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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

सिद्ध करें कि `vec(a)xx(vec(b)+vec(c))+vec(b)xx(vec(c)+vec(a))+vec(c)xx(vec(a)+vec(b))=vec(0)`

Answer» `vec(a)xx(vec(b)+vec(c))+vec(b)xx(vec(c)+vec(a))+vec(c)xx(vec(a)+vec(b))`
`=(vec(a)xx(vec(b))+(vec(a)xxvec(c))+(vec(b)xxvec(c))+(vec(b)xxvec(a))+(vec(c)xxvec(a))+(vec(c)xxvec(b))" "["वितरण नियम से"]`
`=(vec(a)xxvec(b))+(vec(a)xxvec(c))+(vec(b)xxvec(c))-(vec(a)xxvec(b))-(vec(a)xxvec(c))-(vec(b)xxvec(c))=vec(0)" "[because (vec(b)xxvec(a))=-(vec(a)xxvec(b))" इत्यादि"]`
Discussion
2.

सदिश विधि का उपयोग कर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष `A(1,1,1),B(1,2,3)" तथा "C(2,3,1)` हैं |

Answer» A का स्थिति सदिश `=(hati+hatj+hatk)`,
B का स्थिति सदिश `=(hati+2hatj+3hatk)`, तथा
C का स्थिति सदिश `=(2hati+3hatj+hatk)`.
`:." "vec(AB)=B` का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
`=(hati+2hatj+3hatk)-(hati+hatj+hatk)=hatj+2hatk`
तथा, `vec(AC)=C` की स्थिति सदिश - A की स्थिति सदिश
`=(2hati+3hatj+hatk)-(hati+hatj+hatk)=hati+2hatj.`
अब `DeltaABC` का क्षेत्रफल `=|(1)/(2)(vec(AB)xxvec(AC))|" "...(1)`
अब, `vec(AB)xxvec(AC)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(0,,1,,2),(1,,2,,0):}|`
`=(0-4)hati+(2-0)hatj+(0-1)hatk=-4hati+2hatj-hatk`
`implies" "(1)/(2)(vec(AB)xxvec(AC))=(-2hati+hatj-(1)/(2)hatk)`
`:.` (1) से, `DeltaABC` का क्षेत्रफल `=|-2hati+hatj-(1)/(2)hatk|`
`=sqrt((-2)^(2)+1^(2)+(-(1)/(2))^(2))=(sqrt(21))/(2)` वर्ग इकाई
अत: दिए हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल `=(sqrt(21))/(2)` वर्ग इकाई
Discussion
3.

15 इकाई परिणाम वाला एक सदिश ज्ञात करें जो `4hati-hatj+8hatk` तथा `-hatj+hatk` दोनों पर लम्ब है |

Answer» माना कि `vec(a)=4hati-hatj+8hatk` तथा `vec(b)=-hatj+hatk`.
`vec(a)` तथा `vec(b)` दोनों पर लम्ब एक इकाई सदिश `=(vec(a)xx vec(b))/(|vec(a)xx vec(b)|)" "...(1)`
अब, `" "vec(a)xx vec(b)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(4,,-1,,8),(0,,-1,,1):}|`
`=(-1+8)hati-(4-0)hatj+(-4-0)hatk=7hati-4hatj-4hatk`
`:." "|vec(a)xx vec(b)|=sqrt(7^(2)+(-4)^(2)+(-4)^(2))=sqrt(81)=9`.
(1) से, `vec(a)` तथा `vec(b)` पर लम्ब इकाई सदिश `=((vec(a)xx vec(b)))/(|vec(a)xx vec(b)|)=(7hati-4hatj-4hatk)/(9)`
अत : अभीष्ट सदिश `=(15(7hati-4hatj-4hatk))/(9)=(5)/(3)(7hati-4hatj-4hatk)`.
Discussion
4.

समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिश `(3hati+hatj-2hatk)` तथा `(hati-3hatj+4hatk)` से निरूपित होती हैं |

Answer» माना कि `vec(a)=(3hati+hatj-2hatk)` तथा `vec(b)=(hati-3hatj+4hatk)`
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `=|vec(a)xxvec(b)|" "...(1)`
अब, `(vec(a)xxvec(b))=|{:(hati,,hatj,,hatk),(3,,1,,-2),(1,,-3,,4):}|=(4-6)hati-(12+2)hatj+(-9-1)hatk`
`=(-2hati-14hatj-10hatk)`
`:.` (1) से, अभीष्ट क्षेत्रफल `=|vec(a)xxvec(b)|`
`=sqrt((-2)^(2)+(-14)^(2)+(-10)^(2))` वर्ग इकाई
`=sqrt(300)` वर्ग इकाई `=10sqrt(3)` वर्ग इकाई
Discussion
5.

