InterviewSolution
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| 151. |
साबित कीजिए कि किसी सo श्रेo के प्रथम 2n पदों में से बाद वाले n पदों का योग शुरू से 3n पदों के योगफल का एक तिहाई है। |
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Answer» माना कि A .P. का प्रथम पद = a तथा c.d.=d प्रथम 2n पदों में से बाद वाले n पदों का योग `=S_(2n)-S_(n)` `=(2n)/(2){(2a+(2n-1)d}-(n)/(2){2a+(n-1)d}` `=(n)/(2){4a+2(2n-1)d-2a-(n-1)d}` `=(n)/(2){2a+(4n-2-n+1)d}=(n)/(2){2a+(3n-1)d}` `=(1)/(3).(3n)/(2){2a+(3n-1)d}=(1)/(3)S_(3n)=(1)/(3)` (प्रथम 3n पदों का योग) |
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| 152. |
a, b, c सo श्रेo में हो तो साबित कीजिए कि b+c, c+a, a+b भी सo श्रेo में होंगे। |
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Answer» a, b, c A.P. में है `impliesa-(a+b+c),b-(a+b+c),c-(a+b+c)A.P.` में है `implies-(b+c),-(a+c),-(a+b)A.P. ` में है `=b+c,c+a,a+bA.P.` में है |
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| 153. |
(A ) श्रेणी 76, 72, 68, 64, ……….. का कौन सा पद शून्य है ? (B) श्रेणी 4, 9, 14, 19, …….. का कौन सा पद 104 है ? |
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Answer» (A ) माना n वां पद शून्य है। दिया है, प्रथम पद `a=76` सार्वअन्तर `=72-76=-4` तथा n वां पद `=a(n-1)d` `rArr 0=76+(n-1)(-4)` `rArr 0=76-4n+4` `rArr 4n=80` `therefore n=(80)/(4)=20` अतः 20 वें पद का मान शून्य होगा। (B) दिया है, प्रथम पद `a=4` सार्वअन्तर `d=9-4=5` अतः n वां पद `=104` `therefore` n वां पद `=a+(n-1)d` `rArr 104=4+(n-1)5` `rArr 104=4+5n-5` `rArr 104= -1+5n` `rArr 5n=104+1` `rArr 5n=105` `n=(105)/(5)=21` ` therefore n=21` अतः 21 वें पद का मान 104 होगा। |
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| 154. |
यदि a,b,c गुणोत्तर श्रेणी में हो तथा में हों तथा `a^(1//x)=b^(1//y)=c^(1//z)`, तब सिध्द कीजिए की समान्तर श्रेणी में हैं | |
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Answer» चूँकि a,b व c गुणोत्तर श्रेणी में हैं, इसलिए `" "b^(2)=ac" "`...(i) एवं दिया है,`""a^(1//x)=b^(1//x)=c^(1//z)=k`(माना) तब `""a=k^(x), b=k^(y)` व `c=k^(z)` ये मान समीकरण (i) में रखने पर, `(k^(y))^(2)=(k^(x)xxk^(z))=k^(x+z)` `rArr " "k^(2)y=k^(x+z)` `rArr " "2y=x+z` अतः x,y,z समान्तर श्रेणी में हैं | |
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| 155. |
किसी अनुक्रम का 7वा तथा 12वा पद क्रमशः 34 और 64 है तो उस अनुक्रम का 10वा पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 52 |
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| 156. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1^(3)+3^(3)+5^(3)+.........` to n |
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Answer» Correct Answer - `n^(2)(2n^(2-1))` |
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| 157. |
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों के योग ज्ञात कीजिए | 4+44+444+… |
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Answer» Correct Answer - `(4)/(81)(10^(n+1)-10-9n)` `S=4+44+444+…=4(1+11+111+…n पद)` `=(4)/(9)(9+99+999+…nपद)` `=(4)/(9){(10-1)+(10^(2)-1)+(10^(3)-1)…n पद}` `=(4)/(9)((10(10^(n)-1))/(10-1)-n)=(4)/(9)((10)/(9)(10^(n)-1)-n)` `=(4)/(9)((10(10^(n)-1)-9n)/(9))=(4)/(81){(10(10^(n)-1)-9n}` `=(4)/(81){10^(n+1)-10-9n}` |
