InterviewSolution
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| 151. |
`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिये यदि ` x=a (t-sin t),y=a (1-cos t )` |
| Answer» Correct Answer - ` cot ""(t)/(2)` | |
| 152. |
निम्न फलन का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये- `(tan x ) ^(sin x )` |
| Answer» Correct Answer - ` (tanx )^(sin x)[sec x + cos x log tan x ]` | |
| 153. |
निम्न फलन का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये-` (sin ^(-1) x ) ^(tan ^(-1_x))` |
| Answer» Correct Answer - ` (sin ^(-1) x )^(tan ^(-1_x))[ (tan ^(-1) x)/(sin^(-1) xsqrt(1-x^(2)))+(log sin ^(-1)x )/(1+x^(2))]` | |
| 154. |
निम्न फलन का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये - ` x^(n) +y^(n) =a^n` |
| Answer» Correct Answer - ` -((x)/(y))^(n-1)` | |
| 155. |
यदि `y= (1)/(log cos x )` तब ` (dy)/(dx) ` का मान ज्ञात कीजिये| |
| Answer» Correct Answer - ` (tan x )/((logcos x )^(2))` | |
| 156. |
यदि ` y= cos ^(2) x^(2)` तब ` (dy)/(dx) ` का मान ज्ञात कीजिये| |
| Answer» Correct Answer - ` -4x cos x^(2)*sin x^(2) ` | |
| 157. |
`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिये यदि` x= log t+ sin t ,y=e^(t) +cost ` |
| Answer» Correct Answer - ` (t(e^(t) -sin t ) )/(1+ tcos t )` | |
| 158. |
निम्न फलन का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये-` log sin ^(-1) x^(2) ` |
| Answer» Correct Answer - ` (2x) /(sqrt(1-x^(4) )sin ^(-1) x^(2))` | |
| 159. |
निम्न फलन का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये-` tan ^(-1) (log x )` |
| Answer» Correct Answer - ` (1)/( x[1+(log x )^(2)])` | |
| 160. |
`(dy)/(dx) `का मान ज्ञात कीजिये यदि ` (i) x^(y) =y^(x) " "(ii) y+ sin y =cos x ` |
| Answer» Correct Answer - ` (i) (y(y-xlogy ))/(x(x-y log x ))(ii) (-sin x )/(1+cos y)` | |
| 161. |
फलन का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए| ` 2^(xsin x)` |
| Answer» Correct Answer - ` 2^(xsinx ) 2[sin x + xcos x ]` | |
| 162. |
फलन का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए| ` e^(xsin x )` |
| Answer» Correct Answer - ` e^(xsin x )[ sinx + xcos x ]` | |
| 163. |
फलन का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए|` (xsin x )/(1+cos ^(2)x ) ` |
| Answer» Correct Answer - ` ((1+ cos ^(2)x)(xcos x +sinx )+ 2xsin ^(2) xcos x )/((1+cos ^(2)x)^(2))` | |
| 164. |
निम्न फलन का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये -` sqrt(x^(2)+y^(2) )= log (x^(2) -y^(2) ) ` |
| Answer» Correct Answer - ` ((x)/(y)) [(2sqrt(x^(2)+ y^(2))- (x^(2)-y^(2)))/(x^(2)-y^(2)+2sqrt(x^(2)+y^(2)))] ` | |
| 165. |
निम्न फलन का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये -` xsin 2y =ycos2x ` |
| Answer» Correct Answer - ` (2ysin 2x + sin 2y)/(cos 2x -2x cos 2y )` | |
| 166. |
निम्न फलन का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये -` e^(x) log y =sin ^(-1) x+sin ^(-1) y` |
| Answer» Correct Answer - `(ysqrt(1-y^(2)))/(sqrt(1-x^(2)))[(1-e^(x) sqrt(1-x^(2))log y )/(e^(x)sqrt(1-y^(2)-y ))]` | |
| 167. |
फलन का अवकलन गुणांक ज्ञात कीजिए| ` e^(5x)` |
| Answer» Correct Answer - ` 5e ^(5x )` | |