बिन्दुओं `P(1,-1,2),Q(2,0,-1)` तथा `R(0,2,1)` से निर्धारित तल पर लम्ब एक इकाई सदिश ज्ञात करें |

Answer» `vec(PQ)=(Q" की स्थिति सदिश")-(P" की स्थिति सदिश")`
`=(2hati-hatk)-(hati-hatj+2hatk)=hati+hatj-3hatk`
उसी तरह, `vec(PR)=2hatj+hatk-(hati-hatj+2hatk)=-hati+3hatj-hatk`
`vec(PQ)xx vec(PR)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(1,,1,,-3),(-1,,3,,-1):}|=8hati+4hatj+4hatk`
`:." "|vec(PQ)xx vec(PR)|=sqrt(8^(2)+4^(2)+4^(2))=4sqrt(6)`
`:.` अभीष्ट इकाई सदिश
`=(vec(PQ)xx vec(PR))/(|vec(PQ)xx vec(PR)|)=+-(1)/(4sqrt(6))(8hati+4hatj+4hatk)=+-(1)/(sqrt(6))(2hati+hatj+hatk)`
Discussion
6.

यदि `vec(a)=4hati+3hatj+2hatk` तथा `vec(b)=3hati+2hatk,|vec(b)xx2vec(a)|` निकालें |

Answer» दिया है, `vec(a)=4hati+3hatj+2hatk` तथा `vec(b)=3hati+2hatk`
`:." "vec(b)=3hati+2hatk` तथा `2vec(a)=8hati+6hatj+4hatk`.
अब, `vec(b)xx2vec(a)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(3,,0,,2),(8,,6,,4):}|=(0-12)hati+(16-12)hatj+(18-0)hatk`
`=-12hati+4hatj+18hatk`
`:." "|vec(b)xx2vec(a)|=|-12hati+4hatj+18hatk|`
`=sqrt((-12)^(2)+4^(2)+(18)^(2))=sqrt(484)=22`.
अत:, `|vec(b)xx2vec(a)|=22`.
Discussion
7.

यदि `vec(a)=hati+2hatj+3hatk,vec(b)=2hati-hatj+hatk` तथा `vec(c)=hati+hatj-2hatk`, सत्यापित करें कि `vec(a)xx(vec(b)xx(c))=(vec(a)cdot vec(c))vec(b)-(vec(a)cdot vec(b))vec(c)`.

Answer» यहाँ, `vec(b)xxvec(c)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(2,,-1,,1),(1,,1,,-2):}|=hati+5hatj+3hatk`
अब, `L.H.S.=vec(a)xx(vec(b)xxvec(c))=|{:(hati,,hatj,,hatk),(1,,2,,3),(1,,5,,3):}|.0`
`=-9hati+3hatk`
तथा `R.H.S.=(vec(a)cdot vec(c))vec(b)-(vec(a)cdot vec(b))vec(c)`
`=[1xx1+2xx(1)+3xx(-2)]vec(b)-[1xx2+2xx(-1)+3xx1]vec(c)`
`=-3(2hati-hatj+hatk)-3(hati+hatj-2hatk)`
`=-9hati+3hatk=L.H.S.`
Discussion
8.

यदि `vec(a)=i-2hatj+3hatk` तथा `vec(b)=2hati+3hatj-5hatk` तो `vec(a)xx vec(b)` ज्ञात करें तथा सत्यापित करें कि `vec(a)xx vec(b), vec(a)` तथा `vec(b)` में से प्रत्येक पर लम्ब है |

Answer» दिया है, `vec(a)=hati-2hatj+3hatk,vec(b)=2hati+3hatj-5hatk`
`:." "vec(a)xx vec(b)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(1,,-2,,3),(2,,3,,-5):}|`
`=(10-9)hati-(-5-6)hatj+(3+4)hatk=hati+11hatj+7hatk`.
अब, `(vec(a)xx vec(b))cdot vec(a)=(hati+11hatj+7hatk)cdot (hati-2hatj+3hatk)`
`=1-22+21=0`.
`:." "(vec(a)xx vec(b))_|_ vec(a)`
पुन:, `(vec(a)xx vec(b))cdot vec(b)=(hati+11hatj+7hatk)cdot(2hati+3hatj-5hatk)=2+33-35=0`
`:." "(vec(a)xx vec(b))_|_ vec(b)`.
Discussion
9.