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| 158. |
शमशाद अली 22000 रूपये में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 रूपये नकद देता है तथा शेष राशि को 1000 रूपये वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कुछ कितनी राशि चुकानी पड़ेगी ? |
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Answer» स्कूटर की कीमत =2000 रु नगद भुगतान =4000 रु शेष राशि =रु 22000 -4000 रु =18000 रु पहले किस्त में भुगतान की राशि =1000 रु +18000 रु का 10% =1000 +1800 =2800 रु दूसरे किस्त में भुगतान की राशि =1000 रु +17000 रु का 10% =2700 रु तीसरे किश्त में भुगतान की राशि =1000 रु +1000 रु का 10% =2600 रु इसी प्रकार बाद के किस्तों की राशि 2500 रु , 2400 रु............ होगा। कुल चुकायी गई राशि `=4000+(2800+2700+2600+.........18` पदों तक] `=4000+(18)/(2)[5600+17xx(-100)` `=4000+9xx3900=4000+35100=39100` रुo |
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| 159. |
किसी G.P का `5`वां `8` और `48` वां पद क्रमशः `48` और `384` है तो G.P को ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 3,6,12,24……. |
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| 160. |
एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रु. `5 % ` वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया । जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 5 वें वर्ष में उसके कहते में कितनी रकम हो गई, तथा 20 वर्षों बाद कुल कितनी रकम हो गई, ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - रु. 17000; रु. 295000 | |
| 161. |
किसी चतुर्भुज के कोण समांतर श्रेणी में है, उसका सार्वअंतर `10 ^(@)` है, कोणों को ज्ञात कीजिये। |
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Answer» मान लीजिये चतुर्भुज के चार कोण `a^(@),(a+10)^(@),(a+20)^(@),(a+30)^(@)` हैं। चारों कोणों का योग `=a+(a+10)+(a+20)+(a+30)` `=4a+60` अर्थात `4a+60=360` या `4a=300` `a=75` चतुर्भुज के चार कोण `75^(@),85^(@),95^(@)` तथा `105^(@)` हैं। |
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| 162. |
निम्नलिखित श्रेणियों के अनन्त पदों का योग ज्ञात कीजिए | `1+2.(1)/(3)+3.(1)/(3^(2))+4.(1)/(3^(3))`+… |
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Answer» Correct Answer - `(9)/(4)` (a)दी गई श्रेणी को इस प्रकार लिख सकते हैं, `1.1+2((1)/(3))+3((1)/(3))^(2)+4((1)/(3))^(3)+`... `S_(oo)=1.1+2((1)/(3))+3((1)/(3))^(2)+4((1)/(3))^(3)+....` `rArr " "(1)/(3)S_(oo)=1.(1)/(3)+2((1)/(3))^(2)+3((1)/(3))^(3)+4((1)/(3))^(4)+...oo` `rArr " "S_(oo)-(1)/(3)S_(oo)=1+(1)/(3)+(1)/(3^(2))+(1)/(3^(3))+(1)/(3^(4))+...+oo` `rArr ""(2)/(3)S_(oo)=(1)/(1-(1)/(3))=(3)/(2) rArr S_(oo)=(9)/(4)` |
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| 163. |
श्रेणी `1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n` पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए | |
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Answer» यहाँ,`a_(n)=(1,2,3...का nवाँ पद)xx(2,3,4...का n वाँ पद)xx(3,4,5...का n वाँ पद)` `=(1+(n-1)xx1)xx1)xx(2+(n-1)xx1)xx(3+(n-1)xx1)` `=n(n+1)(n+2)=n^(3)+3n^(2)+2n` अब `" "S_(n)=underset(K=1)overset(n)Sigma a_(K)=underset(K=1)overset(n)Sigma (K^(3)+3K^(2)+2K)=underset(K=1)overset(n)Sigma K^(3)+3 underset(K=1)overset(n)Sigma K^(2)+2underset(K=1)overset(n)Sigma K` `=(1)/(4)n^(2)(n+1)^(2)+3.(1)/(6)+3.(1)/(6)n(n+1)(2n+1)+2.(1)/(2)n(n+1)` `=(1)/(4)n(n+1){n(n+1)+2(2n+1)+4}` `=(1)/(4)n(n+1)[(n^(2)+5n+6)]=(1)/(4)n(n+1)(n+2)(n+3)` जो कि अभीष्ट योगफल है | |
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| 164. |
श्रेणी `(1^(3))/(1)+(1^(3)+2^(3))/(1+3)+(1^(3)+2^(3)+3^(3))/(1+3+5)+`..के 16 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दी गयी श्रेणी का nवाँ पद `T_(n)=(1^(3)+2^(3)+3^(3)+...n^(3))/(1+3+5+...+n पदों तक)` `=([(n(n+1))/(2)]^(2))/((n)/(2)[2.1+(n-1).2])=([(n(n+1))/(2)]^(2))/(n^(2))` `=((n+1)^(2))/(4)=(n^(2)+2n+1)/(4)` `:. " "S_(n)=Sigma t_(n)=Sigma((n^(2)+2n+1)/(4))=(1)/(4)(Sigma n^(2)+2 Sigman+Sigma.1)` `=(1)/(4)[(n(n+1)(2n+1))/(6)+2(n(n+1))/(2)+n]` श्रेणी के 16 पदों का योगफल (n=16) `S_(16)=(1)/(4)[(16(16+1)(32+1)/(6)+16(16+1)+16]` =446 |
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| 165. |
यदि `5,G_(1)G_(2),G_(3),(1)/(125)`.गुणोत्तर श्रेणी में हों, तो `G_(1),G_(2),G_(3)` के मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» यहाँ n=3 `r=((b)/(a))^((1)/(n+1))=((1)/(125xx5))^((1)/(4))=(1)/(5)` `:. " "G_(1)ar=a((b)/(a))^((1)/(n+1))=5xx(1)/(5)=1` `G_(2)=ar^(2)=5xx((1)/(5))^(2)=(1)/(5)` तथा `" "G_(3)ar^(3)=5xx((1)/(5))^(3)=(1)/(25)` `:. " "G_(1),G_(2)=(1)/(5)` तथा `G_(3)=(1)/(25)` |
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| 166. |
अनुक्रम 5, 14, 23,…… का 27वा पद निम्नांकित में कौन है ?A. 239B. 100C. 101D. 900 |
| Answer» `t_(27)=5+(27-1)9=5+234=239` | |
| 167. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1^(2)+4^(2)+7^(2)+10^(2)+........` to n |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(2)n(6n^(2)-3n-1)` |
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| 168. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1^(2)+2+3^(2)+4+5^(2)+6+..........` to n |
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Answer» Correct Answer - `(2)/(3)n(n+1)^2` |
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| 169. |
किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घंटे पश्चात दोगुनी हो जाती है। यदि प्रांरभ में उसमे 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा nवे घंटो बाद क्या होगी ? |
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Answer» Correct Answer - 120, 480, `30(2^(2))` |
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| 170. |
क्या 105 समांतर अनुक्रम 4, 9, 14, 19,…….. का एक पद है? |
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Answer» Correct Answer - नहीं |
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| 171. |
एक आदमी एक दिन में 2 रु दूसरे दिन 4 रु तीसरे दिन 8 रु तथा चौथे दिन 16 रु जमा करता है। इसी तरह और आगे भी करता है 10 वां दिन का उसका रकम क्या होगा? |
