |
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Answer» माना कि पहली किस्त a रु तथा A. P. का पदान्तर d है। प्रश्न से `S_(10)=3600" तथा "S_(30)=3600-(1)/(3)3600=2400` अब सूत्र `S_(n)=(n)/(2)[2a+( n-1)d]` से, `3600=(40)/(2)[2a+(40-1)d]" या "180=2a+39d" "......(1)` पुनः `2400=(30)/(2)[2a+(30-1)d]" या "160=2a+29d" ".......(2)` (1) में से (2) को घटाने पर, `20=10d:.d=2` (1) से, `2a=180-39d=180-39.2=102:.a=51` अब `t_(8)=a(8-1)d=51+7.2=65` अतः आठवीं किस्त =65 रुo |
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| 138. |
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का (p + q)वां पद m और (p - q)वां पद n हो, तो p वां और q वां पद ज्ञात करो। |
| Answer» Correct Answer - `T_(p)=sqrt(mn),T_(q)=m((n)/(m))^(p//2q)` | |
| 139. |
गुणोत्तर श्रेणी `16, 8,4,2,…, (1)/(16)` में अंत से पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिये। |
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Answer» गुणोत्तर श्रेणी `16, 8,4,2,…, (1)/(16)` में, प्रथम पद `a = 16 ` गुणोत्तर अनुपात `r = (1 )/(2 ) ` अंतिम पद `l = (1 )/(16 ) ` पद `p = 5 ` श्रेणी का अंत से p वां पद ` = (l ) /(r ^(p - 1 ))` अंत से पाँचवाँ पद `=((1)/(16))/(((1)/(2))^(5-1))=((1)/(16))/(((1)/(2))^(4))=((1)/(16))/((1)/(16))=1` अतः अंत से पाँचवाँ पद = 1 . |
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| 140. |
श्रेणी 4, 2, 1, ….. का कौन-सा पद `(1 )/(128 ) ` होगा ? |
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Answer» माना श्रेणी का p वां पद `(1 )/(128 ) ` होगा । यहाँ `a = 4 ` तथा `r = (2 )/(4 ) =(1 )/(2 )` `therefore ` p वां पद `=ar^(p-1)=4*((1)/(2))^(p-1)=(1)/(128)` या `((1)/(2))^(p-1)=(1)/(4xx128)=(1)/(2^(2)xx2^(7))=(1)/(2^(9))=((1)/(2))^(9)` घातों की तुलना करने पर, `p-1=9` या `p=10` अतः `(1 )/(128 ) ` श्रेणी का 10 वां पद होगा। |
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| 141. |
दी गई परिभाषाओं के आधार पर निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद बताइए : `t_(n)=n(n+2)` |
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Answer» Correct Answer - 3, 8, 15 |
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| 142. |
`Sigma_(n=1)^(13)(i^(n)+i^(n+1))`का मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - i-1 `underset(n=1)overset(13)Sigma (i^(n)+i^(n+1))=i+i^(2)+i^(3)+…+i^(13)+i^(14)` `=i+2[i^(2)+i^(3)…i^(13)]-1=i+2[(i^(2)(1-i^(12)))/(1-i)]-1` `=i+2[(-1(1-(i^(2))^(6)))/(1-i)]-1=i-1` |
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| 143. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1.2.3.+2.3.4.+3.4.5+...........` to n terms. |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(2)n(n+1)^(2)(n+2)` |
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| 144. |
यदि किसी A. P. तथा G. P. दोनों का p वां q वां तथा r वां पद a, b, c, हो तो साबित कीजिए कि `a^(b)b^(c)c^(a)=a^(c)b^(a)c^(b)`.] |
| Answer» साबित करे कि `a^(b-c)b^(c-a)c^(a-b)=1` | |
| 145. |
यदि `a^(x)=b^(y)=c^(z)` तथा x, y, z गुणोत्तर श्रेढ़ी में है, तोA. `log_(b)a=log_(c)b`B. `log_(b)a=log_(b)c`C. `log_(b)a=log_(a)c`D. `log_(b)a=log_(c)a` |
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Answer» Correct Answer - A |
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| 146. |
यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का 2p वां पद `q^(2)` व 2q वां पद `p^(2)` है तो इसका (p+q) वां पद हैA. pqB. `p^(2)q^(2)`C. `(1)/(2)p^(2)q^(2)`D. `(1)/(4)p^(3)q^(3)` |
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Answer» Correct Answer - A |
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| 147. |
100 और 1000 के बीच पूर्णाकों कि संख्या निकालिए जो (i) 7 से विभाज्य हो (ii) 7 से अविभाज्य हो। |
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Answer» 100 और 1000 के बीच 7 से विभाज्य पहली संख्या =105 तथा अन्तिम संख्या =994 अतः संख्याएँ होगी 7, 14, 21,…………..,994 माना कि इन संख्याओं की संख्या =n तो प्रश्न से `a=7,d=7,t_(n)=994,n=?` सूत्र से `t_(n)=a+(n-1)d` `:.994=105+(n-1)7" या "7n=896 :.n=128` (ii) 100 और 1000 के बीच वैसे पूर्णाकों की संख्या जो 7 से विभाज्य नहीं है =100 से 1000 के बीच कुल पूर्णाकों की संख्या -100 से 1000 के बीच 7 विभाज्य संख्याओं की संख्या =901-128 =773 |
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| 148. |
यदि `a^(2),b^(2),c^(2)` A. P. में हो तो साबित कीजिए कि `(1)/(b+c),(1)/(c+a),(1)/(a+b)` A. P. में होंगे। |
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Answer» `(1)/(b+c),(1)/(c+a),(1)/(a+b)` A. P. में है `hArr(1)/(c+a)-(1)/(b+c)=(1)/(a+b)-(1)/(c+a)` `hArr(b+c-c-a)/((c+a)(b+c))=(c+a-a-b)/((a+b)(c+a))hArr(b-a)/(b+c)=(c-b)/(a+b)` `hArr(b+c)(b-a)=(c-b)(c+b)` `hArrb^(2)-a^(2)=c^(2)-b^(2)` `hArra^(2),b^(2),c^(2)` A. P. में है। अतः `(1)/(b+c),(1)/(c+a),(1)/(a+b)` A. P. में होने पर `a^(2),b^(2),c^(2)` A. P. में होंगे। साथ ही `a^(2),b^(2),c^(2)` A. P. में होने पर `(1)/(b+c),(1)/(c+a),(1)/(a+b)` A. P. में होंगे। |
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| 149. |
यदि a और b के बीच का समान्तर माध्य इनके बीच के गुणोत्तर माध्य का दोगुना हों तो सिध्द कीजिए `a:b=(2+sqrt(3)):(2-sqrt(3))` |
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Answer» माना a और b के बीच समान्तर माध्य A तथा गुणोत्तर माध्य G है | `:. "" A=(a+b)/(2)" "`तथा `" "G=sqrt(ab)` प्रश्नानुसार `" "A=2G` `(a+b)/(2)=2sqrt(ab)` `(a+b)/(2sqrt(ab))=(2)/(1)` योगान्तरानुपात नियम से `(a+b+2sqrt(ab))/(a+b-2sqrt(ab))=(2+1)/(2-1)` `((sqrt(a)+sqrt(b))^(2))/((sqrt(a)-sqrt(b))^(2))=(3)/(1)` `(sqrt(a)+sqrt(b))/(sqrt(a)-sqrt(b))=(sqrt(3))/(1)` पुनः योगान्तरानुपात नियम से `(sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(a)-sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b)-sqrt(a)+sqrt(b))=(sqrt(3)+1)/(sqrt(3)-1)` `(2sqrt(a))/(2sqrt(b))=(sqrt(3)+1)/(sqrt(3)-1)` वर्ग करने पर, `"" (a)/(b)=(3+1+2sqrt(3))/(3+1-2sqrt(3))` या `" " a:b=(2+sqrt(3)):(2-sqrt(3))` |
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| 150. |
निम्न श्रेणियों के n पदों का योग कीजिए | `(1)/(2.4)+(1)/(4.6)+(1)/(6.8)+…` |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(4(1+(1)/(n)))` (iv) `T_(n)=1+(1)/(3)+(1)/(3^(2))+…nपदों तक=(1[1-((1)/(3))^(n)])/(1-1//3)=(3)/(2)(1-(1)/(3^(n)))` अब `S_(n)=(3)/(2)(1+1+1…nपदों तक)-[(1)/(3)+(1)/(3^(2))+…nपदों तक]` `=(3)/(2)(n-((1)/(3){1-((1)/(3))^(n)})/(1-(1)/(3)))=(3)/(2)[n-(1)/(2)(1-(1)/(3^(n)))]=(1)/(4)(6n-3+(1)/(3^(n-1)))` |
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