सदिशों `vec(a)=2hati-hatj+3hatk` तथा `vec(b)=hati+3hatj+2hatk` के बीच का कोण ज्या ज्ञात करें |

Answer» दिया है, `vec(a)=2hati-hatj+3hatk` तथा `vec(b)=hati+3hatj+2hatk`
अब, `vec(a)xx vec(b)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(2,,-1,,3),(1,,3,,2):}|`
`=(-2-9)hati-(4-3)hatj+(6+1)hatk=(-11hati-hatj+7hatk)`
`:.|vec(a)xx vec(b)|=sqrt((-11)^(2)+(-1)^(2)+7^(2))=sqrt(171)=3sqrt(19)`
साथ ही `|vec(a)|=sqrt(2^(2)+(-1)^(2)+3^(2))=sqrt(14)`
तथा `" "|vec(b)|=sqrt(1^(2)+3^(2)+2^(2))=sqrt(14)`.
माना कि `vec(a)` तथा `vec(b)` के बीच का कोण `theta` है, तो
`sintheta=(|vec(a)xxvec(b)|)/(|vec(a)||vec(b)|)=(3sqrt(19))/((sqrt(14))(sqrt(14)))=(3)/(14)sqrt(19)`.
Discussion
10.

यदि `vec(a)cdotvec(b)=0` और `vec(a)xx vec(b)=0` तो, सदिश `vec(a)` और `vec(b)` के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकल सकते हैं ?

Answer» माना कि `vec(a) cdot vec(b)=0` तथा `vec(a)xx vec(b)=vec(0)`,
अब, `vec(a) cdot vec(b)=0` तथा `vec(a)xx vec(b)=vec(0)`
`implies" "(vec(a)=vec(0)" या, "vec(b)=vec(0)" या "vec(a)_|_ vec(b))`
तथा `(vec(a)=vec(0)" या, "vec(b)=vec(0)" या "vec(a)||vec(b))`
`implies" "vec(a)=vec(0)" या, "vec(b)=vec(0)`
`[because vec(a) _|_ vec(b)" तथा "vec(a)||vec(b)" एक साथ सत्य नहीं हो सकता है |"]`
अत:, `(vec(a)cdot vec(b)=0" तथा "vec(a)xx vec(b)=vec(0))`
`implies" "(vec(a)=vec(0)" या "vec(b)=vec(0))`.
Discussion
11.

यदि `vec(a)=2hati+3hatj-hatk` तथा `vec(b)=hati+2hatj+3hatk, vec(a)xx vec(b)` ज्ञात करें |

Answer» दिया है, `vec(a)=2hati+3hatj-hatk` तथा `vec(b)=hati+2hatj+3hatk`
अब, `vec(a)xx vec(b)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(2,,3,,-1),(1,,2,,3):}|`
`=(9+2)hati-(6+1)hatj+(4-3)hatk=11hati-7hatj+hatk`.
Discussion
12.

यदि `vec(a),vec(b),vec(c)` इकाई सदिश हैं ताकि `vec(a) cdot vec(b)=vec(a)cdot vec(c)=0` तथा `vec(b)` और `vec(c)` के बीच का कोण `(pi)/(6)` है, तो सिद्ध करें कि `vec(a)=+-2(vec(b)xx vec(c))`

Answer» दिया है, `vec(a) cdot vec(b)=vec(a) cdot vec(c)=0`
`:." "vec(a) _|_ vec(b)" तथा "vec(a) _|_ vec(c)`
अत : `vec(a),vec(b)` तथा `vec(c)` पर लम्ब
`:." "vec(a)=+-(vec(b)xx vec(c))/(|vec(b)xx vec(c)|)" "...(1)`
लेकिन `|vec(b)xx vec(c)|=|vec(b)||vec(c)|sin""(pi)/(6)=1.1.(1)/(2)=(1)/(2)`
`:." "(1)" से, "vec(a)=+-2(vec(b)xx vec(c))`
Discussion
13.