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Answer» Correct Answer - 1024 |
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| 172. |
शमशाद अली 22000 रु. में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 रु. नकद देता है तथा शेष राशि को 1000 रु. वार्षिक किश्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया हो `10 %` वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कितनी राशि चुकानी पड़ेगी ? |
| Answer» Correct Answer - रु. 39100 | |
| 173. |
`1^(2)+1+2^(2)+2+3^(3)+3.........+n^(2)+n =............` |
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Answer» Correct Answer - `(n(n+1)(n+2))/(3)` `=(1^(2)+2^(2)+..........+n^(2))+(1+2+..........+n)` `=(n(n+1)(2n+1))/(6)=(n(n+1))/(2)` `=(n(n+1))/(6)(2n+1+3)=(n(n+1)(n+2))/(3)` |
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| 174. |
निम्न श्रेणी के nपदों तथा अनन्त पदों का योग ज्ञात कीजिए | `1+(1)/(1+2)+(1)/(1+2+3)+…` |
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Answer» Correct Answer - `(2n)/(n+1),2` (i) दी गई श्रेणी का n वाँ पद `T_(n)=(1)/(1+2+3+..n)=(1)/(Sigma2)=(1)/((1)/(2)n(n+1))` `=(2)/(n(n+1))=2((1)/(n)-(1)/(n+1))` अब `" "S_(n)=T_(1)+T_(2)+T_(3)+...+T_(n)` `=2[{1-(1)/(2)}+{(1)/(2)-(1)/(3)}+{(1)/(3)-(1)/(4)}+...{(1)/(n)-(1)/(n+1)}]` `=2[1-(1)/(n+1)]=2[(n+1-1)/(n+1)]=(2n)/(n+1)` `:. ""S_(oo)=underset(n to oo)lim S_(n)[2{1-(1)/(n+1)}]=2(1-(1)/(oo))=2` |
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| 175. |
1 तथा 256 के बीच तीन गुणोत्तर माध्य के मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» 1 तथा 256 के बीच माना `G_(1),G_(2)` व `G_(3)` तीन गुणोत्तर माध्य हैं | `rArr 1,G_(1),G_(2)G_(3)256` गुणोत्तर श्रेणी में होंगे | श्रेणी में कुल पदों की संख्या=5 तथा `" " T_(5)=256," " a=1` `T_(5)=ar^(5-1)` `rArr " "256=1.r^(4) " "rArr " "r=4` `:. " "G_(1)=ar=1.4=4` `G_(2)ar^(2)=1.4^(2)=16` तथा `" " G_(3)ar^(3)=1.4^(3)=64` |
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| 176. |
यदि श्रेणी `3+5r+7r^(2)+..`के अनन्त पदों का योग `(44)/(9)`है, तो r का मान ज्ञात कीजिए `(|r| lt 1)`| |
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Answer» माना `" "S=3+5r+7r^(2)+oo...तक ` `rArr " "r_(S)=3r+5r^(2)+7r^(3)+..oo तक` `rArr " "(1-r)S=3+2r+2r^(2)+2r^(3)+...oo तक` `=3+(2r+2r^(2)+2r^(3)+...oo)` `=3+(2r)/(1-r)=(3-3r+2r)/(1-r)` `:. ""S=(3-r)/((1-r)^(2))` प्रश्नानुसार `" "S=(44)/(9)=(3-r)/((1-r)^(2))` `:. ""(3-r)/((1-r)^(2))=(44)/(9)` `rArr " "44r^(2)-79r+17=0` `rArr ""r=(79+-sqrt((-79)^(2)-4xx44xx17))/(2xx44)` `=(79+-sqrt(3249))/(88)=(79+-57)/(88)=(17)/(11),(1)/(4)` `r=(17)/(11)` सम्भव नहीं है, क्योकि `|r| lt 1`दिया है | `:. " "r=(1)/(4)` |
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| 177. |
निम्न श्रेणी के अनन्त पदों का योग ज्ञात कीजिए | `1+5^(2)x+9^(2)x^(2)+13^(2)x^(3)+...,|x| lt 1` |