| 168. |
फलन का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए| `sin3x` |
| Answer» Correct Answer - `3cos 3x` | |
| 169. |
`e^(sin x^(2))` का द्वितीय अवकलज ज्ञात कीजिए| |
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Answer» माना ` " "y= e^(sin x ^(2))` ` rArr " "(dy)/(dx) =e^(sin x ^(2))*cos x^(2) *2x` ` rArr " "(dy)/(dx) =2xcos x^(2) e^(sin x^(2))=2xcos x^(2)y` ` " " (becausey= e^(sin x ^(2)))` पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(d)/(dx) ((du)/(dx) )= 2 [(xcos x^(2))(dy)/(dx)+ y{cos x ^(2) -2x^(2) sin x ^(2)}]` ` = 2[ 2 x^(2) cos ^(2) x^(2) e^(sin x ) +e^(sin x ^(2))(cos x^(2) -2x ^(2)sin x^(2))]` ` =2e^(sin x ^(2) )[2x ^(2)cos ^(2)x^(2)+ cos x^(2) -2x^(2) sin x ^(2) ]` |
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| 170. |
`x^(10) ` का द्वितीय अवकलज ज्ञात कीजिये| |
| Answer» Correct Answer - ` 90x^(8) ` | |
| 171. |
`x^(2)log x ` का द्वितीय अवकलज ज्ञात कीजिए| |
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Answer» माना ` " " y= x ^(2) logx` ` therefore " "(dy)/(dx) =x^(2) (d)/(dx) log x + log x (d)/(dx) x^(2)` ` " "= x +2x log x ` ` rArr " "(dy)/(dx) =x (1+ 2log x ) ` पुनः x के सापेक्ष अवकलज करने पर ` (d)/(dx) ((dy)/(dx))=(d^(2)y)/(dx^(2))` ` " "=x (d)/(dx) (1+2log x )+ (1+2log x ) (d)/(dx)x ` ` " "= x [0+2*(1)/(2)] + (1+2log x ) ` ` " "= 2+1 +2log x ` ` therefore " "(d^(2)y)/(dx^(2))=(3+2log x )` |
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| 172. |
`x^(10)` का चतुर्थ अवकलज ज्ञात कीजिए| |
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Answer» माना ` " "y=x ^(10)` ` therefore " "(dy)/(dx) =(d)/(dx) (x^(10)) =10x^(9)` ` (d)/(dx) ((dy)/(dx))=(d^(2)y)/(dx^(2))=10 (d)/(dx)x^(9) =90x^(8)` ` (d)/(dx) ((d^(2)y)/(dx^(2)))= (d^(3)y)/(dx^(3))=90(d)/(dx) x^(8) =720x^(7)` तथा ` " "(d)/(dx) ((d^(3)y)/(dx^(3)))= (d^(4)y)/(dx^(4))=720(d)/(dx) x^(7) =5040x ^(6)` ` therefore " "(d^(4)y)/(dx^(4))=5040x ^(6)` |
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| 173. |
`x^(9) ` का `x^(5)` के सापेक्ष अवकलन कीजिये| |
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Answer» माना ` y_1 =x^(9) " "` तथा ` " "y_2 =x^(5)` ` therefore (dy_1)/(dx) =9x^(8) " "` तथा ` " "(dy_2)/(dx ) =5x^(2)` प्रश्नानुसार हमें ` (dy_1)/(dy_2)` का मान ज्ञात करना है| अतः ` (dy_1)/(dy_2) =(y_1 ("का x के सापेक्ष अवकलन")) / (y_2("का x के सापेक्ष अवकलन"))= (9x^(8))/(5x^(4))=(9)/(5) x^(4)` ` therefore " "(dy_1)/(dy_2 )= (9)/(5) x^(4)` अतः ` x^(9) ` का `x^(5)` के सापेक्ष अवकलन ` =(9)/(5) x^(4)` |
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| 174. |
`cos ^(-1) ((1-x^(2))/(1+x^(2)))` के सापेक्ष `sin ^(-1) ((2x)/(1+x^(2)))` का अवकलन कीजिए| |
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Answer» माना ` y_1 =sin^(-1) ((2x)/(1+x^(2)))` व ` y_2 =cos ^(-1) ((1-x^(2))/(1+x^(2)))` तथा ` " "x=tan theta ` ` y_1 =sin ^(-1) ((2tan theta )/(1+tan ^(2)theta ))` ` " "=sin ^(-1) (sin 2theta )=2theta ` व ` y_2 =cos ^(-1) ((1-tan ^(2)theta )/(1+tan ^(2)theta ))` ` " "= cos ^(-1) (cos 2theta )= 2theta ` यहाँ `" "y_1 =y_2 ,` तब `" "(dy_1)/(dy_2)=(2theta)/(2theta)=1 ` |
