Saved Bookmarks
This section includes 7 InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your Current Affairs knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `1+2+3+....+nlt1/8(2n+1)^(2)` |
|
Answer» माना `P(n):(1+x)^(n) gt 1 +nx,n ge 2` तथा `x gt -1 ,x ne 0` चरण 1 n=2 के लिए `n ge 2` बायाँ पक्ष `=P(2)=(1+x)^(2)=1+xd^(2)+2x` दाया पक्ष स्पष्ट =1+2x `rarr (1+x)^(2) gt 1+2x` चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है `P(m):(1+x)^(m) gt 1+mx` सत्य है चरण 3 क्योकि `x gt -1 rarr 1+xgt0` समीकरण (i) के दोनों पक्षों में (1+x) से गुना करने पर `(1+x)(1+x)^(m) gt (1+x)(1+mx)` `rarr (1+x)^(m+1) gt (1+x)(1+mx)=1+x+mx+mx^(2)` `rarr (1+x)^(m+1) gt 1+(m+1)x+mx^(2)` `rarr (1+x)^(m+1) gt 1+(m+1)x` अथार्त P(n),n=m+1 के लिए भी सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष निकलता है की `P(n) ,n in N (n ge 2)` के सभी मानो के लिए सत्य है |
|
| 2. |
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `11^(n+2)+12^(2n+1),n in N , 133` से विभाजिये है |
|
Answer» माना `P(n):(11^(n+2)+12^(2n+1))133` से विभाज्ये है चरण 1: n=1 के लिए `P(1):11^(1+2)+12^(2xx1+1)=3059=133xx23` जो की 133 से विभज्य है अर्थात P(n),n=1 केलिए सत्य है चरण 3 सिद्ध करना है की P(n),n=m+1 के लिए भी सत्य है अब `P(m+1)=11^(m+3)+144(12)^(2m+1)` `=11(11)^(m+2)+133(12)^(2m+1)+11(12)^(2m+1)` `=11P(m)+133(12)^(2m+1)` `=133(11k+12)^(m+1)` अर्थात P(n),n=m+1 के लिए भी सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार यह निष्कर्ष निकलता है की `P(n),n in N` की सभी मनो के लिए सत्य है |
|
| 3. |
सिद्ध कीजिये `n in N` की सभी मनो के लिए `7^(2n)+16n-1 , 64` से विभाजिये है |
|
Answer» `7^(2n)+16n-1,64` से विभाज्य है n=1 से विभाज्य है `7^(2)+16-1=49+16-1=64` `therefore` दिया गया कथन n=m के लिए सत्य है माना दिया गया कथन n=m की लिए सत्य है n=m+1 रखने पर `7^(2(m+1))+16(m+1)-1` `7^(2(m+2))+16m+15` `=7^(2)(7^(2m)+16m+15` `=^(2)(7^(2m)+16m-1)-16m(49-1)+64` `=7^(2)(7^(2m)+16m-1)-16m।48+64` जो की 64 से विभाज्य है इसलिए दिया गया कथन k+1 के लिए भी सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से निष्कर्ष निकलता है की `7^(2n)+16n-164` से विभाज्य है |
|
| 4. |
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `(2n+7) lt (n+3)^(2),n∈N` |
|
Answer» (i) माना `P(n):n ! lt (n+1)/(2)^(n)` चरण 1 n=2 `2!(2+1)/(2)^(2)` अथार्त `2 lt9/4` जोकि सत्य है `rarr` P(2) सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त `P(m):m!lt(m+1)/(2)^(m)` चरण 3 P(n),n=m+1 के लिए सिद्ध करना है अथार्त `(m+1)! lt (m+2)/(2)^)(m+1)` इसलिए `(m+1)(m+1)/(2)^(m) lt (m+2)/(2)^(m+1)` हम जानते है की `(m+1)!=(m+1)(m+1)/(2)^(m)` `2lt(1+(1)/(m+1))^(m+1)` लईकिन प्रमेय से हम जानते है की `(1+(1)/(m+1))^(m+1)=1+(m+1)(1)/(m+1)... gt2` `rarr P(n),n=m+1` के लिए सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष है की `P(n),n in N` की सभी मानो के लिए सत्य है जहाँ `n gt 1` (ii) माना `P(n):(2n)!/(2^(2n)(n!)^(2) le (1)/(3n+1)^(1//2),n ge 1` चरण n=1 की लिए बायाँ पक्ष `=(2xx1)!/(2^(2xx1)(1!)^(2)=(2!)/(2^(2).(1)^(2)=2/4=1/2` दायाँ पक्ष `=(1)/(3xx1+1)^(1//2)=(1)/(4)^(1//2)=1/2` `rarr` P(n),n=1 के लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m की लिए सत्य है अथार्त `P(m):(2m)!/(2^(2m)(m!)^(2) le (1)/(3x+1)^(1//2) nm ge 1` चरण 3 P(n),n=m+1 की लिए सत्य सिद्ध करना चाहते है अथार्त सिद्ध करना है की `rarr(2x+2)!/(2^(2m+2)[(m+1)!]^(2) le (1)/(3x+4)^(1//2)` या `3m(-4m-3)+4(3x^(2)+2m) le0` या `-m le 0` जोकि सत्य है क्योकि `m ge 1` अतः गणितीय आगमन सिद्धांत से `P(n),n in N` के सभी मानो की लिए सत्य है जहाँ `n gt 1` |