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Answer» माना `" "S=1+5^(2)x+9^(2)x^(2)+13^(2)x^(2)+....ooतक " "`..(i) `rArr " "xS=x+25x^(2)+81x^(2)+...ooतक " "`...(ii) समीकरण (i)में से (ii) को घटाने पर, `rArr " "S(1-x)=1+24x+56x^(2)+...oo तक ""`...(iii) समीकरण (iii) को x से गुणा करने पर `S(1-x)x=x+24x^(2)+56x^(3)+...oo तक " "`...(iv) समीकरण (iv)को (iii)से घटाने पर `S(1-x)^(2)=1+23x+32x^(2)+...oo` तक `=1+23+(32x^(2))/(1-x),x lt 1` `rArr " "S=(1)/((1-x)^(2))+(23x)/((1-x)^(2))+(32x^(2))/((1-x)^(3))=((1-x)+23x(1-x)+32x^(2))/((1-x)^(3))` `=(1+22x+9x^(2))/((1-x)^(3))` |
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| 178. |
एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रूपये की प्रथम किश्त से शरू करता है । यदि वह प्रत्येक किस्त में 5 रूपये प्रति माह बढ़ाता है तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी ? |
| Answer» Correct Answer - 245 रु. | |
| 179. |
दो समांतर श्रेढियों के n पदों के योगफल का अनुपात `(2n + 1 ) : (2n - 1 ) ` है, सिद्ध कीजिये कि दसवें पदों का अनुपात `39 : 37 ` होगा। |
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Answer» माना दो समांतर श्रेढियों के प्रथम पद क्रमशः `a _(1 ) ` और `a _(2 ) ` तथा सार्वअंतर क्रमशः `d _(1 )` और `d _(2 ) ` है। प्रश्नानुसार , `("पहली श्रेढ़ी के n पदों का योगफल ")/("दुसरी श्रेढ़ी के n पदों का योगफल")=(2n + 1 ) /(2n -1 ) ` अर्थात `(2n+1)/(2n-1)=((1)/(2)n[2a_(1)+(n-1)d_(1)])/((1)/(2)n[2a_(2)+(n-1)d_(2)])=(2a_(1)+(n-1)d_(1))/(2a_(2)+(n-1)d_(2))` `=(a_(1)+(1)/(2)(n-1)d_(1))/(a_(2)+(1)/(2)(n-1)d_(2)) " " `...(1) दी हुई श्रेढियों के दसवें पदों का अनुपात `=(a_(1)+9d_(1))/(a_(2)+9d_(2))`. स्पष्ट है की समीकरण (1 ), श्रेढियों के दसवें पदों का अनुपात तभी निरूपित करेगा जब `d _(1 ) ` और `d _(2 ) ` के गुणांक 9 हों। अर्थात `(1)/(1)(n-1)=9` या `n-1=18 ` या `n=19.` `therefore` समीकरण (1 ) से, `(a_(1)+9d_(1))/(a_(2)+9d_(2))=(2n+1)/(2n-1)` `=(2xx19+1)/(2xx19-1)=(39)/(37)` अर्थात श्रेढियों के दसवें पदों का अनुपात `39 : 37 ` होगा। |
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| 180. |
निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात करों- `(a+b)+2a+(3a-b)+......n` पदों तक । |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(2)n[a+3b+an-bn] ` | |
| 181. |
निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात करों- `-8,-6-4,-2,-...... 13` पदों तक । |
| Answer» Correct Answer - 52 | |
| 182. |
निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात करों- `3+(9)/(2)+6+(15)/(2)+.......25` पदों तक । |
| Answer» Correct Answer - 525 | |
| 183. |
यदि n प्राकृतिक संख्याओं का योग `S _(1 )` उनके वर्गों का योग `S _(2 )` और उनके घनों का योग `S _(3 ) ` हो, तो सिद्ध कीजिए कि- `9S_(2)^(2)=S_(3)(1+8S_(1)).` |
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Answer» n प्राकृतिक संख्याओं का योग `S_(1)=(n(n+1))/(2) " "` ...(1) n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गो का योग `S_(2)=(1)/(6)n(n+1)(2n+1) " " ` ...(2) n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग `S_(3)={(n(n+1))/(2)}^(2) " "` ...(3) अतः ` S_(3)(1+8S_(1))=(n^(2)(n+1)^(2))/(4){1+8(n(n+1))/(2)}` `=(n^(2)(n+1)^(2))/(4){1+4n^(2)+4n}` `=(n^(2)(n+1)^(2)(2n+1)^(2))/(4)` `=9(n^(2)(n+1)^(2)(2n+1)^(2))/(4xx9)` `=9[(n(n+1)(2n+1))/(6)]^(2)` `=9S_(2)^(2)` `therefore 9S_(2)^(2)=S_(3)(1+8S_(1)).` |