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| 175. |
`cos x ` का `e^(x )` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए| |
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Answer» माना ` " "y_1 =cos x ` तथा ` y_2 =e^(x)` ` therefore " "(dy_1)/(dx ) =-sin x ` तथा ` " "(dy_2)/(dx) =e^(x)` अतः` (dy_1)/(dy_2) =(y_1 ("का x के सापेक्ष अवकलन")) / (y_2("का x के सापेक्ष अवकलन"))` ` =- (sin x )/(e^(x)) =-e^(-x) sin x ` |
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| 176. |
`cos ^(-1) x^(2)` के सापेक्ष` tan ^(-1) {(sqrt(1+x^(2))sqrt(-1-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))sqrt(1-x^(2)))}` का अवकलन कीजिए| |
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Answer» माना `y_1 =tan ^(-1){(sqrt(1+x^(2))sqrt(-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))sqrt(1-x^(2)))}` व ` " "y_2 =cos ^(-1)x ^(2)` ` rArr " "x^(2) =cos y^(2)` `x^(2)` का मान समीकरण (1 ) में रखने पर ` y_1 =tan ^(-1) {(sqrt(1+cos y_2)-sqrt(1-cos y_2))/(sqrt(1+cos y_2 ) +sqrt(1-cos y_2))}` ` " "=tan ^(-1) {(sqrt(2cos ^(2) (y_2//2))-sqrt(2sin ^(2) (y_2//2)))/(sqrt(2cos ^(2)(y_2//2))+sqrt(2sin (y_2//2)))}` ` " "=tan ^(-1) ""{(cos (y_2//2)-sin (y_2//2))/(cos (y_2//2)+sin (y_2//2))}` ` (cos y_2//2) ` से भाग करने पर, ` " "= tan ^(-1) {(1- tan (y_2//2))/(1+tan (y_2//2))}` ` " "= tan ^(-1) {tan ((pi)/(4) -(y_2)/(2))}` ` " "=((pi)/(4)-(y_2)/(2))rArr " "(dy_1)/(dy_2)=(-1)/(2)` |
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| 177. |
`sin ^(-1) ((1-x) /(1+x) ) ` का `sqrt(x)` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए| |
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Answer» माना ` y_1=sin ^(-1) ((1-x) /(1+x) ) ` तथा ` " "y_2 sqrt(x) ` ` because " "y_1 =sin ^(-1) ((1-x)/(1+x)) ` ` therefore " "(dy_1)/(dx ) =(1+x)/(sqrt((1+x )^(2)-(1-x) ^(2) ))*(d)/(dx) ((1-x)/(1+x))` ` " "= ((1+x))/sqrt(4x)*((1+x)(-1)-(1-x)*1)/((1+x)^(2))` ` " "= (-(1+x+1-x))/(2sqrt(x) (1+x)) ` ` " " (-2)/(2sqrt(x)(1+x) )=(-1)/(sqrt(x) (1+x))` ` therefore " "(dy_1) /(dx) =(-1)/(sqrt(x) (1+x) ) ` ` because " "y_2 =x^(1//2) " "because (dy_2)/(dx)=(1)/(2sqrt(x))` अतः` (dy_1)/(dy_2) =(y_1 ("का x के सापेक्ष अवकलन")) / (y_2("का x के सापेक्ष अवकलन"))` ` (-1)/((sqrt(x) (1+x))/((1)/(2sqrt(x))))=(-2)/((1+x) )` ` " "therefore (dy_1)/(dy_2) =(-2)/(1+x)` |
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| 178. |
`tan ^(-1) ((2x)/(1-x^(2))) ` का ` sin ^(-1) ((2x)/(1+x^(2)))` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए| |
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Answer» माना `y_1 =tan ^(-1) ((2 x)/(1-x^(2)))` तथा ` y_2 =sin ^(-1) ((2x )/(1+x^(2))) ` ` because " "y_1 =tan ^(-1) ((2x)/(1-x^(2)))` माना ` x = tan theta rArr theta = tan ^(-1) x ` ` therefore (2x)/(1-x^(2) )= (2tan theta )/(1-tantheta ) =tan 2theta ` ` therefore " "y_1=tan ^(-1) (tan 2theta )=2theta ` ` rArr " "y_1 =2tan ^(-1) x ` ` therefore " "(dy_1)/(dx) =2 (d)/(dx) tan ^(-1) x = (2)/(1+x^(2) )` ` therefore " "(dy_1)/(dx)= (2)/(1+x^(2))` तथा ` y_2 = sin ^(-1) ((2x )/(1+x^(2)))` माना ` x= tan theta rArr theta =tan ^(-1)x` ` therefore " "(2x)/(1+x^(2) )=(2tan theta )/(1+tan ^(2)theta ) =sin 2theta ` ` therefore " "y_2 =sin ^(-1) (sin2theta )= 2theta =2tan ^(-1) x ` ` rArr " "y_2 =2tan ^(-1) x ` ` therefore " "(dy_2)/(dx) =2 (d)/(dx) tan^(-1) x ` ` therefore " "(dy_2)/(dx)=(2)/(1+x^(2))` अतः` (dy_1)/(dy_2) =(y_1 ("का x के सापेक्ष अवकलन")) / (y_2("का x के सापेक्ष अवकलन"))` ` =(2)/((1+x^(2))/(2/(1+x^(2))))=1 ` ` therefore " "(dy_1)/(dy_2)=1 ` |
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| 179. |
`(log x)^(tan x ) ` का ` sin (mcos ^(-1) x ) `के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए |
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Answer» माना ` y_1 =(log x ) ^(tan x ) ` तथा ` y_2 sin (mcos ^(-1) x )` ` because " "y_1 =(log x )_^(tan x ),` दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, ` log y_1 =tan x log x ` ` therefore " "(1)/(y) (dy)/(dx) =(tan x )/(xlog x ) +sec ^(2) x log log x ` ` rArr " "(dy_1) /(dx) =(log x )^(tan x ) [(tan x )/(xlog x ) +sec ^(2) x log log x ]` तथा ` " "y_2 =sin (m*cos ^(-1) x ) ` ` therefore " "(dy_2)/(dx) =(d)/(dx) sin (mcos ^(-1) x )` या ` (dy_2)/(sx) =(-mcos (mcos ^(-1) x ))/(sqrt((1-x^(2))))` अतः` (dy_1)/(dy_2) =(y_1 ("का x के सापेक्ष अवकलन")) / (y_2("का x के सापेक्ष अवकलन"))` ` =((logx )^(tan x) [(tan x)/(xlog x ) +sec ^(2) xlog log x ])/(-(mcos (mcos ^(-1)x))/(sqrt(1-x^(2))))` ` =- ((log x)^(tan x) [(tan x)/(xlog x )+sec ^(2) x log log x ]sqrt(1-x^2))/(mcos (mcos ^(-1)x))` |
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| 180. |
निम्नलिखित प्रश्न में x के सापेक्ष अवकलन कीजिये-` x^(sin x )+ (sin x) ^(cosx ) ` |
| Answer» Correct Answer - ` x^(sin x ) [ (sin x )/(x )+ cos x log x ] + (sinx )^(cosx ) [cos x cot x - sin x log sin x ]` | |
| 181. |
निम्नलिखित में x तथा y दिए समीकरणों द्वारा एक -दूसरे के प्राचलिक रूप में सम्बंधित हो तो प्राचलों का विलोपन किये बिना `(dy)/(dx) ` ज्ञात कीजिये|-` x=cos theta -cos 2theta ,y=sin theta - 2theta ` |
| Answer» Correct Answer - ` (cos theta -2cos 2theta )/(2sin 2theta -sin theta ) ` | |
| 182. |
निम्नलिखित में x तथा y दिए समीकरणों द्वारा एक -दूसरे के प्राचलिक रूप में सम्बंधित हो तो प्राचलों का विलोपन किये बिना `(dy)/(dx) ` ज्ञात कीजिये|-` x=a (theta -sin theta ),y =a (1+cos theta ) ` |
| Answer» Correct Answer - ` -cot ""(theta)/(2)` | |
| 183. |
निम्नलिखित में x तथा y दिए समीकरणों द्वारा एक -दूसरे के प्राचलिक रूप में सम्बंधित हो तो प्राचलों का विलोपन किये बिना `(dy)/(dx) ` ज्ञात कीजिये|-` x=tan ^(-1) t, y =t sin 2t ` |
| Answer» Correct Answer - ` (1+ t^(2)) {sin 2t +2t cost }` | |
| 184. |
निम्नलिखित में x तथा y दिए समीकरणों द्वारा एक -दूसरे के प्राचलिक रूप में सम्बंधित हो तो प्राचलों का विलोपन किये बिना `(dy)/(dx) ` ज्ञात कीजिये|-` x=a (cost +log tan"" (t)/(2) ) ,y= asin t ` |
| Answer» Correct Answer - ` tan t ` | |
| 185. |
यदि `y= log x^(x) ,` तब `dy//dx=`A. `1`B. `log x `C. ` log (ex ) `D. इनमें से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 186. |