|
| 5. |
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `(1)/(2.3)+(1)/(3.4)+(1)/(4.5)+...+(1)/((n+1)(n+2))=(n)/(2(n+2))AA n in N` |
|
Answer» माना `P(n):(1)/(2.3)+(1)/(3.4)+(1)/(4.5)+..+(1)/((n+1)(n+2))=(n)/(2(n+2)) AA n in N` चरण 1 n=1 के लिए बायाँ पक्ष `=P(1)/(2.3)=1/6` दायाँ पक्ष `=(1)/(32(1+2))=(1)/(2xx3)=1/6` के`rarr` P(n),n=1 लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त P(m):`(1)/(2.3)+(1)/(3.4)+(1)/(4.5)+..+(1)/((m+1)(m+2))=(m)/(2(m+2))` चरण 3 समीकरण (i) की दोनों पक्षों में `(1)/((m+2)(m+3))` जोड़ने पर `(1)(2.3)+(1)/(3.4)+(1)/(4.5)+..+(1)/(m(m+1)(m+2))+(1)/((m+2)(m+3))=(m)` `rarr` P(n),n=m+1 की लिए सत्य है अतः गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निसकराहस निकलता है की `P(n),n in N` के सभी मानो के लिए सत्य है |
|
| 6. |
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `1^(2)+2^(3)+...+n^(3)=(n(n+1))/(2)^(2) AA n in N` |
|
Answer» माना `P(n):1^(3)+2^(3)+...+n^(3)=(n(n+1))/(2)^(2)` चरण 1 `P(1):1^(3)=1=(1(1+1))/(2)^(2)=1^(2)=1` `rarr` P(n),n=1 के लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त `1^(3)+2^(3)+3^(3)+...+m^(3)=(m(m+1))/(2)^(2)` चरण 3 समीकरण (i) के दोनों पक्षों में `(m+1)^(3)` जोड़ने पर `1^(3)+2^(3)+3^(3)+...+m^(3)+(m+1)^(3)=(m(m+1))/(2)^(2)+(m+1)^(3)` `=(m+1)^(2)((m^(2))/(4)+m+1)=(m+1)^(2)(m^(2)+4m+4)/(4)` `=((m+1)^(2)(m+2)^(2))/(4)=((m+1)(m+2))/(2)^(2)` जो की सत्य है `rarr`P(n),n=m+1 की लिए सत्य है अतः गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष निकलता है की P(n) सभी `n in N` की लिए सत्य है |
|
| 7. |
मान लीजिये `P(n):n^(2)+n` एक सम पूर्णक है यदि P(k) सत्य है `rarrP(k+1)` सत्य है जब P(n) सत्य हैA. `n gt 1` के लिएB. `n in N` के लिएC. `n gt 2` के लिएD. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 8. |
सभी `n in N` के लिए (n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) को विभाजित करने वाला महत्तम धनात्मक पूर्णक हैA. 4B. 120C. 240D. 24 |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 9. |
यदि `P(n):2+4+6+...+2n,n in N` तब `P(k)=k(k+1)+2 rarr P(K+1)=(k+1)(k+2)+2, AA k in N` के लिए सत्य है इसलिए कथन `P(n)=n(n+1)+2` सत्य हैA. `n ge 1` के लिएB. `n ge 2` के लिएC. `n ge 3` के लिएD. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 10. |
यदि `n in N` तो `P_(n)=2^(2n)+1` का अन्तिम अंक हैA. 3B. 5C. 7D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 11. |
जब `5^(99)` को 13 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल होगाA. 6B. 8C. 9D. 10 |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 12. |
मान लीजिये `S(k)=1+3+5+...+(2k-1)=3+k^(2)` तब निम्न में से कौन सा विकल्प सही हैA. S(1) सही हैB. S(k) `rarr` S(k+1)C. S(k) `rarr` S(k+1)D. इस सूत्र की उत्पति की लिए गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग किया जा सकता है |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 13. |
यदि p(n) एक कथन इस प्रकार है की p(3) सत्य है मान लीजिये p(k) सत्य है `rarr (k+1)` सत्य है `AA k ge 3` तब p(n) सत्य हैA. सभी n के लिएB. `n ge 3` के लिएC. `n ge 4` के लिएD. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 14. |