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| 184. |
उस श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका n वां पद `n (n + 3 ) ` है। |
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Answer» दिया है : n वां पद `=T_(n)=n(n+3)` `=n^(2)+3n` `therefore ` n पदों का योगफल, `S=Sigma (n^(2)+3n)` `=Sigman^(2)+3Sigman` `=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)+(3)/(2)n(n+1)` `=(1)/(6)n(n+1)(2n+10)` `=(1)/(3)n(n+1)(n+5)`. |
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| 185. |
5 व 8 के बीच 14 समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए तथा सिध्द कीजिए कि उन समान्तर माध्यो का योग 5 व 8 के समान्तर माध्य के 14 गुने के बराबर होगा | |
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Answer» माना 5 व 8 के बीच 14 समान्तर माध्य `A_(1),A_(2),.....A_(14)` हैं `rArr 5,A_(1),A_(2),....A_(14),8`समान्तर श्रेणी में होंगे | यहाँ a=5 तथा n=16 तथा n वाँ पद =16वाँ पर =8 `:. " "8=5+(16-1).d` `rArr " "15d=3 rArr d=(1)/(5)` `:. " " A_(1)=5+d=5+(1)/(5)=(26)/(5)` `A_(2)=5+2d=5+2xx(1)/(5)=(27)/(5)` `A_(3)=5+3d=5+3xx(1)/(5)=(28)/(5)` ----------------- ---------------- `A_(14)=5+14d=5+(14)/(5)=(39)/(5)` इसलिए, वांछित 14 समान्तर माध्य `=(26)/(5),(27)/(5),(28)/(5)....,(39)/(5)` तथा `""A_(1)+A_(2)+...A_(14)=(14)/(2)(A_(1)+A_(14))` `=(14)/(2)((26)/(5)+(39)/(5))=(14)/(2)((65)/(5))` `=(14)/(2)(13)=(14)/(2)(5+8)` `=14((5+8)/(2))=14` [5 v 8 का समान्तर माध्य] `" "`यही सिध्द करना था | |
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| 186. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी में p वें तथा q वें पदों का माध्य, r वें तथा s वें पदों के माध्य के बराबर है, तो सिध्द कीजिए कि `""p+q=r+s` |
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Answer» माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d हैं, तब pवें व q में पदों का समान्तर माध्य =rवें व s वें पदों का समान्तर माध्य `hArr " "(1)/(2)(a_(p)+a_(q))=(1)/(2)(a_(r )+a_(s))` `hArr ""a_(p)+a_(q)=a_(r )+a_(s)` `hArr {a+(p-1).d}+(a+(q-1)d}={a+(r-1)d}+{a+(s-1)d}` `hArr ""(p+q-2)=(r+s-2)` `hArr " "p+q=r+s` |
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| 187. |
यदि a,x,b,c सभी वास्तविक हैं तथा `(x-a+b)^(2)+(x-b+c)^(2)=0`, तब सिध्द कीजिए कि a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं | |
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Answer» दिया है- `(x-a+b)^(2)+(x-b+c)^(2)=0` `rArr " " (x-a+b)^(2)=0` तथा `(x-b+c)^(2)=0` `" "(x-a+b)^(2)=0` तथा `x-b+c=0` `rArr " "(x-a+b)=0` तथा `x-b+c=0` `rArr " "x=a-b` तथा `x=b-c` `rArr " "a-b=b-c` `rArr ""2b=a+c` rArr a,b,c` समान्तर श्रेणी में होंगे | |
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| 188. |
निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात करों- `(n-1)/(n)+(n-2)/(n)+(n-3)/(n)+....n` पदों तक । |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(2)(n-1)` | |
| 189. |
श्रेणी `3+4+8+9+13+14+18+19+....` के बीस पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - 520 | |