यदि `vec(a)` और `vec(b)` दो सदिश है, तो दिखाएँ कि `(vec(a)xx vec(b))^(2)=|{:(vec(a)cdotvec(a),,vec(a)cdotvec(b)),(vec(a) cdotvec(b),,vec(b)cdotvec(b)):}|`

Answer» `(vec(a)xxvec(b))^(2)=a^(2)b^(2)-(vec(a)cdotvec(b))^(2)`
`=|vec(a)|^(2)|vec(b)|^(2)-(vec(a)cdotvec(b))^(2)`
`=(vec(a)cdotvec(a))(vec(b)cdotvec(b))-(vec(a)cdotvec(b))(vec(a).vec(b))`
`=|{:(vec(a)cdotvec(a),,vec(a)cdotvec(b)),(vec(a)cdotvec(b),,vec(b)cdotvec(b)):}|`
Note : `(vec(a)xx vec(b))^(2)+(vec(a)cdot vec(b))^(2)=a^(2)b^(2)`. इस परिणाम का प्रयोग सूत्र कि तरह किया जा सकता है | यह लैगराँजे तत्समक कहलाता है |
Discussion
14.

यदि `vec(a)` और `vec(b)` दो सदिश है, तो दिखाएँ कि `(vec(a)xx vec(b))^(2)=a^(2)b^(2)-(vec(a) cdot vec(b))^(2)`

Answer» `(vec(a)xxvec(b))^(2)=|vec(a)xxvec(b)|^(2)" "(becausevec(a)^(2)=|vec(a)|^(2))`
`=(|vec(a)||vec(b)|sintheta)^(2)=|vec(a)|^(2)|vec(b)|^(2)sin^(2)theta`
`=a^(2)b^(2)sin^(2)theta=a^(2)b^(2)(1-cos^(2)theta)`
`=a^(2)b^(2)-a^(2)b^(2)cos^(2)theta=a^(2)b^(2)-(ab costheta)^(2)`
`=a^(2)b^(2)-(|vec(a)||vec(b)|costheta)^(2)=a^(2)b^(2)-(vec(a)cdotvec(b))^(2)`
Discussion
15.

यदि `vec(a),vec(b),vec(c)` तीन सदिश इस प्रकार हैं कि `vec(a)xx vec(b)=vec(c), vec(b)xx vec(c)=vec(a)` तथा `vec(c)xx vec(a)= vec(b)` दिखाएँ कि `vec(a),vec(b),vec(c)` इकाई सदिशों का एक दक्षिणावर्ती समकोणिक त्रिक बनाते हैं |

Answer» दिया है, `vec(a)xx vec(b)=vec (c)" "...(1)`
`:." "vec(c) _|_ vec(a)" तथा "vec(c) _|_ vec(b)" "...(2)`
दिया है, `vec(b)xx vec(c)=vec(a)`
`:." "vec(a)_|_vec(b)" तथा "vec(a)_|_vec(c)`
दिया है, `vec(c)xx vec(a)=vec(b)`
`:." "vec(b)_|_vec(c)" तथा "vec(b)_|_vec(a)`
इस प्रकार, `vec(a),vec(b),vec(c)` परस्पर लम्ब हैं |
(1) से, `|(vec(a)xx vec(b))|^(2)=c^(2)" "[because vec(alpha)=vec(beta)impliesvec(alpha)cdot vec(alpha)=vec(beta) cdot vec(beta)]`
या, `" "a^(2)b^(2)=c^(2)" "[because theta=(pi)/(2)" as "vec(a)_|_vec(b)]" "...(4)`
उसी तरह (2) से, `b^(2)c^(2)=a^(2)" "...(5)`
तथा (3) से, `c^(2)a^(2)=b^(2)" "...(6)`
(4) तथा (5) को गुणा करने पर हमें मिलता है, `b^(4)=1impliesb=1`
उसी तरह, a = 1 तथा c = 1
अत: `a=1, b=1, c=1`
अर्थात, `|vec(a)|=1,|vec(b)||=1,|vec(c)|=1`
इस प्रकार `vec(a),vec(b),vec(c)` इकाई सदिशों का एक दक्षिणावर्ती समकोणिक त्रिक बनाते हैं |
Discussion
16.