`f(log x ) ` का अवकलन गुणांक ज्ञात कीजिये जहाँ `f(x) =log x ` है-A. ` (x) /(log x ) `B. ` (log x)/(x ) `C. ` (xlog x)^(-1)`D. इनमें से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 187. |
यदि `y= log |x| ,` तब `dy//dx =`A. `(1)/(x)`B. ` -(1)/(x)`C. `(1)/(|x|)`D. इनमें से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 188. |
यदि ` y= log _y x ,` तब `dy//dx ` =A. `(1)/(x+logy )`B. ` (1)/(log x(1+y))`C. `(1)/(x(1+logy ))`D. ` (1)/(y+log x ) ` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 189. |
यदि ` y= (cos x)^(cos x^( cos x )...infty ) ,` तब सिद्ध कीजिये की ` " "(dy)/(dx) =(y^(2)tan x)/(ylog (cosx )-1)` |
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Answer» `y=(cosx )^(y) " "rArr (logy =y log cos x )` `rArr (1)/(y) (dy)/(dx) =y*(1)/(cos xdx ) (cos x )+ (log (cos x))(dy)/(dx) ` अब सरल करने पर| |
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| 190. |
यदि `" "y= (sqrt(x))^((sqrt(x))^(sqrt(x)...infty )),` तब सिद्ध कीजिये की ` " "x(dy)/(dx) =(y^(2))/(2-ylog x )` |
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Answer» ` " "y= (sqrt(x))" "rArr " "log y= (y)/(2) log x ` ` rArr " "2log y= ylog x " "rArr " " 2(1)/(y) (dy)/(dx) =y*(1)/(x) +log x (dy)/(dx)` अब सरल करने पर| |
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| 191. |
यदि ` y= sqrt(cos x + sqrt(cos x+ sqrt(cos x +...infty ),))` तब सिद्ध कीजिये की ` " "(dy)/(dx )=(sinx )/(1-2y)` |
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Answer» ` " "y= sqrt (cos x+y) " "rArr " "y^(2) =cos x+ y` ` rArr " "2y (dy)/(dx) =(dy)/(dx) -sinx " "rArr " "(dy)/(dx)= (sinx )/(1-2y)` |
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| 192. |
यदि ` y= (ax) ^((ax)^((ax)^...infty)),` तब सिद्ध कीजिये की ` " "(dy)/(dx) =(y^(2))/(x(1-ylog ax ))` |
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Answer» ` y= (ax)^(y) rArr " "log y= ylog ax ` `" "rArr " "(1)/(y)(dy)/(dx) =(dy)/(dx) log ax + y*(a)/(ax)` अब सरल करने पर| |
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| 193. |
यदि ` y= sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+ sqrt......infty )))` तब सिद्ध कीजिये की` " "(dy)/(dx) =(1)/(2y -1)` |
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Answer» `" " y= sqrt(x+y )" "rArr " "y^(2) =x +y ` ` rArr " "2y(dy)/(dx) =1 +(dy)/(dx) ` |
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| 194. |
यदि ` y= e^x+e^(x_+e^(x)+...infty )` तब सिद्ध कीजिये की ` " "(dy)/(dx) =(y)/(1-y) ` |
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Answer» दिए गए फलन को इस प्रकार लिखने पर ` " "y=e^(x+y) " "rArr " "log y= (x+y)` `rArr " "(1)/(y) (dy)/(dx) =1+9(dy)/(dx) rArr (dy)/(dx)= (y)/(1-y)` |
|
| 195. |
यदि ` x^(y) =e^(x-y),` तब सिद्ध कीजिए की ` (dy)/(dx) =(log x)/((1+log x ))` |
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Answer» `" "x^(y) -e^(x-y)` दोनों पक्षों का log लेने पर ` rArr " " ylog x= (x-y)` `rArr " " y= (x)/((1+log x))` अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर ` (dy)/(dx) =((1+log x)1-x*(1)/(x))/((1+ log x )^(2))` ` " "=((1+log x-1))/((1+log x )^(2))=(logx )/((1+logx)^(2))` |