| 190. |
निकालिए `1+(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)+..........` अनन्त तक `("to "oo)` |
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Answer» यहाँ `a=1,r=(1)/(2).(rlt1)` अब `S_(oo)=(a)/(1-r)=(1)/(1-(1)/(2))=2`. |
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| 191. |
श्रेणी `log_(e)a+"log"_(e)(a^(2))/(b)+"log"_(e) (a^(3))/(b^(2))+....` के प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिये। |
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Answer» दी हुई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद `(A ) = log _(e ) a ` तथा सार्वअंतर `(D) ="log"_(e)(a^(2))/(b)-log_(e)a` `=log_(e)(a^(2)/(b)xx(1)/(a))="log"_(e)(a)/(b)` `therefore` श्रेणी के प्रथम n पदों का योग `=(n)/(2)[2A+(n-1)D]` `=(n)/(2)[2log_(e)a+(n-1)."log"_(e)(a)/(b)]` `=(n)/(2)[2log_(e)a+(n-1).(log_(e)a-log_(e)b)]` `=(n)/(2) [2log_(e)a+(n-1)log_(e)a-(n-1)log_(e)b]` `=(n)/(2)[(2+n-1)log_(e)a-(n-1)log_(e)b]` `=(n)/(2)[(n+1)log_(e)a-(n-1)log_(e)b].` |
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| 192. |
श्रेणी `1^(2)+3^(2)+5^(2)+7^(2)+.......` के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिये गये श्रेणी के पद A. P. में नहीं है परन्तु वर्ग हटाने पर, 1, 3, 5, 7, ……. सभी पद A. P. में है। अतः वर्ग हटाने के बाद बने श्रेणी का व्यापक पद या n वां पद `=1+(n-1).2=2n-1` `:.` दी हुई श्रेणी का n वां पद `t_(n)=(2n-1)^(2)=4n^(2)-4n+1` अतः श्रेणी के n पदों का योगफल, `S_(n)=sumt_(n)=sum(4n^(2)-4n+1)=sum4n^(8)-sum4n+sum1` `=4sumn^(2)=4sumn+n=(4n(n+1)(2n+1))/(6)-(4n(n+1))/(2)+n` `=n[(2)/(3)(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1]` `=n[(2(2n^(2)+3n+1)-6(n+1)+3)/(3)=(n(4n^(2)-1))/(3)` दूसरी विधि दिये हुए श्रेणी का n वां पद `t_(n)={1+(n-1).2}^(2)=(2n-1)^(2)=4n^(2)-4n+1` n के स्थान पर 1, 2, 3, 4,..........n रखने पर `t_(1)=4.1^(2)-4.1+1` `t_(2)=4.2^(2)-4.2+1` `t_(3)=4.3^(2)-4.3+1` `...........................` `underline(t_(n)=4.n^(2)-4.n+1).` `:." योगफल "S_(n)=4(1^(2)+2^(2)+3^(2)+.......+n^(2))-4(1+2+3+......+n)+(1+1+1+............n` बार) `=4.(n(n+1)(2n+1))/(6)-4.(n(n+1))/(2)+n` `=(n)/(3)[2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3]` `=(n)/(3)(4n^(2)+6n+2-6n-6+3)=(n)/(3)(4n^(2)-1)` |
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| 193. |
तीन अंकों को सभी संख्याओं का योगफल विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 70336 |
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| 194. |
एक अवरोही G. P. जो अन्नत तक गया है, का योगफल 4 है तथा इसके पदों के वर्गो का योगफल `(16)/(3)` है तो G. P. ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `2,1,(1)/(2),(1)/(4),.......` |
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| 195. |
निम्नलिखित श्रेढियों का योगफल ज्ञात करो : (i) `1+3+9+27+ ....8` पदों तक । (ii) `2+0.2+0.02+0.002+........8` पदों तक । |