यदि m,n कोई दो विषम धनात्मक पूर्णक इस प्रकार है की `nltm` तब `m^(2)-n^(2)` रूप को संख्या को विभाजित करने वाले महत्तम धनात्मक पूर्णांक हैA. 4B. 6C. 8D. 9 |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 15. |
धनात्मक पूर्णक n के लिए `(1+x)^(n) gt 1 +nx,(x gt -1)` जबकिA. `n le 2`B. `n le 1`C. `n ge 2`D. `n ge 2` |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 16. |
प्रकृत संख्या n के लिए `n!^(2) gt n^(n)` यदिA. `n gt 3`B. `n gt 4`C. `n ge 4`D. `n ge 3` |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 17. |
यदि `A=[(1,2),(0,1)]` तो `A^(10)` बराबर हैA. `[(1,2^(10)),(0,1)]`B. `[(2,10),(0,1)]`C. `[(1,10),(0,2)]`D. `[(1,20),(0,1)]` |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 18. |
यदि n एक धनात्मक पूर्णक है तो `4^(n)-3n-1` विभाजित हैA. 2 सेB. 9 सेC. 18 सेD. 27 से |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 19. |
`x^(n)+y^(n)` विभाज्य है x+y से जबकि nA. धनात्मक पूर्णक हैB. धनात्मक विषम पूर्णांक हैC. धनात्मक सम पूर्णांक हैD. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 20. |
यदि `P_(n)=sqrt(7)+sqrt(7)+sqrt(7+....)` करनी चिन्ह सहित तो `AA n in N`A. `P_(n) gt4`B. `P_(n)n lt3`C. `P_(n) lt 4`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 21. |
यदि `n in N` तो `3^(4n+2)+5^(2n+1)` गुणज हैA. 14 काB. 16 काC. 18 काD. 20 का |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 22. |
यदि `A=[(1,0),(1,1)]` तथा `I=[(1,0),(0,1)]` तब निम्न में से कोण सा विकल्प गणितीय आगमन के सिद्धांत से सभी `n ge 1` के लिए वैध है / हैA. `A^(n)=2^(n-1)A+(n-1)I`B. `A^(n)=nA+(n-1)I`C. `A^(n)=2^(n-1)A-(n-1)I`D. `A^(n)=nA-(n-1)I` |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 23. |
यदि `n in N` तो निम्न में से 9 से विभाजित हैA. `8^(n)+1`B. `10^(n)+1`C. `4^(n)-3n-1`D. `3^(2n+3n+1` |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 24. |
`2^(3n)-7n-1` भाज्य हैA. 64 सेB. 36 सेC. 49 सेD. 25 से |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 25. |
`x(x^(n-1)-nalpha^(n-1))+alpha^(n)(n-1),(x-alpha)^(2)` से भाज्य होगाA. `n gt 1` के लिएB. `n gt 2` के लिएC. `n in N` के लिएD. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 26. |
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `(n^(7))/(7)+(n^(5))/(5)+(2)/(3)n^(3)-(n)/(105) n in N` एक पूर्णांक है |
|
Answer» माना P(n) : `(n^(7))/(7)+(n^(5))/(5)+(2)/(5)n^(3)` एक धनात्मक पूर्णक है चरण 1: n=1 के लिए `P(1):(1)^(7)/(7)+(1)^(5)/(5)+2/3(1)^(3)-1/105=(15+21+70-1)/(105)=105/105=1` जोकि एक धनात्मक पूर्णक है P(n)=1 के लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त `P(m):(m^(7))/(7)+(m^(5))/(5)+2/3m^(3)-(m)/(105)` एक पूर्णक है =K चरण 3 `(m+1)^(7)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)/(105)` `1/7(m^(7)+7m^(6)+10m^(3)+10m^(2)+5m+1)+2/3(m^(3)+3m^(2)+3m+1)-(m)/(105)-(1)/(105)` `=k+m^(6)+3m^(5)+6m^(4)+7m^(3)+4m+1` = एक पूर्णक है अथार्त `P(m+1):(m+1)6(7)/(7)+(m+1)^(5)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)/(105)` `rarr P(n),n=m+1` के लिए भी सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष निकलता है की `P(n), n N` की सभी मानो के लिए सत्य है |
|
| 27. |
गणितीय आगमन विधि से सिद्ध कीजिए कि `n (n +1 )(2n +1 ), 6 ` से पूर्णत : विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है । |
|