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| 196. |
यदि ` y=a cos (log_e x )+ b sin (log _e x ) ` तब सिद्ध कीजिए की ` x^(2) y_2 +xy_1 +y=0` |
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Answer» `y=a cos (log _e x )+ b sin (log _e x ) " "...(1)` ` rArr " "y_1 =a(d)/(dx) cos (log_e x )+ b(d)/(dx) sin (log _ex)` ` =-(asin (log _e x))/(x )+(bcos log _e nx )/(x )` ` rArr " "xy_1 =- asin (log _e x )+ bcos (log _e x )` पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर ` xy_2 +y_1 =-(acos (log _e x ))/(x ) -(bsin log _e x )/(x )` `rArr x^(2)y_2 +xy_1 =-[acos (log _e x )+ b sin (log _e x )]` ` " "=-y` [`because` समी० (1 ) से] ` therefore " "x^(2)y_2 +xy_1 +y=0` |
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| 197. |
यदि ` y= (sinx )^(sinx ...infty )` तब सिद्ध कीजिये की ` " "(dy)/(dx)= (y_2 cotx)/(1- y log (sinx ))` |
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Answer» `y=(sin x )^(y) " "rArr " "log y= ylog sin x ` x के सापेक्ष अवकलन करने पर |
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| 198. |
यदि `y= tan ^(-1) ((a)/(x))+log sqrt((x-a)/(x+a))` तब सिद्ध कीजिए की ` (dy)/(dx) =(2a^(3) )/(x^(4)-a^(4))` |
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Answer» `y=tan ^(-1) ((a)/(x) )+ log sqrt((x-a)/(x+a))` ` = tan ^(-1) ""(a)/(x)+(1)/(2) [log (x-a )-log (x+a ) ]` ` rArr " "(dy)/(dx) =(1)/(1+(a^(2))/(x^(2)))*(d)/(dx) ((a)/(x) )+ (1)/(2) [((x+a) -(x-a))/(x^(2)-a^(2))]` ` " "=(x^(2) )/(x^(2) +a^(2))*a(-(1)/(x^(2))) +(1)/(2) [((x+a)-(x-a))/(x^(2)-a^(2))]` ` " "= (-a) /(x^(2)+a^(2))+(a) /(x^(2)-a^(2))` ` =(-a(x^(2)-a^(2))+a(x^(2)+a^(2)))/(x^(4)-a^(4)) =(2a^(3))/(x^(4)a^(4))` |
|
| 199. |
यदि ` y= a^(x^(a^(x)...infty ))` तब सिद्ध कीजिए की ` " "(dy)/(dx) =(y^(2) log y)/(x(1-y log x log y ) )` |
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Answer» `" "y= a ^(x^(a^(x...infty )))" "(because y= a^(x^(a^(x...infty ))))` ` rArr " "y= a ^(x^(y))` दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, ` " "log y= x^(y) log a ` पुनः दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, ` " "log log y =ylog x+ log log (a) ` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `" "(1)/(log y) (dy)/(dx) =y (d)/(dx) log x +log x (dy)/(dx) +0` या ` " "(1)/(ylog y)(dy)/(dx) =(y)/(x) +log x (dy)/(dx) ` ` rArr " "((1)/(ylog y ) -log x) (dy)/(dx) =(y)/(x) ` ` rArr " "((1-ylog ylog x )/(y log y ))(dy)/(dx) =(y)/(x)` ` (dy)/(dx) =(y^(2) log y)/(x(1-y log ylog x))` |
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| 200. |
यदि ` x^(y) =e^(x-y)` तब सिद्ध कीजिए की `(dy)/(dx) = (log x )/((1+log x )^(2))` |
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Answer» ` " "x^(y) =e^(x-y)` दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, ` " "ylog x =(x-y) log_e e= x -y` ` rArr " "y(1+log x )=x ` ` rArr " "y= (x)/((1+log x ))` ` therefore (dy)/(dx) ((1+log x )(d)/(dx) x-x (d)/(dx) (1+ log x ))/((1+ log x )^(2))=(1+log x-1)/((1+log x )^(2))` ` rArr" "(dy)/(dx) =(log x )/((1+ log x )^2)` |
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