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Answer» (i ) यहाँ प्रथम पद, a = 1 , सार्वअनुपात, r = 3 तथा n = 8 हो, तब `S_(n)=(a(r^(n)-1))/(r-1) " " `( सूत्र से ) `S_(8)=(1(3^(8)-1))/(3-1)=(6561-1)/(2)=(6560)/(2)=3280.` (ii) यहाँ प्रथम पद, a = 2 , सार्वअनुपात, `r = (0.2)/(2)=0.1` तथा n = 8 हो, तब `S_(n)=(a(r^(n)-1))/(r-1) " " `( सूत्र से ) `S_(8)=(2[1-(0.1)^(8)])/(1-0.1)=(2)/(0.9)[1-((1)/(10))^(8)]` `=(20)/(9)[1-((1)/(10))^(8)].` |
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| 196. |
निम्न श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए | `0.7+0.77+0.777`+… |
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Answer» माना `S=0.7+0.77+0.777`+... `=7[0.1+0.11+0.111+..]` `=(7)/(9)[0.9+0.99+0.999+]` `=(7)/(9)[(1-(1)/(10))+(1-(1)/(100))+(1-(1)/(1000))+...]` `=(7)/(9)[(1+1+1+...)-((1)/(10)+(1)/(100)+(1)/(1000)+..)]` `=(7)/(9)[n-(1)/(10)((1-(1)/(10^(n))))/((1-(1)/(10)))]=(7n)/(9)-(7)/(81)(1-(1)/(10^(n)))` |
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| 197. |
श्रेणी 0.7, 0.77, 0.777, ……… के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए। |
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Answer» मान लीजिए, `S=0.7+0.77 +0.777+..........+20` पदों तक `=(7)/(10)+(77)/(100)+(777)/(1000)+......+20` पदों तक `=7[(1)/(10)+(11)/(100)+(111)/(1000)+....+20 "पदों तक "]` `=(7)/(9)[(9)/(10)+(99)/(100)+(999)/(1000)+.....+20"पदों तक "]` `=(7)/(9)[(1-(1)/(10))+(1-(1)/(100))+(1-(1)/(1000))+......+20 "पदों तक "]` `=(7)/(9)[(1+1+1+1+...+20"पदों तक ")-((1)/(10)+(1)/(10^(2))+(1)/(10^(3))+...+20"पदों तक ")]` `=(7)/(9) [20-((1)/(10){1-((1)/(10))^(20)})/(1-(1)/(10))]` `=(7)/(9)[20-(1)/(10)xx(10)/(9){1-((1)/(10))^(20)}]` `=(7)/(9)[20-(1)/(9){1-((1)/(10))^(20)}]` `=(7)/(9)[20-(1)/(9)+(1)/(9){((1)/(10))^(20)}]` `=(7)/(9)[(179)/(9)+(1)/(9){((1)/(10))^(20)}]` `=(7)/(81)[179+(10)^(-20)]` |
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| 198. |
गुणोत्तर श्रेणी `1+(2)/(3)+(4)/(9)+……………..` के प्रथम n पदों का योग तथा प्रथम 5 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दी गयी गुणोत्तर श्रेणी है : `1+(2)/(3)+(4)/(9)+……………..` यहाँ प्रथम पद , a = 1 तथा सार्वअंतर, `r =(2 )/(3 )` `therefore ` गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल, `S_(n)=(a(r^(n)-1))/(r-1)` `=(1[1-((2)/(3))^(n)])/(1-(2)/(3))=3[1-((2)/(3))^(n)].` और गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम 5 पदों का योगफल, `S_(5)=3[1-((2)/(3))^(5)]` `=3[1-(32)/(243)]` `=3xx(211)/(243)=(211)/(81)` |
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| 199. |
श्रेणी 3, 6, 9, 12, ….. के प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए। |
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Answer» श्रेणी 3, 6, 9, 12, .... में प्रथम पद (a ) = 3 , पदान्तर (d ) = 3 पदों की संख्या n = 10 सूत्र `S_(n)=(n)/(2)[2a+(n-1)d]` `S_(10)=(10)/(2)[2xx3+(10-1)xx3]` `=5[6+27]=5xx33` `=165.` |
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| 200. |
निम्नांकित श्रेणी का n वां पद तथा n पदों तक का योगफल ज्ञात कीजिए 2+6+12+20+,……. |
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Answer» Correct Answer - `n^(2)+n;(1)/(3)n(n+1)(n+2)` |
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