Answer» दिया है :`n (n +1 )(2n +1 )` में यदि n =1 हो , `n(n+1)(2n+1)=1(1+1)2xx1+1)` `=1xx2xx3` `=6` अंत : ` n =1` दिए हुए कथन के लिए सत्य है । माना `p (k ): k (k +1 )(2k +1 ),6 ` से विभाज्य है । अर्थात n =k के लिए p (n ) सत्य है । `p(k+1)=(k+1)(k-2)[2(k+1)+1]` `=(k+1)(k+2)[(2k+1)+2]` `=(k+2)(k+1)(2k+1)+2(k+1)(k+2)` `=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(2k+1)(2k+1) +(k-1)(k+2)` `=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(2k+1)+2(k+1)(k+2)` `=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(2k+1+k+2)` `=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+1)` `=p(k)+6(k+1)^(2),` जो कि 6 से विभाज्य है । यदि p (k ) , 6 से विभाज्य है । अंत : `n in N ` के सभी मानो के लिए `n (n +1 ) (2n +1 ),6 ` से विभाज्य है । |
|
| 28. |
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `(1+x)^(n) gt 1 + nx,,n ge 2` तथा `x gt -1 , x ne 0` |
|
Answer» माना `P(n):(2n+7) lt (n+3)^(2), n in N` चरण 1 n=1 के लिए बायाँ पक्ष `P(1):(2xx1+7)=2+7=9` दायाँ पक्ष `=(1+3)^(2)=4^(2)=16` `rarr (2n+7) lt (n+3)^(2),n=1` की लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त `P(m):(2m+7)lt(m+3)^(2),n in N` चरण 3 सिद्ध करना है की P(n),n=m+1 की लिए भी सत्य है अथार्त हम सिद्ध करना चाहते है की `[2(m+1)+7]lt[(m+1)+3]^(2)` समीकरण से (i) `(2m+9) lt (m+3)^(2)=B` अब `B-A=(m+3)^(2)+2-(m+4)^(2)` `=(2x+5) lt 0` ` B lt A` समीकरण (ii) व (iii) से `(2m+9)ltA` या `2m+9 lt (m+4)^(2)` `rarr P(n),n=m+1)` के लिए भी सत्य है यदि P(n),n=m के लिए सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष निकलता है की `P(n),n in N` के सभी मानो के लिए सत्य है |
|
| 29. |
गणितीय आगमन की सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `(n^(5))/(5)+(n^(3))/(3)+(7n)/(15)` सभी `n in N` की लिए एक प्राकृत संख्या है |
|
Answer» माना `P(n):(n^(7))/(7)+(n^(5))/(5)+(2)/(3)n^(3)-(n)/(105)` एक पूर्णांक है चरण 1 n=1 के लिए `P(1):(1)^(7)/(7)+(1)^(5)/(5)+2/3(1)^(3)-(1)/(105)=(15+21+70-1)/(105)=(105)/(105)=1` जोकि एक पूर्णांक है अथार्त P(n),n=1 के लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त `P(m):(m^(7))/(7)+(m^(5))/(5)+(2)/(3)m^(3)-(m)/(105)` एक पूर्णक है चरण 3 अब `(m+1)^(7)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)/(105)` `=1/7(m^(7)+7m^(6)+2lm^(5)+35m^(4)+35m^(3)+35m^(3)+2l m ^(2)+7m+1)` `=k+m^(6)+3m^(5)+6m^(4)+7m^(2)+4m+1` =एक पूर्णक अथार्त `P(m+1):(m+1)^(7)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)//(105)` एक पूर्णक है `rarr` P(n),n=m+1 की लिए भी सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निकृष्ठ निकलता है है `P(n),n in N` की सभी मानो के लिए सत्य है |
|
| 30. |
गणितीय आगमन की सिद्धांत का प्रयोग करंट हुए सिद्ध कीजिये की `(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.10)+..+(1)/((3n-2)(3n+1))=((n)/(3n+1))` |
|
Answer» माना `P(n):1/1.4+1/4.7+1/7.10+..+(1)/(3n-2)(3n+1)=(n)/(3n+1)` चरण 1 : n=1 के लिए बायाँ पक्ष `=1/1.4=1/4` दायाँ पक्ष `=(1)/(3xx1+1)=1/4` `rarr n=1` के लिए P(n) सत्य है चरण 2 माना P(k) भी सत्य है तब चरण 3 माना `P(k+1)=1/1.54+1/4.7+1/7.10+..+(1)/(3k-2)(3k+1)+(1)/(3(k+1)-2)(3x+1)+1` `=(k)/(3K+1)+(1)/(K+(1)/(3K+4)` `=(k+1)(3k+1)/(3k+1)(3K+4)=(5+1)/(3K+4)=(K+1)/(3(k+1)+1=P(k+1)` `rarr n=(K+1)` के लिए P(n) सत्य है व कथन n=k के लिए भी सत्य है अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से सभी n के लिए कथन सत्य है |
|