सदिश विधि का प्रयोग कर दिखाएँ कि बिन्दुएँ `A(2,-1,3),B(4,3,1)` तथा `C(3,1,2)` संरेख हैं |

Answer» माना कि O मूल बिन्दु है |
दिया है, `A-=(2,-1,3)" ":. vec(OA)=2hati-hatj+3hatk`
`B-=(4,3,1)" ":. vec(OB)=4hati+3hatj+hatk`
`C-=(3,1,2)" ":. OC=3hati+hatj+2hatk`
अब `" "vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=(4hati+3hatj+hatk)-(2hati-hatj+3hatk)=(2hati+4hatj-2hatk)`
तथा `" "vec(AC)=vec(OC)-vec(OA)`
`=(3hati+hatj+2hatk)-(2hati-hatj+3hatk)=(hati+2hatj-hatk)`
`:. vec(AB)xxvec(AC)=|{:(hati,,hatj,,hatk),(2,,4,,-2),(1,,2,,-1):}|=2|{:(hati,,hatj,,hatk),(1,,2,,-1),(1,,2,,-1):}|=vec(0)" "[because R_(2)" तथा "R_(3)" समान हैं"]`
अत: `vec(AB)||vec(AC)`
अत: बिन्दुएँ A, B, C संरेख है |
Discussion
17.

दिखाएँ कि बिन्दुएँ जिनका स्थिति सदिश `(vec(a)-2vec(b)+3vec(c)),(-2vec(a)+3vec(b)+2vec(c)),(-8vec(a)+13vec(b))` हैं, सभी सदिश `vec(a),vec(b),vec(c)` के लिए संरेख हैं |

Answer» माना कि O मूल बिन्दु है |
दिया है, `vec(OA)=vec(a)-2vec(b)+3vec(c)`
`vec(OB)=-2vec(a)+3vec(b)+2vec(c)`
`vec(OC)=-8vec(a)+13vec(b)`
अब, `" "vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)`
`=(-2vec(a)+3vec(b)+2vec(c))-(vec(a)-2vec(b)+3vec(c))=(-3vec(a)+5vec(b)-vec(c)),`
तथा `vec(AC)=vec(OC)-vec(OA)`
`=(-8vec(a)+13vec(b))-(vec(a)-2vec(b)+3vec(c))=(-9vec(a)+15vec(b)+3vec(c))`
`:. vec(AB)xxvec(AC)=(-3vec(a)+5vec(b)-vec(c))xx(-9vec(a)+15vec(b)-3vec(c))`
`=vec(d)xx3vec(d)," जहाँ "vec(d)=-3vec(a)+5vec(b)-vec(c)`
`=vec(0)" "[because vec(d)xxvec(d)=vec(0)]`.
`:. vec(AB)||vec(AC)` लेकिन `vec(AB)` और `vec(AC)` में एक उभयनिष्ठ बिन्दु A है |
अत: बिन्दुएँ A, B, C संरेख हैं |
Discussion
18.

यदि `vec(a)xxvec(b)=vec(b)xxvec(c)ne vec(0)` तो दिखाएँ कि `vec(a)+vec(c)=k vec(b)`जहाँ k एक अदिश है |

Answer» `vec(a)xxvec(b)=vec(b)xxvec(c)`
`implies" "vec(a)xxvec(b)-vec(b)xxvec(c)=0`
`implies" "(vec(a)xxvec(b))+(vec(c)xxvec(b))=vec(0)" "[because (vec(b)xxvec(c))=-(vec(c)xxvec(b))]`
`implies" "(vec(a)+vec(c))xxvec(b)=vec(0)" "["वितरण नियम से"]`
`implies" "(vec(a)+vec(c))||vec(b)`
`implies" "(vec(a)+vec(c))=k vec(b)`, जहाँ k एक अदिश है |
Discussion
19.

सिद्ध करें कि बिन्दुएँ A, B, C जिनके स्थिति सदिश क्रमश : `vec(a),vec(b),vec(c)` हैं संरेख होते हैं यदि और केवल यदि `(vec(b)xxvec(c))+(vec(c)xxvec(a))+(vec(a)xxvec(b))=vec(0)`

Answer» दिया है, `vec(OA)=vec(a),vec(OB)=vec(b)" तथा "vec(OC)=vec(c)`, जहाँ O मूल बिन्दु है |
अब `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=vec(b)-vec(a)`
तथा `vec(BC)=vec(OC)-vec(OB)=vec(c)-vec(b)`
अब A, B, C संरेख होंगे |
`iff vec(AB)||vec(BC)`
`iff vec(AB)xxvec(BC)=0`
`iff (vec(b)-vec(a))xx(vec(c)-vec(b))=0`
`iff (vec(b)-vec(a))xxvec(c)-(vec(b)-vec(a))=vec(0)" "["वितरण नियम से"]`
`iff vec(b)xxvec(c)-vec(a)xxvec(c)-vec(b)xxvec(b)+vec(a)xxvec(b)=vec(0)" "["वितरण नियम से"]`
`iff (vec(b)xxvec(c))+(vec(c)xxvec(a))+(vec(a)xxvec(b))=vec(0)" "[because vec(b)xxvec(b)=vec(0)" तथा "-vec(a)xxvec(c)=vec(c)xxvec(a)]`
इस प्रकार, A, B, C संरेख हैं
`iff (vec(b)xxvec(c))+(vec(c)xxvec(a))+(vec(a)xxvec(b))=vec(0)`.
Discussion
20.

सिद्ध करें कि `(vec(a)-vec(b))xx(vec(a)+vec(b))=2(vec(a)xxvec(b))`.

Answer» `L.H.S.=(vec(a)-vec(b))xx(vec(a)+vec(b))`
`=vec(a)xxvec(a)+vec(a)xxvec(b)-vec(b)xxvec(a)-vec(b)xxvec(b)" "["वितरण नियम से"]`
`=vec(a)xxvec(b)-vec(b)xxvec(a)" "[because vec(a)xxvec(a)=vec(0)" तथा "vec(b)xxvec(b)=vec(0)]`
`=(vec(a)xxvec(b))+(vec(a)xxvec(b))" "[because-(vec(b)xxvec(a))=(vec(a)xxvec(b))]`
`=2(vec(a)xxvec(b))`.
Discussion
21.

यदि `vec(a)+vec(b)+vec(c)=0`, सिद्ध करें कि `(vec(a)xxvec(b))=(vec(b)xxvec(c))=(vec(c)xxvec(a))`.

Answer» `vec(a)+vec(b)+vec(c)=vec(0)impliesvec(a)+vec(b)=-vec(c)`
`implies" "(vec(a)+vec(b))xxvec(b)=(-vec(c))xxvec(b)" "["दोनो तरफ "vec(b)" से सदिश गुणन लेने पर"]`
`implies" "(vec(a)xxvec(b))+(vec(b)xxvec(b))+(vec(b)xxvec(b))=(-vec(c))xxvec(b)" "["वितरण नियम से"]`
`implies" "(vec(a)xxvec(b))+vec(0)=(vec(b)xxvec(c))" "[because vec(b)xxvec(b)=vec(0)" तथा "(-vec(c))xxvec(b)=vec(b)xxvec(c)]`
`implies" "vec(a)xxvec(b)=vec(b)xxvec(c)" "...(i)`
पुन:, `vec(a)+vec(b)+vec(c)=0impliesvec(b)+vec(c)=-vec(a)`
`implies" "(vec(b)+vec(c))xxvec(c)=(-vec(a))xxvec(c)" "["वितरण नियम से"]`
`implies" "(vec(b)xxvec(c))+vec(0)=vec(c)xxvec(a)" "[because vec(c)xxvec(c)=vec(0)" तथा "(-vec(a))xxvec(c)=vec(c)xxvec(a)]`
`implies" "vec(b)xxvec(c)=vec(c)xxvec(a)" "...(2)`
(1) तथा (2) से हमें मिलता है, `vec(a)xxvec(b)=vec(b)xxvec(c)=vec(c)xxvec(a)`
Discussion
22.

यदि `vec(a)xxvec(b)=vec(a)xxvec(c)`, तो सिद्ध करें कि `vec(b)` और `vec(c)` का अन्तर एक सदिश है जो `vec(a)` के समान्तर है |

Answer» `vec(a)xxvec(b)=vec(a)xxvec(c)`
`implies" "(vec(a)xxvec(b))-(vec(a)xxvec(c))=vec(0)`
`implies" "vec(a)xx(vec(b)-vec(c))=vec(0)" "["वितरण नियम से"]`
`implies" "(vec(b)-vec(c))||vec(a)`.
`implies" "vec(b)-vec(c)=t vec(a)` किसी अदिश t के लिए
अत: `vec(b)-vec(c),vec(a)` के समान्तर एक सदिश है |
Discussion